2019-2020学年高中数学 第2章 数列 2.3.1 等比数列的概念 2.3.2 等比数列的通项

-1-2.3.1等比数列的概念2.3.2等比数列的通项公式第1课时等比数列的概念及通项公式学习目标核心素养1.理解等比数列的概念，能在具体情景中，发现数列的等比关系．(重点)2.会推导等比数列的通项公式，并能应用该公式解决简单的等比数列问题．(重点)3.会证明一个数列是等比数列．(难点)1.通过等比数列的通项公式及等比中项的学习及应用，体现了数学运算素养.2.借助等比数列的判定与证明，培养逻辑推理素养.1．等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)．思考1：观察下列4个数列，归纳它们的共同特点．①1,2,4,8,16，…；②1，12，14，18，116，…；③1,1,1,1，…；④－1,1，－1,1，….[提示]从第2项起，每一项与前一项的比是同一个常数．思考2：若数列{an}满足an＋1＝2an(n∈N*)，那么{an}是等比数列吗？[提示]不一定．当a1＝0时，按上述递推关系，该数列为常数列，且常数为0，故{an}不一定为等比数列．2．等比数列的通项公式如果数列{an}是等比数列，首项为a1，公比为q，那么它的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)．3．等比中项(1)若a，G，b成等比数列，则称G为a和b的等比中项，且满足G2＝ab.(2)若数列{an}是等比数列，对任意的正整数n(n≥2)，都有a2n＝an－1·an＋1.思考3：任意两个非零常数都有等比中项吗？若有，有几个？[提示]当ab0时，a，b的等比中项有两个，且这两个数互为相反数；当ab0时，a，-2-b没有等比中项．1．2＋3和2－3的等比中项是()A．1B．－1C．±1D．2C[设2＋3和2－3的等比中项为a，则a2＝(2＋3)(2－3)＝1.即a＝±1.]2．下列数列为等比数列的序号是________．①2,22,3×22；②1a，1a2，1a3，1a4，1a5(a≠0)；③s－1，(s－1)2，(s－1)3，(s－1)4，(s－1)5；④0,0,0,0,0.②[222≠3×2222，所以①不是等比数列；②是首项为1a，公比为1a的等比数列；③中，当s＝1时，数列为0,0,0,0,0，所以不是等比数列；④显然不是等比数列．]3．等比数列{an}中，a2＝2，a5＝14，则公比q＝________.12[由定义知a2a1＝a3a2＝a4a3＝a5a4＝q，则a2＝a1q＝2，①a5＝a4q＝a3q2＝a2q3＝a1q4＝14，②所以②÷①得q3＝18，所以q＝12.]4．在等比数列{an}中，a4＝27，q＝－3，则a7＝________.－729[由等比数列定义知a7a6＝a6a5＝a5a4＝q.所以a5＝a4q＝27×(－3)＝－81，a6＝a5q＝－81×(－3)＝243，a7＝a6q＝243×(－3)＝－729.]等比数列的通项公式及应用【例1】在等比数列{an}中．(1)已知a1＝3，q＝－2，求a6；-3-(2)已知a3＝20，a6＝160，求an.[解](1)由等比数列的通项公式得，a6＝3×(－2)6－1＝－96.(2)设等比数列的公比为q，那么a1q2＝20，a1q5＝160，解得q＝2，a1＝5.所以an＝a1qn－1＝5×2n－1.1．等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．2．关于a1和q的求法通常有以下两种方法：(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．1．在等比数列{an}中，(1)若它的前三项分别为5，－15,45，求a5；(2)若a4＝2，a7＝8，求an.[解](1)∵a5＝a1q4，而a1＝5，q＝a2a1＝－3，∴a5＝405.(2)因为a4＝a1q3，a7＝a1q6，所以a1q3＝2，①a1q6＝8，②由②①得q3＝4，从而q＝34，而a1q3＝2，于是a1＝2q3＝12，所以an＝a1qn－1＝.等比中项-4-【例2】(1)等比数列{an}中，a1＝18，q＝2，则a4与a8的等比中项是()A．±4B．4C．±14D.14(2)已知b是a，c的等比中项，求证：ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项．思路探究：(1)用定义求等比中项．(2)证明(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)即可．(1)A[由an＝18·2n－1＝2n－4知，a4＝1，a8＝24，所以a4与a8的等比中项为±4.](2)[证明]b是a，c的等比中项，则b2＝ac，且a，b，c均不为零，又(a2＋b2)(b2＋c2)＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，(ab＋bc)2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，所以(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)，即ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项．等比中项应用的三点注意1由等比中项的定义可知Ga＝bG⇒G2＝ab⇒G＝±ab，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项.2在一个等比数列中，从第二项起，每一项有穷数列的末项除外都是它的前一项和后一项的等比中项.,3a，G，b成等比数列等价于G2＝abab0.2．若1，a,3成等差数列，1，b,4成等比数列，则ab的值为()A．±12B.12C．1D．±1D[由题知2a＝1＋3，∴a＝2.由b2＝4得b＝±2，∴ab＝±1.]3．设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于()A．