2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数讲义 苏教版必修4

-1-1.2.1任意角的三角函数学习目标核心素养(教师独具)1.理解三角函数的定义，会使用定义求三角函数值．(重点、易错点)2.会判断给定角的三角函数值的符号．(重点)3.会利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围．(难点)通过学习本节内容提升学生的数学运算和数学抽象核心素养.一、任意角三角函数的定义在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r＝x2＋y20)，那么名称定义定义域正弦sinα＝yrR余弦cosα＝xrR正切tanα＝yxαα≠π2＋kπ，k∈Zsinα，cosα，tanα分别称为正弦函数、余弦函数、正切函数，统称为三角函数．思考1：对于确定的角α，sinα，cosα，tanα的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？[提示]不会．因为三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．思考2：若P为角α与单位圆的交点，sinα，cosα，tanα的值怎样表示？[提示]sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx.二、三角函数在各象的限符号-2-三、三角函数线1．有向线段：规定了方向(即规定了起点和终点)的线段．2．三角函数线1．思考辨析(1)α一定时，单位圆的正弦线一定．()(2)在单位圆中，有相同正弦线的角必相等．()(3)α与α＋π有相同的正切线．()[解析]结合三角函数线可知(1)(3)正确，(2)错误．[答案](1)√(2)×(3)√2．若角α的终边经过点P22，－22，则sinα＝________；cosα＝________；tanα＝________.－2222－1[由题意可知-3-|OP|＝22－02＋－22－02＝1，∴sinα＝－221＝－22；cosα＝221＝22；tanα＝－2222＝－1.]3．(1)若α在第三象限，则sinαcosα________0；(填“＞”“＜”)(2)cos3tan4________0.(填“”“”)(1)＞(2)＜[(1)∵α在第三象限，∴sinα＜0，cosα＜0，∴sinαcosα＞0.(2)∵π23π，π43π2，∴3是第二象限角，4是第三象限角．∴cos30，tan40.∴cos3tan40.]三角函数的定义及应用【例1】在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y＝－2x上，求sinα，cosα，tanα的值．思路点拨：以α的终边分别在第二、四象限为依据，分别取特殊点求sinα，cosα，tanα的值．[解]当α的终边在第二象限时，在α终边上取一点P(－1，2)，则r＝－12＋22＝5，所以sinα＝25＝255，cosα＝－15＝－55，tanα＝2－1＝－2.当α的终边在第四象限时，在α终边上取一点P′(1，－2)，则r＝12＋－22＝5，所以sinα＝－25＝－255，cosα＝15＝55，tanα＝－21＝－2.1．已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法：-4-(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值．(2)在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r0)，则sinα＝yr，cosα＝xr.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．2．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．1．已知角θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cosθ＝1010x，求sinθ，tanθ.[解]由题意知r＝|OP|＝x2＋9，由三角函数定义得cosθ＝xr＝xx2＋9.又∵cosθ＝1010x，∴xx2＋9＝1010x.∵x≠0，∴x＝±1.当x＝1时，P(1,3)，此时sinθ＝312＋32＝31010，tanθ＝31＝3.当x＝－1时，P(－1,3)，此时sinθ＝3－12＋32＝31010，tanθ＝3－1＝－3.三角函数值的符号【例2】(1)若α是第四象限角，则点P(cosα，tanα)在第________象限．(2)判断下列各式的符号：①sin183°；②tan7π4；③cos5.思路点拨：先确定各角所在的象限，再判定各三角函数值的符号．(1)四[∵α是第四象限角，∴cosα0，tanα0，∴点P(cosα，tanα)在第四象限．]-5-(2)[解]①∵180°183°270°，∴sin183°0；②∵3π27π42π，∴tan7π40；③∵3π252π，∴cos50.对于已知角α，判断α的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理.2．