2019-2020学年高中数学 第2章 数列 2.2.1 等差数列的概念 2.2.2 等差数列的通项

-1-2.2.1等差数列的概念2.2.2等差数列的通项公式第1课时等差数列的概念及通项公式学习目标核心素养1.理解等差数列的概念，能在具体问题情境中，发现数列的等差关系．(重点)2．会推导等差数列的通项公式，并能应用该公式解决简单的等差数列问题．(重点)3．等差数列的证明及其应用．(难点)1.通过等差数列的通项公式的应用，提升数学运算素养．2．借助等差数列的判定与证明，培养逻辑推理素养.1．等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．思考1：等差数列定义中，为什么要注明“从第二项起”？[提示]第1项前面没有项，无法与前一项作差．思考2：等差数列定义中的“同一个”三个字可以去掉吗？[提示]不可以．如果差是常数，而这些常数不相等，则不是等差数列．2．等差数列的通项公式对于等差数列{an}的第n项an，有an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d.思考3：已知等差数列{an}的首项a1和公差d能表示出通项公式an＝a1＋(n－1)d，如果已知第m项am和公差d，又如何表示通项公式an?[提示]设等差数列的首项为a1，则am＝a1＋(m－1)d，变形得a1＝am－(m－1)d，则an＝a1＋(n－1)d＝am－(m－1)d＋(n－1)d＝am＋(n－m)d.1．已知等差数列{an}的首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an＝()A．4－2nB．2n－4-2-C．6－2nD．2n－6C[an＝a1＋(n－1)d＝4＋(n－1)×(－2)＝4－2n＋2＝6－2n.]2．等差数列－6，－3,0,3，…的公差d＝________.3[(－3)－(－6)＝3，故d＝3.]3．下列数列：①0,0,0,0；②0,1,2,3,4；③1,3,5,7,9；④0,1,2,3，….其中一定是等差数列的有________个．3[①②③是等差数列，④只能说明前4项成等差数列．]4．在△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则B等于________．60°[因为三内角A、B、C成等差数列，所以2B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝180°，所以3B＝180°，所以B＝60°.]等差数列的判定与证明【例1】判断下列数列是否为等差数列．(1)在数列{an}中，an＝3n＋2；(2)在数列{an}中，an＝n2＋n.思路探究：作差an＋1－an―→代数运算―→利用等差数列定义判断[解](1)an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N*)．由n的任意性知，这个数列为等差数列．(2)an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是常数，所以这个数列不是等差数列．1．定义法是判定(或证明)数列{an}是等差数列的基本方法，其步骤为：(1)作差an＋1－an；(2)对差式进行变形；(3)当an＋1－an是一个与n无关的常数时，数列{an}是等差数列；当an＋1－an不是常数，是与n有关的代数式时，数列{an}不是等差数列．-3-2．应注意等差数列的公差d是一个定值，它不随n的改变而改变．提醒：当n≥2时，an＋1－an＝d(d为常数)，无法说明数列{an}是等差数列，因为a2－a1不一定等于d.1．已知函数f(x)＝3xx＋3，数列{xn}的通项由xn＝f(xn－1)(n≥2且x∈N*)确定．(1)求证：数列1xn是等差数列；(2)当x1＝12时，求x2019.[解](1)因为f(x)＝3xx＋3，数列{xn}的通项xn＝f(xn－1)，所以xn＝3xn－1xn－1＋3，所以1xn＝1xn－1＋13，所以1xn－1xn－1＝13，所以1xn是等差数列．(2)x1＝12时，1x1＝2，所以1xn＝2＋13(n－1)＝n＋53，所以xn＝3n＋5，所以x2019＝32024.等差数列的通项公式【例2】已知数列{an}是等差数列，且a5＝10，a12＝31.(1)求{an}的通项公式；(2)若an＝13，求n的值．思路探究：建立首项a1和d的方程组求an；由an＝13解方程得n.[解](1)设{an}的首项为a1，公差为d，则由题意可知a1＋4d＝10，a1＋11d＝31，解得a1＝－2，d＝3，∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5.(2)由an＝13，得3n－5＝13，解得n＝6.1．从方程的观点看等差数列的通项公式，an＝a1＋(n－1)d中包含了四个量，已知其中的三个量，可以求得另一个量，即“知三求一”．2．已知数列的其中两项，求公差d，或已知一项、公差和其中一项的序号，求序号的对应项时，通常应用变形an＝am＋(n－m)d.-4-2．已知递减等差数列{an}前三项的和为18，前三项的积为66.求该数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？[解]依题意得a1＋a2＋a3＝18，a1a2a3＝66，∴3a1＋3d＝18，a1·a1＋d·a1＋2d＝66，解得a1＝11，d＝－5或a1＝1，d＝5.∵数列{an}是递减等差数列，∴d0.故取a1＝11，d＝－5.∴an＝11＋(n－1)·(－5)＝－5n＋16，即等差数列{an}的通项公式为an＝－5n＋16.