2B．4C．6D．8B[∵an＝(n＋8)d，又∵a2k＝a1·a2k，∴[(k＋8)d]2＝9d·(2k＋8)d，解得k＝－2(舍去)，k＝4.]-5-等比数列的判断与证明[探究问题]1．若数列{an}是等比数列，易知有an＋1an＝q(q为常数，且q≠0)或a2n＋1＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)成立．反之，能说明数列{an}是等比数列吗？[提示]能．若数列{an}满足an＋1an＝q(q为常数，q≠0)或a2n＋1＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)都能说明{an}是等比数列．2．若数列{an}是公比为q的等比数列，则它的通项公式为an＝a1·qn－1(a，q为非零常数，n∈N*)．反之，能说明数列{an}是等比数列吗？[提示]能．根据等比数列的定义可知．【例3】已知数列的前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是否是等比数列．思路探究：①如何由求和公式得通项公式？②a1是否适合an＝Sn－Sn－1(n≥2)？需要检验吗？[解]an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n－1－a＝2n－1(n≥2)．当n≥2时an＋1an＝2n2n－1＝2；当n＝1时，an＋1an＝a2a1＝22＋a.故当a＝－1时，数列{an}成等比数列，其首项为1，公比为2；当a≠－1时，数列{an}不是等比数列．1．(变条件)将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“Sn＝2－an”．求证数列{an}是等比数列．[证明]∵Sn＝2－an，∴Sn＋1＝2－an＋1，∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1，∴an＋1＝12an.又∵S1＝2－a1，∴a1＝1≠0.又由an＋1＝12an知an≠0，∴an＋1an＝12，∴{an}是等比数列．2．(变条件，变结论)将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“a1＝1，an＋1＝2an＋1”证明数-6-列{an＋1}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式．[解]因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)．由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0.所以an＋1＋1an＋1＝2(n∈N*)，所以数列{an＋1}是等比数列．所以{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝2·2n－1＝2n，即an＝2n－1.判断一个数列{an}是等比数列的方法1定义法：若数列{an}满足an＋1an＝qq为常数且不为零或\f(an,an－1)＝qn≥2，q为常数且不为零，则数列{an}是等比数列.2等比中项法：对于数列{an}，若a2n＋1＝an·an＋2且an≠0，则数列{an}是等比数列.3通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1a1≠0，q≠0，则数列{an}是等比数列.1．等比数列的判断或证明(1)利用定义：an＋1an＝q(q为与n无关的常数且不为零)．(2)利用等比中项：a2n＋1＝anan＋2(n∈N*)．2．两个同号的实数a，b才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±ab)，而不是一个(ab)，这是容易忽视的地方．3．等比数列的通项公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量．1．判断正误(1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．()(2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．()(3)常数列一定为等比数列．()(4)任何两个数都有等比中项．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×-7-[提示](1)错误，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列；(2)错误，当公比为零时，根据等比数列的定义，数列中的项也为零；(3)错误，当常数列不为零数列时，该数列才是等比数列；(4)错误．当两数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项．2．在等比数列{an}中，若a2＝4，a5＝－32，则公比q应为()A．±12B．±2C.12D．－2D[因为a5a2＝q3＝－8，故q＝－2.]3．在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前三项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________.4n－1[由题意知a1＋4a1＋16a1＝21，解得a1＝1，所以通项公式an＝4n－1.]4．已知数列{an}是首项为2，公差为－1的等差数列，令bn＝12an，求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式．[解]依题意an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，于是bn＝123－n.而bn＋1bn＝122－n123－n＝12－1＝2.∴数列{bn}是公比为2的等比数列，通项公式为bn＝2n－3.