2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 1.2.3 三角函数的诱导公式（第1课时）三角函数

-1-第1课时三角函数的诱导公式(一～四)学习目标核心素养(教师独具)1.能借助单位圆中的三角函数定义推导出诱导公式一～四．(难点)2.掌握诱导公式一～四，会运用诱导公式化简、求值与证明．(重点)通过学习本节内容提升学生的数学运算核心素养.一、诱导公式(一)终边相同的角的诱导公式(公式一)：sin(α＋2kπ)＝sin_α(k∈Z)；cos(α＋2kπ)＝cos_α(k∈Z)；tan(α＋2kπ)＝tan_α(k∈Z)．思考1：终边相同角的三角函数值之间有什么关系？[提示]相等．二、诱导公式(二)终边关于x轴对称的角的诱导公式(公式二)：sin(－α)＝－sin_α；cos(－α)＝cos_α；tan(－α)＝－tan_α.思考2：角－α的终边与单位圆的交点与角α的终边与单位圆的交点有何关系？[提示]关于x轴对称．三、诱导公式(三)终边关于y轴对称的角的诱导公式(公式三)：sin(π－α)＝sin_α；cos(π－α)＝－cos_α；tan(π－α)＝－tan_α.四、诱导公式(四)终边关于原点对称的角的诱导公式(公式四)：sin(π＋α)＝－sin_α；-2-cos(π＋α)＝－cos_α；tan(π＋α)＝tan_α.1．(1)sin25π6＝________；(2)cos9π4＝________；(3)tan－7π4＝________.(1)12(2)22(3)1[(1)sin25π6＝sin4π＋π6＝sinπ6＝12.(2)cos9π4＝cos2π＋π4＝cosπ4＝22.(3)tan－7π4＝tan－2π＋π4＝tanπ4＝1.]2．(1)sin－π3＝________；(2)cos330°＝________；(3)tan690°＝________.(1)－32(2)32(3)－33[(1)sin－π3＝－sinπ3＝－32.(2)cos330°＝cos(360°－30°)＝cos(－30°)＝cos30°＝32.(3)tan690°＝tan[2×360°＋(－30°)]＝tan(－30°)＝－tan30°＝－33.]3．(1)sin5π6＝________；(2)cos34π＝________；(3)tan1560°＝________.(1)12(2)－22(3)－3[(1)sin5π6＝sinπ－π6＝sinπ6＝12.(2)cos3π4＝cosπ－π4＝－cosπ4＝－22.(3)tan1560°＝tan(4×360°＋120°)＝tan120°＝tan(180°－60°)＝－tan60°＝－3.]-3-4．(1)sin225°＝________；(2)cos7π6＝________；(3)tan10π3＝________.(1)－22(2)－32(3)3[(1)sin225°＝sin(180°＋45°)＝－sin45°＝－22.(2)cos7π6＝cosπ＋π6＝－cosπ6＝－32.(3)tan10π3＝tan2π＋π＋π3＝tanπ＋π3＝tanπ3＝3.]给角求值【例1】求下列各三角函数式的值：(1)sin(－660°)；(2)cos27π4；(3)2cos660°＋sin630°；(4)tan37π6·sin－5π3.思路点拨：利用诱导公式先把任意角的三角函数化为锐角三角函数，再求值．[解](1)因为－660°＝－2×360°＋60°，所以sin(－660°)＝sin60°＝32.(2)因为27π4＝6π＋3π4，所以cos27π4＝cos3π4＝－22.(3)原式＝2cos(720°－60°)＋sin(720°－90°)＝2cos60°－sin90°＝2×12－1＝0.(4)tan37π6·sin－5π3＝tan6π＋π6·sin－2π＋π3＝tanπ6·sinπ3＝33×32＝12.-4-利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤：1．求下列各三角函数式的值：(1)sin1320°；(2)cos－31π6；(3)tan(－945°)．[解](1)sin1320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－32.(2)cos－31π6＝cos－6π＋5π6＝cosπ－π6＝－cosπ6＝－32.(3)tan(－945°)＝－tan945°＝－tan(225°＋2×360°)＝－tan225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan45°＝－1.