2019-2020学年高中数学 第3章 三角恒等变换 3.3 几个三角恒等式讲义 苏教版必修4

-1-3.3几个三角恒等式学习目标核心素养(教师独具)1.能运用所学知识，推导积化和差与和差化积公式、万能代换公式．(重点)2.能利用所学公式进行三角恒等变换．(重点、难点)通过学习本节内容，提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养.一、降幂公式sin2α＝1－cos2α2，cos2α＝1＋cos2α2，tan2α＝1－cos2α1＋cos2α.思考：如何用cosα表示sin2α2，cos2α2？[提示]sin2α2＝1－cosα2；cos2α2＝1＋cosα2.二、积化和差与和差化积公式1．思考辨析(1)sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sinAcosB．()(2)cos(A＋B)－cos(A－B)＝2sinAcosB．()-2-(3)cos(α＋β)cos(α－β)＝cos2α－cos2β.()[解析](1)正确．(2)cos(A＋B)－cos(A－B)＝－2sinAsinB.(3)cos(α＋β)cos(α－β)＝12(cos2α＋cos2β)．[答案](1)√(2)×(3)×2．若cosα＝－35，且π＜α＜3π2，则cosα2＝________.－55[∵π＜α＜3π2，∴π2＜α2＜3π4，∴cosα2＝－1＋cosα2＝－55.]3．若tanα2＝3，则cosα＝________.－45[∵tan2α2＝1－cosα1＋cosα＝9，∴cosα＝－45.]4．若tanα＝1，则tanα2＝________.－1±2[tanα＝2tanα21－tan2α2，∴tan2α2＋2tanα2－1＝0，解得tanα2＝－1±2.]应用和差化积或积化和差求值【例1】求sin220°＋cos250°＋sin20°·cos50°的值．思路点拨：先降幂，再和差化积，或积化和差求解．[解]原式＝1－cos40°2＋1＋cos100°2＋12(sin70°－sin30°)＝1＋12(cos100°－cos40°)＋12sin70°－14＝34＋12(－2sin70°sin30°)＋12sin70°＝34－12sin70°＋12sin70°＝34.-3-套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把常数首先化为某个角的三角函数，然后再化积，有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来.1．已知cosα－cosβ＝12，sinα－sinβ＝－13，求sin(α＋β)的值．[解]∵cosα－cosβ＝12，∴－2sinα＋β2sinα－β2＝12.①又∵sinα－sinβ＝－13，∴2cosα＋β2sinα－β2＝－13.②∵sinα－β2≠0，∴由①②，得－tanα＋β2＝－32，即tanα＋β2＝32.∴sin(α＋β)＝2sinα＋β2cosα＋β2sin2α＋β2＋cos2α＋β2＝2tanα＋β21＋tan2α＋β2＝2×321＋94＝1213.万能代换公式的应用【例2】设tanθ2＝t，求证：1＋sinθ1＋sinθ＋cosθ＝12(t＋1)．思路点拨：利用万能代换公式，分别用t表示sinθ，cosθ，代入待证等式的左端即可证明．[证明]由sinθ＝2tanθ21＋tan2θ2及cosθ＝1－tan2θ21＋tan2θ2，得1＋sinθ＝1＋tanθ221＋tan2θ2＝1＋t21＋t2，1＋sinθ＋cosθ＝21＋tanθ21＋tan2θ2＝21＋t1＋t2，-4-故1＋sinθ1＋sinθ＋cosθ＝12(t＋1)．在万能代换公式中不论α的哪种三角函数包括sinα与cosα都可以表示成tanα2＝t的“有理式”，将其代入式子中，就可将代数式表示成t的函数，从而就可以进行相关代数恒等式的证明或三角式的求值.2．已知cosθ＝－35，且180°＜θ＜270°，求tanθ2.[解]∵180°＜θ＜270°，∴90°＜θ2＜135°，∴tanθ2＜0.由cosθ＝1－tan2θ21＋tan2θ2，得1－tan2θ21＋tan2θ2＝－35，解得tan2θ2＝4.又tanθ2＜0，∴tanθ2＝－2.f(x)＝asin2ωx＋bsinωxcosωx＋ccos2ωx的性质[探究问题]1．要研究上述f(x)的性质必须把f(x)化成什么形式？提示：把f(x)化成Asin(ωx＋φ)＋B的形式．2．在上述转化过程中，要用到哪些公式？提示：降幂公式：sin2α＝1－cos2α2，cos2α＝1＋cos2α2.