2019-2020学年高中数学 第2章 数列 2.1 数列讲义 苏教版必修5

-1-2.1数列学习目标核心素养1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．(难点)2．理解数列的通项公式及简单应用．(重点)3．数列与集合、函数等概念的区别与联系．(易混点)1.通过数列概念及数列通项的学习，体现了数学抽象及逻辑推理素养．2．借助数列通项公式的应用，培养学生的逻辑推理及数学运算素养.1．数列的概念按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫做这个数列的项．项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．2．数列的表示数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}，其中a1称为数列{an}的第1项(或称为首项)，a2称为第2项，…，an称为第n项．思考1：数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？[提示]不是，顺序不一样．思考2：数列的记法和集合有些相似，那么数列与集合的区别是什么？[提示]数列中的数讲究顺序，集合中的元素具有无序性；数列中可以出现相同的数，集合中的元素具有互异性．3．数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，k})为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．4．数列的通项公式如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．数列可以用通项公式来描述，也可以通过列表或图象来表示．思考3：数列的通项公式an＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？-2-[提示]如图，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．不同之处是定义域，数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集．1．数列3,4,5,6，…的一个通项公式为()A．an＝nB．an＝n＋1C．an＝n＋2D．an＝2nC[经验证可知，它的一个通项公式为an＝n＋2.]2．600是数列1×2,2×3,3×4,4×5，…的第________项．24[an＝n(n＋1)＝600＝24×25，所以n＝24.]3．数列{an}满足an＝log2(n2＋3)－2，则log23是这个数列的第________项．3[令an＝log2(n2＋3)－2＝log23，解得n＝3.]4．数列1,2,7，10，13，…中的第26项为________．219[因为a1＝1＝1，a2＝2＝4，a3＝7，a4＝10，a5＝13，所以an＝3n－2，所以a26＝3×26－2＝76＝219.]根据数列的前n项写出通项公式【例1】写出下列数列的一个通项公式．(1)12，2，92，8，252，…；(2)9,99,999,9999，…；(3)22－11，32－23，42－35，52－47，…；(4)－11×2，12×3，－13×4，14×5，….思路探究：观察―→归纳an与n的关系―→验证结论―→得出答案[解](1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：12，42，-3-92，162，252，…，所以它的一个通项公式为an＝n22(n∈N*)．(2)各项加1后，变为10,100,1000,10000，….此数列的通项公式为10n，可得原数列的通项公式为an＝10n－1(n∈N*)．(3)数列中每一项由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，可用2n－1表示；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，可用(n＋1)2表示，分子的后一部分是减去一个自然数，可用n表示，综上，原数列的通项公式为an＝n＋12－n2n－1(n∈N*)．(4)这个数列的前4项的绝对值都等于项数与项数加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是an＝(－1)n1nn＋1(n∈N*)．用观察法求数列的通项公式的一般规律(1)一般数列通项公式的求法(2)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)k处理符号问题．(3)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．1．写出下列数列的一个通项公式．(1)3,5,9,17,33，…；(2)12，34，78，1516，3132，…；(3)23，－1，107，－179，2611，－3713，….[解](1)中3可看做21＋1,5可看做22＋1,9可看做23＋1,17可看做24＋1,33可看做25＋1，….所以an＝2n＋1.-4-(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列为21,22,23,24，…，所以an＝2n－12n.(3)偶数项为负而奇数项为正，故通项公式必含因式(－1)n＋1，观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7,9,11,13组成，而分子则是32＋1,42＋1,52＋1,62＋1，按照这样的规律第1,2两项可分别改写为12＋12＋1，－22＋12×2＋1，所以an＝(－1)n＋1n2＋12n＋1.通项公式的简单应用【例2】已知数列{an}的通项公式是an＝2n2－n.(1)写出数列的前3项；(2)判断45是否为{an}中的项？3是否为{an}中的项？思路探究：(1)令n＝1,2,3求解即可；(2)令an＝45或an＝3解n便可．