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当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > 2019-2020学年高中数学 第2章 数列 2.1 数列讲义 苏教版必修5
-1-2.1数列学习目标核心素养1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).(难点)2.理解数列的通项公式及简单应用.(重点)3.数列与集合、函数等概念的区别与联系.(易混点)1.通过数列概念及数列通项的学习,体现了数学抽象及逻辑推理素养.2.借助数列通项公式的应用,培养学生的逻辑推理及数学运算素养.1.数列的概念按照一定次序排列的一列数称为数列,数列中的每个数都叫做这个数列的项.项数有限的数列叫做有穷数列,项数无限的数列叫做无穷数列.2.数列的表示数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,an,…,简记为{an},其中a1称为数列{an}的第1项(或称为首项),a2称为第2项,…,an称为第n项.思考1:数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗?[提示]不是,顺序不一样.思考2:数列的记法和集合有些相似,那么数列与集合的区别是什么?[提示]数列中的数讲究顺序,集合中的元素具有无序性;数列中可以出现相同的数,集合中的元素具有互异性.3.数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…,k})为定义域的函数an=f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值.4.数列的通项公式如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.数列可以用通项公式来描述,也可以通过列表或图象来表示.思考3:数列的通项公式an=f(n)与函数解析式y=f(x)有什么异同?-2-[提示]如图,数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…,n})为定义域的函数an=f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.不同之处是定义域,数列中的n必须是从1开始且连续的正整数,函数的定义域可以是任意非空数集.1.数列3,4,5,6,…的一个通项公式为()A.an=nB.an=n+1C.an=n+2D.an=2nC[经验证可知,它的一个通项公式为an=n+2.]2.600是数列1×2,2×3,3×4,4×5,…的第________项.24[an=n(n+1)=600=24×25,所以n=24.]3.数列{an}满足an=log2(n2+3)-2,则log23是这个数列的第________项.3[令an=log2(n2+3)-2=log23,解得n=3.]4.数列1,2,7,10,13,…中的第26项为________.219[因为a1=1=1,a2=2=4,a3=7,a4=10,a5=13,所以an=3n-2,所以a26=3×26-2=76=219.]根据数列的前n项写出通项公式【例1】写出下列数列的一个通项公式.(1)12,2,92,8,252,…;(2)9,99,999,9999,…;(3)22-11,32-23,42-35,52-47,…;(4)-11×2,12×3,-13×4,14×5,….思路探究:观察―→归纳an与n的关系―→验证结论―→得出答案[解](1)数列的项,有的是分数,有的是整数,可将各项都统一成分数再观察:12,42,-3-92,162,252,…,所以它的一个通项公式为an=n22(n∈N*).(2)各项加1后,变为10,100,1000,10000,….此数列的通项公式为10n,可得原数列的通项公式为an=10n-1(n∈N*).(3)数列中每一项由三部分组成,分母是从1开始的奇数列,可用2n-1表示;分子的前一部分是从2开始的自然数的平方,可用(n+1)2表示,分子的后一部分是减去一个自然数,可用n表示,综上,原数列的通项公式为an=n+12-n2n-1(n∈N*).(4)这个数列的前4项的绝对值都等于项数与项数加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式是an=(-1)n1nn+1(n∈N*).用观察法求数列的通项公式的一般规律(1)一般数列通项公式的求法(2)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用(-1)k处理符号问题.(3)对于周期出现的数列,可考虑拆成几个简单数列和的形式,或者利用周期函数,如三角函数等.1.写出下列数列的一个通项公式.(1)3,5,9,17,33,…;(2)12,34,78,1516,3132,…;(3)23,-1,107,-179,2611,-3713,….[解](1)中3可看做21+1,5可看做22+1,9可看做23+1,17可看做24+1,33可看做25+1,….所以an=2n+1.-4-(2)每一项的分子比分母少1,而分母组成数列为21,22,23,24,…,所以an=2n-12n.(3)偶数项为负而奇数项为正,故通项公式必含因式(-1)n+1,观察各项绝对值组成的数列,从第3项到第6项可见,分母分别由奇数7,9,11,13组成,而分子则是32+1,42+1,52+1,62+1,按照这样的规律第1,2两项可分别改写为12+12+1,-22+12×2+1,所以an=(-1)n+1n2+12n+1.通项公式的简单应用【例2】已知数列{an}的通项公式是an=2n2-n.(1)写出数列的前3项;(2)判断45是否为{an}中的项?3是否为{an}中的项?思路探究:(1)令n=1,2,3求解即可;(2)令an=45或an=3解n便可.[解](1)在通项公式中依次取n=1,2,3,可得{an}的前3项分别为:1,6,15.(2)令2n2-n=45,得2n2-n-45=0,解得n=5或n=-92(舍去),故45是数列{an}中的第5项.