令an＝－34，即－5n＋16＝－34，得n＝10.∴－34是数列{an}的第10项．等差数列的应用[探究问题]1．若数列{an}满足an＋1＝an＋1且a1＝1，则a5如何求解？[提示]由an＋1＝an＋1可知an＋1－an＝1.∴{an}是首项a1＝1，公差d＝1的等差数列．∴an＝1＋(n－1)×1＝n，∴an＝n2，∴a5＝52＝25.2．某剧场有20排座位，第一排有20个座位，从第2排起，后一排都比前一排多2个座位，则第15排有多少个座位？[提示]设第n排有an个座位，由题意可知an－an－1＝2(n≥2)．又a1＝20，∴an＝20＋(n－1)×2＝2n＋18.∴a15＝2×15＋18＝48.即第15排有48个座位．【例3】某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元．从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？思路探究：分析题意，明确题中每年获利构成等差数列，把实际问题转化为等差数列问题，利用等差数列的知识解决即可．-5-[解]由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元，…，每年获利构成等差数列{an}，且当an0时，该公司会出现亏损．设从第1年起，第n年的利润为an，则an－an－1＝－20，n≥2，n∈N*.所以每年的利润可构成一个等差数列{an}，且首项a1＝200，公差d＝－20.所以an＝a1＋(n－1)d＝220－20n.若an0，则该公司经销这一产品将亏损，所以由an＝220－20n0，得n11，即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．1．在实际问题中，若涉及到一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．2．在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题．3．甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：时间t(s)123…？…60距离s(cm)9.819.629.4…49…？(1)你能建立一个等差数列的模型，表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗？(2)利用建立的模型计算，甲虫1min能爬多远？它爬行49cm需要多长时间？[解](1)由题目表中数据可知，该数列从第2项起，每一项与前一项的差都是常数9.8，所以是一个等差数列模型．因为a1＝9.8，d＝9.8，所以甲虫的爬行距离s与时间t的关系是s＝9.8t.(2)当t＝1min＝60s时，s＝9.8t＝9.8×60＝588cm.当s＝49cm时，t＝s9.8＝499.8＝5s.1．判断一个数列是否为等差数列的常用方法(1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列；(2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列；(3)an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列．但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．2．由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另-6-一个量．1．判断正误(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()(2)等差数列{an}的单调性与公差d有关．()(3)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．()[答案](1)×(2)√(3)√[提示](1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．(2)正确．当d0时为递增数列；d＝0时为常数列；d0时为递减数列．(3)正确．若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列．2．在等差数列{an}中，若a1＝84，a2＝80，则使an≥0，且an＋10的n为()A．21B．22C．23D．24B[公差d＝a2－a1＝－4，∴an＝a1＋(n－1)d＝84＋(n－1)(－4)＝88－4n，令an≥0，an＋10，即88－4n≥0，88－4n＋10⇒21n≤22.又∵n∈N*，∴n＝22.]3．若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋2，则an＝________.2n－1[由an＋1＝an＋2，得an＋1－an＝2，∴{an}是首项a1＝1，d＝2的等差数列，∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.]4．已知数列{an}，a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3)，判断数列{an}是否为等差数列？说明理由．[解]因为an＝an－1＋2(n≥3)，所以an－an－1＝2(常数)．又n≥3，所以从第3项起，每一项减去前一项的差都等于同一个常数2，而a2－a1＝0≠a3－a2，所以数列{an}不是等差数列．