辅助角公式：asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋θ)，其中tanθ＝ba.【例3】求函数f(x)＝53cos2x＋3sin2x－4sinxcosx，x∈π4，7π24的最小值，并求其单调减区间．思路点拨：化简fx的解析式→fx＝Asinωx＋φ＋B→ωx＋φ的范围→求最小值，单调减区间-5-[解]f(x)＝53·1＋cos2x2＋3·1－cos2x2－2sin2x＝33＋23cos2x－2sin2x＝33＋432cos2x－12sin2x＝33＋4sinπ3cos2x－cosπ3sin2x＝33＋4sinπ3－2x＝33－4sin2x－π3，∵π4≤x≤7π24，∴π6≤2x－π3≤π4.∴sin2x－π3∈12，22.∴当2x－π3＝π4，即x＝7π24时，f(x)取最小值为33－22.∵y＝sin2x－π3在π4，7π24上单调递增，∴f(x)在π4，7π24上单调递减．1．(变结论)本例中，试求函数f(x)的对称轴方程．[解]f(x)＝33－4sin2x－π3，令2x－π3＝π2＋kπ，k∈Z，得x＝kπ2＋5π12，k∈Z.所以函数f(x)的对称轴方程为x＝kπ2＋5π12，k∈Z.2．(变条件)本例中，函数解析式变为f(x)＝3sin2x－π6＋2sin2x－π12(x∈R)，求f(x)的单调递减区间．[解]∵f(x)＝3sin2x－π12＋1－cos2x－π12＝232sin2x－π12－12cos2x－π12＋1＝2sin2x－π3＋1，由2kπ＋π2≤2x－π3≤2kπ＋3π2，k∈Z，-6-得kπ＋5π12≤x≤kπ＋11π12，k∈Z，∴f(x)的单调递减区间为kπ＋5π12，kπ＋11π12，k∈Z.1．研究函数性质的一般步骤：(1)对函数式化简；(2)借用函数图象，运用数形结合法研究函数的性质．2．对三角函数式化简的常用方法：(1)降幂化倍角；(2)升幂角减半；(3)利用f(x)＝asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)其中tanφ＝ba，化为“一个角”的函数．教师独具1．本节课的重点是半角公式，难点是半角公式的应用．2．要掌握三角恒等变换的三个应用(1)求值问题；(2)化简问题；(3)三角恒等式的证明．3．对半角公式的四点认识(1)半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到的．(2)半角公式给出了求α2的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道cosα的值及相应α的条件，便可求出sinα2，cosα2，tanα2.(3)由于tanα2＝sinα1＋cosα及tanα2＝1－cosαsinα不含被开方数，且不涉及符号问题．所以求解关于tanα2的题目时，使用相对方便，但需要注意该公式成立的条件．(4)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目，常用sin2α2＝1－cosα2，cos2α2＝1＋cosα2求解．-7-1．已知tanα＝－12，则sin2α＝()A.35B．－35C.45D．－45D[sin2α＝2sinαcosαcos2α＋sin2α＝2tanα1＋tan2α＝2×－121＋－122＝－45.]2．sin37.5°cos7.5°＝________.2＋14[原式＝12[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]＝12(sin45°＋sin30°)＝12×22＋12＝2＋14.]3．化简：sin15°＋cos65°cos15°＋sin65°＝________.tan20°[原式＝sin15°＋sin25°cos15°＋cos25°＝2sin20°cos5°2cos20°cos5°＝tan20°.]4．已知函数f(x)＝2cos2x＋23sinxcosx＋3，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)在0，π3上的最小值与最大值．[解](1)f(x)＝2cos2x＋23sinxcosx＋3＝cos2x＋3sin2x＋4＝2sin2x＋π6＋4.所以函数f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)∵0＜x≤π3，∴π6＜2x＋π6≤5π6，当x＝π3时，2x＋π6＝5π6，函数f(x)取得最小值为5.当x＝π6时，2x＋π6＝π2，函数f(x)取得最大值为6.-8-