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-1-第2课时函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质学习目标核心素养(教师独具)1.能由三角函数的图象求出解析式.(重点、易错点)2.掌握y=Asin(ωx+φ)的图象和性质.(重点)通过学习本节内容提升学生的直观想象和数学运算的核心素养.y=Asin(ωx+φ)的性质函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质如下:定义域R值域[-A,A]周期性T=2πω奇偶性φ=kπ,k∈Z时是奇函数;φ=π2+kπ,k∈Z时是偶函数;当φ≠kπ2(k∈Z)时是非奇非偶函数单调性单调增区间可由-π2+2kπ≤ωx+φ≤π2+2kπ,k∈Z得到,单调减区间可由π2+2kπ≤ωx+φ≤3π2+2kπ,k∈Z得到1.最大值为12,周期为π3,初相为π4的函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)解析式可以为________.y=12sin6x+π4[由题意可知A=12,2πω=π3,∴ω=6,又φ=π4,故其解析式可以为y=12sin6x+π4.]2.已知f(x)=Asinωx+π3(A>0,ω>0)在一个周期内,当x=π12时,取得最大值2;当x=7π12时,取得最小值-2,则f(x)=________.-2-2sin2x+π3[由题意可知,A=2,又T2=7π12-π12=π2,∴T=π,∴ω=2ππ=2,∴f(x)=2sin2x+π3.]由图象求三角函数的解析式【例1】如图是函数y=Asin(ωx+φ)A0,ω0,|φ|π2的图象,求A,ω,φ的值,并确定其函数解析式.思路点拨:观察图象可知A=3,对于ω,φ可由一个周期内的图象确定.[解]法一:(逐一定参法)由图象知振幅A=3,又T=5π6--π6=π,∴ω=2πT=2.由点-π6,0,得-π6×2+φ=0,得φ=π3,∴y=3sin2x+π3.法二:(待定系数法)由图象知A=3,又图象过点π3,0和5π6,0,根据五点作图法原理(以上两点可判为“五点法”中的第三点和第五点),有π3·ω+φ=π,5π6·ω+φ=2π,解得ω=2,φ=π3,∴y=3sin2x+π3.-3-若设所求解析式为y=Asinωx+φ,则在观察函数图象的基础上,可按以下规律来确定A,ω,φ.1由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|.2由函数图象与x轴的交点确定T,由T=2π|ω|,确定ω.3确定函数y=Asinωx+φ的初相φ的值的两种方法①代入法:把图象上的一个已知点代入此时A,ω已知或代入图象与x轴的交点求解此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上.②五点对应法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的第一个零点-φω,0作为突破口.“五点”的ωx+φ的值具体如下:“第一点”即图象上升时与x轴的交点为ωx+φ=0;“第二点”即图象的“峰点”为ωx+φ=π2;“第三点”即图象下降时与x轴的交点为ωx+φ=π;“第四点”即图象的“谷点”为ωx+φ=3π2;“第五点”为ωx+φ=2π.③图象变换法:运用逆向思维的方法,先确定函数的基本解析式y=Asinωx,再根据图象平移规律确定相关的参数.已知函数y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)在一个周期内的函数图象,如图所示,求该函数的一个解析式.[解]法一:(最值点法)由图象知函数的最大值为3,最小值为-3,又A0,∴A=3.由图象知T2=5π6-π3=π2,∴T=π=2πω,∴ω=2.又12π3+5π6=7π12,∴图象上的最高点为7π12,3,∴3=3sin2×7π12+φ,即sin7π6+φ=1,则7π6+φ=π2+2kπ,φ=-2π3+2kπ,可取φ=-2π3,∴函数的一个解析式为y=3sin2x-2π3.-4-法二:(五点对接法)由图象知A=3,又图象过点π3,0,5π6,0,根据五点作图法原理(以上两点可判断为五点作图法中的第一点与第三点)得π3·ω+φ=0,5π6·ω+φ=π,解得ω=2,φ=-2π3.∴函数的一个解析式为y=3sin2x-2π3.法三:(图象变换法)由图可知A=3,T2=5π6-π3=π2,∴T=π=2πω,∴ω=2.∴该函数的图象可由y=3sin2x的图象向右平移π3个单位长度得到,∴所求函数的一个解析式为y=3sin2x-π3,即y=3sin2x-2π3.y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质[探究问题]1.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的奇偶性与哪个量有关?当其取何值时为偶函数?当其取何值时为奇函数?提示:函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的奇偶性与参数φ有关,当φ=π2+kπ,k∈Z时,其为偶函数,当φ=kπ,k∈Z时,其为奇函数.2.