确定下列式子的符号：(1)tan108°·cos305°；(2)cos5π6·tan11π6sin2π3；(3)tan120°·sin269°.[解](1)∵108°是第二象限角，∴tan108°＜0.∵305°是第四象限角，∴cos305°＞0.从而tan108°·cos305°＜0.(2)∵5π6是第二象限角，11π6是第四象限角，2π3是第二象限角，∴cos5π6＜0，tan11π6＜0，sin2π3＞0.从而cos5π6·tan11π6sin2π3＞0.(3)∵120°是第二象限角，∴tan120°＜0，∵269°是第三象限角，∴sin269°＜0.从而tan120°sin269°＞0.应用三角函数线解三角不等式[探究问题]-6-1．在单位圆中，满足sinα＝12的正弦线有几条？试在图中明确．提示：两条，如图所示，MP1与NP2都等于12.2．满足sinα≥12的角的范围是多少？试在上述单位圆中给予明确．提示：如图中阴影部分所示，所求角α的取值范围为α2kπ＋π6≤α≤2kπ＋5π6，k∈Z.【例3】求函数f(x)＝1－2cosx＋lnsinx－22的定义域．思路点拨：借助单位圆解不等式组1－2cosx≥0sinx－22＞0便可．[解]由题意，自变量x应满足不等式组1－2cosx≥0，sinx－22＞0，即cosx≤12，sinx＞22.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴x2kπ＋π3≤x＜2kπ＋34π，k∈Z.1．利用三角函数线解三角不等式的方法(1)正弦、余弦型不等式的解法．对于sinx≥b，cosx≥a(sinx≤b，cosx≤a)，求解的关键是恰当地寻求点，只需作直线y＝b或x＝a与单位圆相交，连结原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围．-7-(2)正切型不等式的解法．对于tanx≥c，取点(1，c)连结该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合图象可确定相应的范围．2．利用三角函数线求函数的定义域解答此类题目的关键在于借助于单位圆，作出等号成立时角α的三角函数线，然后运用运动的观点，找出符合条件的角的范围．在这个解题过程中实现了一个转化，即把代数问题几何化，体现了数形结合的思想．3．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合：(1)sinα≥32；(2)cosα≤－12.[解](1)作直线y＝32交单位圆于A，B两点，连结OA，OB，则OA与OB围成的区域(图①阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为α2kπ＋π3≤α≤2kπ＋2π3，k∈Z.(2)作直线x＝－12交单位圆于C、D两点，连结OC、OD，则OC与OD围成的区域(图②阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为α2kπ＋23π≤α≤2kπ＋43π，k∈Z.教师独具1．本节课的重点是三角函数的定义、三角函数值的符号以及三角函数线的画法、利用三角函数线解决问题，难点是三角函数的定义及应用，对三角函数线概念的理解．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)三角函数的定义及应用；(2)三角函数值符号的判断；(3)三角函数线的画法及应用．3．本节课的易错点(1)已知α的终边所在的直线求α的三角函数值时，易忽视对α所在象限的讨论，造成漏解而发生解题错误．(2)画三角函数线的位置以及表示方法.-8-1．若sinα＜0，tanα＞0，则α终边所在象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限C[由sinα＜0可知α的终边落在第三、四象限及y轴的负半轴上．由tanα＞0可知α的终边落在第一、三象限内．故同时满足sinα＜0，tanα＞0的角α为第三象限角．]2．角α的终边经过点P(－b,4)且cosα＝－35，则b的值为________．3[由三角函数的定义可知－bb2＋16＝－35，∴b＞0，b2b2＋16＝925，解得b＝3.]3．若α是第一象限角，则sinα＋cosα的值与1的大小关系是________．sinα＋cosα1[作出α的正弦线和余弦线(图略)，由三角形“任意两边之和大于第三边”的性质可知sinα＋cosα1.]4．已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．[解]∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上，∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，则x＝4t，y＝－3t，r＝x2＋y2＝4t2＋－3t2＝5|t|，当t＞0时，r＝5t，sinα＝yr＝－3t5t＝－35，cosα＝xr＝4t5t＝45，tanα＝yx＝－3t4t＝－34.当t＜0时，r＝－5t，sinα＝yr＝－3t－5t＝35，cosα＝xr＝4t－5t＝－45，tanα＝yx＝－3t4t＝－34.综上可知，sinα＝－35，cosα＝45，tanα＝－34；或sinα＝35，cosα＝－45，tanα＝－34.-9-