令2n2-n=3,得2n2-n-3=0,解得n=-1或n=32,即方程没有正整数解,故3不是数列中的项.1.如果已知数列的通项公式,只要将相应项数代入通项公式,就可以写出数列中的指定项.2.判断某数是否为数列中的一项,步骤如下:(1)将所给的数代入通项公式中;(2)解关于n的方程;(3)若n为正整数,说明所给的数是该数列的项;若n不是正整数,则不是该数列的项.提醒:数列项的取值为正的自然数,是离散的,解题时要关注n的取值特点.-5-2.已知数列{an}的通项公式为an=n2-21n2(n∈N*).(1)0和1是不是数列{an}中的项?如果是,那么是第几项?(2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项?若存在,分别是第几项?[解](1)令an=0,得n2-21n=0,∴n=21或n=0(舍去),∴0是数列{an}中的第21项.令an=1,得n2-21n2=1,而该方程无正整数解,∴1不是数列{an}中的项.(2)假设存在连续且相等的两项为an,an+1,则有an=an+1,即n2-21n2=n+12-21n+12,解得n=10,所以存在连续且相等的两项,它们分别是第10项和第11项.数列的性质[探究问题]1.数列是特殊的函数,能否利用函数求最值的方法求数列的最大(小)项?[提示]可以借助函数的性质求数列的最大(小)项,但要注意函数与数列的差异,数列{an}中,n∈N*.2.如何定义数列{an}的单调性?[提示]对于数列的单调性的判断一般要通过比较an+1与an的大小来判断,若an+1an,则数列为递增数列,若an+1an,则数列为递减数列.【例3】设数列{an}的通项公式为an=n2+kn(n∈N*).数列{an}是单调递增的,求实数k的取值范围.思路探究:利用二次函数的单调性,求得k的取值范围.[解]∵an=n2+kn,其图象的对称轴为n=-k2,∴当-k2≤1,即k≥-2时,-6-{an}是单调递增数列.另外,当1-k22且-k2-12--k2,即-3k-2时,{an}也是单调递增数列(如图所示).∴k的取值范围是(-3,+∞).1.(变结论)求本例中k=-13时数列{an}的最小项.[解]由题意知n2-13n=n-1322-1694,由于函数f(x)=x-1322-1694在0,132上是减函数,在132,+∞上是增函数,故当n=6或7时,f(n)=n2-13n取得最小值-42.所以数列{an}的最小项为a6=a7=-42.2.(变条件)本例中“单调递增”改为“单调递减”,那么这样的实数k是否存在?如果存在,求实数k的范围,若不存在说明理由.[解]要使{an}是单调递减数列,必须anan+1恒成立,即n2+kn(n+1)2+k(n+1)对任意n∈N*恒成立.整理得k-2n-1对任意n∈N*恒成立,因为f(n)=-2n-1(n∈N*)没有最小值,故不存在实数k使an=n2+kn单调递减.1.函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别,即数列所对应的函数若单调则数列一定单调,反之若数列单调,其所对应的函数不一定单调.2.求数列的最大(小)项,还可以通过研究数列的单调性求解,一般地,若an-1≤an,an+1≤an,则an为最大项;若an-1≥an,an+1≥an,则an为最小项.1.与集合中元素的性质相比较,数列中的项也有三个性质(1)确定性:一个数在不在数列中,即一个数是不是数列中的项是确定的.(2)可重复性:数列中的数可以重复.(3)有序性:一个数列不仅与构成数列的“数”有关,而且也与这些数的排列次序有关.-7-2.并非所有的数列都能写出它的通项公式.例如,π的不同近似值,依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141,…,它没有通项公式.根据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察分析,抓住其几方面的特征:①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征;③拆项后的特征;④各项的符号特征和绝对值特征.并对此进行联想、转化、归纳.3.如果一个数列有通项公式,则它的通项公式可以有多种形式.1.判断正误(1)数列1,1,1,…是无穷数列.()(2)数列1,2,3,4和数列1,2,4,3是同一个数列.()(3)有些数列没有通项公式.()[答案](1)√(2)×(3)√[提示](1)正确.每项都为1的常数列,有无穷多项.(2)错误.虽然都是由1,2,3,4四个数构成的数列,但是两个数列中后两个数顺序不同,不是同一个数列.(3)正确.某些数列的第n项an和n之间可以建立一个函数关系式,这个数列就有通项公式,否则,不能建立一个函数关系式,这个数列就没有通项公式.2.在数列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中,x等于()A.11B.12C.13D.14C[观察可知该数列从第3项开始每一项都等于它前面相邻两项的和,故x=5+8=13.]3.已知数列2,10,4,…,23n-1,…,则8是该数列的第________项.11[令23n-1=8,得n=11.]4.已知数列9n2-9n+29n2-1.(1)求这个数列的第10项;(2)98101是不是该数列中的项,为什么?(3)求证:数列中的各项都在区间(0,1)内.[解]设f(n)=9n2-9n+29n2-1=3n-13n-23n-13n+1=3n-23n+1.-8-(1)令n=10,得第10项a10=f(10)=2831.(2)令3n-23n+1=98101,得9n=300.此方程无正整数解,所以98101不是该数列中的项.(3)证明:∵an=3n-23n+1=3n+1-33n+1=1-33n+1,又n∈N*,∴033n+11,∴0an1.即数列中的各项都在区间(0,1)内.
本文标题:2019-2020学年高中数学 第2章 数列 2.1 数列讲义 苏教版必修5
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