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的对称轴方程如何表示,对称中心呢?提示:由ωx+φ=π2+kπ,k∈Z,求对称轴方程,由ωx+φ=kπ,k∈Z,求对称中心.3.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中,相邻对称轴之间相差多少个周期?相邻零点呢?提示:均相差半个周期.【例2】已知函数y=Asin(ωx+φ)A0,ω0,|φ|π2的图象过点Pπ12,0,图象-5-上与P点最近的一个最高点的坐标为π3,5.求函数解析式.思路点拨:由图象过Pπ12,0和离P最近的最高点π3,5可求A、ω,由π3,5是最高点及|φ|π2可求得φ的值.[解](1)∵图象最高点的坐标为π3,5,∴A=5.∵T4=π3-π12=π4,∴T=π,∴ω=2πT=2,∴y=5sin(2x+φ).代入点π3,5,得sin2π3+φ=1,∴2π3+φ=2kπ+π2,k∈Z.∴φ=-π6+2kπ,k∈Z,又∵|φ|π2,∴k=0,则φ=-π6,∴y=5sin2x-π6.1.(变结论)本例条件不变,指出函数的单调增区间.[解]∵函数的单调增区间满足2kπ-π2≤2x-π6≤2kπ+π2(k∈Z),∴2kπ-π3≤2x≤2kπ+2π3(k∈Z),∴kπ-π6≤x≤kπ+π3(k∈Z).∴函数的单调增区间为kπ-π6,kπ+π3(k∈Z).2.(变结论)本例条件不变,求使y≤0的x的取值范围.[解]∵5sin2x-π6≤0,∴2kπ-π≤2x-π6≤2kπ(k∈Z),-6-∴kπ-5π12≤x≤kπ+π12(k∈Z).故所求x的取值范围是kπ-5π12,kπ+π12(k∈Z).有关函数y=Asinωx+φ的性质的问题,要充分利用正弦曲线的性质,要特别注意整体代换思想.提醒:熟知y=Asinωx+φ的图象和性质是解决y=Asinωx+φ类综合题的关键.教师独具1.由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A,ω,φ的值.(1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|.(2)因为T=2πω,所以往往通过求周期T来确定ω,可通过已知曲线与x轴的交点从而确定T,即相邻的最高点与最低点之间的水平距离为T2;相邻的两个最高点(或最低点)之间的水平距离为T.(3)从寻找“五点法”中的第一个零点-φω,0(也叫初始点)作为突破口,以y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)为例,位于单调递增区间上离y轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点.2.在研究y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质时,注意采用整体代换的思想.例如,它在ωx+φ=π2+2kπ(k∈Z)时取得最大值,在ωx+φ=3π2+2kπ(k∈Z)时取得最小值.1.已知函数f(x)=sinωx+π3(ω>0)的最小正周期为π,则该函数图象()A.关于点π3,0对称B.关于直线x=π4对称C.关于点π4,0对称D.关于直线x=π3对称A[由T=2πω=π,解得ω=2,则f(x)=sin2x+π3,则该函数图象关于点π3,0对称.]-7-2.如图是函数y=sin(ωx+φ)|φ|π2的图象的一部分,那么ω=________,φ=________.116π6[∵点0,12在函数图象上,∴sinφ=12.又∵|φ|π2,∴φ=π6,∴y=sinωx+π6.又∵点(π,0)在y=sinωx+π6上,且该点是“五点”中的第五个点,∴sinπω+π6=0,∴πω+π6=2π,∴ω=116.]3.函数y=sin2x+π4的图象的一条对称轴方程是________.x=π8(答案不唯一)[由2x+π4=kπ+π2(k∈Z),得x=kπ2+π8(k∈Z),令k=0,得x=π8.]4.已知曲线y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)上的一个最高点的坐标为π8,2,此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点38π,0,若φ∈-π2,π2.(1)试求这条曲线的函数表达式;(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0,π]上的图象.[解](1)由题意知A=2,T=4×38π-π8=π,ω=2πT=2,∴y=2sin(2x+φ).又∵sinπ8×2+φ=1,∴π4+φ=2kπ+π2,k∈Z,∴φ=2kπ+π4,k∈Z,又∵φ∈-π2,π2,∴φ=π4,-8-∴y=2sin2x+π4.(2)列出x,y的对应值表:x-π8π838π58π78π2x+π40π2π32π2πy020-20描点、连线,如图所示:
本文标题:2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 1.3.3 函数y=Asin(ωx+φ)的图象(第
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