[解](1)在通项公式中依次取n＝1,2,3，可得{an}的前3项分别为：1,6,15.(2)令2n2－n＝45，得2n2－n－45＝0，解得n＝5或n＝－92(舍去)，故45是数列{an}中的第5项．令2n2－n＝3，得2n2－n－3＝0，解得n＝－1或n＝32，即方程没有正整数解，故3不是数列中的项．1．如果已知数列的通项公式，只要将相应项数代入通项公式，就可以写出数列中的指定项．2．判断某数是否为数列中的一项，步骤如下：(1)将所给的数代入通项公式中；(2)解关于n的方程；(3)若n为正整数，说明所给的数是该数列的项；若n不是正整数，则不是该数列的项．提醒：数列项的取值为正的自然数，是离散的，解题时要关注n的取值特点．-5-2．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－21n2(n∈N*)．(1)0和1是不是数列{an}中的项？如果是，那么是第几项？(2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？[解](1)令an＝0，得n2－21n＝0，∴n＝21或n＝0(舍去)，∴0是数列{an}中的第21项．令an＝1，得n2－21n2＝1，而该方程无正整数解，∴1不是数列{an}中的项．(2)假设存在连续且相等的两项为an，an＋1，则有an＝an＋1，即n2－21n2＝n＋12－21n＋12，解得n＝10，所以存在连续且相等的两项，它们分别是第10项和第11项．数列的性质[探究问题]1．数列是特殊的函数，能否利用函数求最值的方法求数列的最大(小)项？[提示]可以借助函数的性质求数列的最大(小)项，但要注意函数与数列的差异，数列{an}中，n∈N*.2．如何定义数列{an}的单调性？[提示]对于数列的单调性的判断一般要通过比较an＋1与an的大小来判断，若an＋1an，则数列为递增数列，若an＋1an，则数列为递减数列．【例3】设数列{an}的通项公式为an＝n2＋kn(n∈N*)．数列{an}是单调递增的，求实数k的取值范围．思路探究：利用二次函数的单调性，求得k的取值范围．[解]∵an＝n2＋kn，其图象的对称轴为n＝－k2，∴当－k2≤1，即k≥－2时，-6-{an}是单调递增数列．另外，当1－k22且－k2－12－－k2，即－3k－2时，{an}也是单调递增数列(如图所示)．∴k的取值范围是(－3，＋∞)．1．(变结论)求本例中k＝－13时数列{an}的最小项．[解]由题意知n2－13n＝n－1322－1694，由于函数f(x)＝x－1322－1694在0，132上是减函数，在132，＋∞上是增函数，故当n＝6或7时，f(n)＝n2－13n取得最小值－42.所以数列{an}的最小项为a6＝a7＝－42.2．(变条件)本例中“单调递增”改为“单调递减”，那么这样的实数k是否存在？如果存在，求实数k的范围，若不存在说明理由．[解]要使{an}是单调递减数列，必须anan＋1恒成立，即n2＋kn(n＋1)2＋k(n＋1)对任意n∈N*恒成立．整理得k－2n－1对任意n∈N*恒成立，因为f(n)＝－2n－1(n∈N*)没有最小值，故不存在实数k使an＝n2＋kn单调递减．1．函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别，即数列所对应的函数若单调则数列一定单调，反之若数列单调，其所对应的函数不一定单调．2．求数列的最大(小)项，还可以通过研究数列的单调性求解，一般地，若an－1≤an，an＋1≤an，则an为最大项；若an－1≥an，an＋1≥an，则an为最小项．1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．(2)可重复性：数列中的数可以重复．(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且也与这些数的排列次序有关．-7-2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14，3.141，…，它没有通项公式．根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳．3．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．1．判断正误(1)数列1,1,1，…是无穷数列．()(2)数列1,2,3,4和数列1,2,4,3是同一个数列．()(3)有些数列没有通项公式．()[答案](1)√(2)×(3)√[提示](1)正确．每项都为1的常数列，有无穷多项．(2)错误．虽然都是由1,2,3,4四个数构成的数列，但是两个数列中后两个数顺序不同，不是同一个数列．(3)正确．某些数列的第n项an和n之间可以建立一个函数关系式，这个数列就有通项公式，否则，不能建立一个函数关系式，这个数列就没有通项公式．2．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x等于()A．11B．12C．13D．14C[观察可知该数列从第3项开始每一项都等于它前面相邻两项的和，故x＝5＋8＝13.]3．已知数列2，10，4，…，23n－1，…，则8是该数列的第________项．11[令23n－1＝8，得n＝11.]4．已知数列9n2－9n＋29n2－1.(1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内．[解]设f(n)＝9n2－9n＋29n2－1＝3n－13n－23n－13n＋1＝3n－23n＋1.-8-(1)令n＝10，得第10项a10＝f(10)＝2831.(2)令3n－23n＋1＝98101，得9n＝300.此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项．(3)证明：∵an＝3n－23n＋1＝3n＋1－33n＋1＝1－33n＋1，又n∈N*，∴033n＋11，∴0an1.即数列中的各项都在区间(0,1)内．