化简求值【例2】化简：(1)cos－αtan7π＋αsinπ－α；(2)sin1440°＋α·cosα－1080°cos－180°－α·sin－α－180°.思路点拨：利用诱导公式一，二，三，四将函数值化为角α的三角函数值或锐角的三角函数值，再约分化简．[解](1)cos－αtan7π＋αsinπ－α＝cosαtanπ＋αsinα＝cosα·tanαsinα＝sinαsinα＝1.(2)原式＝sin4×360°＋α·cos3×360°－αcos180°＋α·[－sin180°＋α]＝sinα·cos－α－cosα·sinα＝cosα－cosα＝－1.三角函数式的化简方法：-5-1利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数.2常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数.3注意“1”的变式应用：如1＝sin2α＋cos2α＝tanπ4.2.sinkπ－αcos[k－1π－α]sin[k＋1π＋α]coskπ＋α(k∈Z)．[解]当k＝2n(n∈Z)时，原式＝sin2nπ－αcos[2n－1π－α]sin[2n＋1π＋α]cos2nπ＋α＝sin－α·cos－π－αsinπ＋α·cosα＝－sinα·－cosα－sinα·cosα＝－1；当k＝2n＋1(n∈Z)时，原式＝sin[2n＋1π－α]·cos[2n＋1－1π－α]sin[2n＋1＋1π＋α]·cos[2n＋1π＋α]＝sinπ－α·cosαsinα·cosπ＋α＝sinα·cosαsinα·－cosα＝－1.综上，原式＝－1.给值求值问题[探究问题]1．“α－15°”与“165°＋α”间存在怎样的关系？你能用“α－15°”表示“165°＋α”吗？提示：由165°＋α－(α－15°)＝180°可知165°＋α＝180°＋(α－15°)．2．若tan(α－15°)＝－1，则tan(165°＋α)等于多少？提示：由探究1可知tan(165°＋α)＝tan[180°＋(α－15°)]＝tan(α－15°)＝－1.【例3】求值．(1)已知sinπ3＋α＝－12，求sinα－5π3的值；(2)已知cosπ6＋α＝33，求cos7π6＋α的值．思路点拨：(1)π3＋α－α－5π3＝2π；(2)7π6＋α－π6＋α＝π.-6-[解](1)∵α＋π3－α－5π3＝2π，∴sinα－5π3＝sinα＋π3－2π＝sinα＋π3＝－12.(2)∵α＋7π6－α＋π6＝π，∴cos7π6＋α＝cosπ＋α＋π6＝－cosπ6＋α＝－33.1．(变条件)本例(1)条件变为“已知sin13π3＋α＝12”，求sinα－5π3的值．[解]∵13π3＋α－α－5π3＝6π，∴sinα－5π3＝sin13π3＋α－6π＝sin13π3＋α＝12.2．(变结论)本例(2)已知条件不变，求cosα－5π6的值．[解]∵α－5π6－α＋π6＝－π，∴cosα－5π6＝cos－π＋α＋π6＝cosπ－α＋π6＝－cosα＋π6＝－33.对于给值求值问题，要注意观察题目条件中的角与所求问题中的角之间的联系，然后选择恰当的诱导公式进行转化，一般采用代入法求值.提醒：设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键.教师独具1．明确各诱导公式的作用-7-诱导公式作用公式一将角转化为0～2π之间的角求值公式二将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值公式三将负角转化为正角求值公式四将角转化为0～π2之间的角求值2.诱导公式的记忆这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．1．已知sin(θ＋π)0，cos(θ－π)0，则角θ的终边落在()A．第一象限B．第二象限C．第三角限D．第四象限B[由sin(θ＋π)＝－sinθ0⇒sinθ0，cos(θ－π)＝－cosθ0⇒cosθ0，由sinθ0，cosθ0，可知θ是第二象限角．]2．(2019·全国卷Ⅰ)tan255°＝()A．－2－3B．－2＋3C．2－3D．2＋3[答案]D3．代数式sin120°cos210°的值为________．－34[由诱导公式可得，sin120°cos210°＝sin60°×(－cos30°)＝－32×32＝－34.]4．已知sin(π＋α)＝35，且α是第四象限角，求cos(α－2π)的值．[解]∵sin(π＋α)＝35，∴sinα＝－35，又α是第四象限角，-8-∴cosα＝1－sin2α＝1－－352＝45，∴cos(α－2π)＝cosα＝45.