2019-2020学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程章末复习课讲义 苏教版选修2-1

-1-第2章圆锥曲线与方程圆锥曲线的定义及应用【例1】(1)已知动点M的坐标满足方程5x2＋y2＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．以上都不对(2)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为22.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．(1)C(2)x216＋y28＝1[(1)把轨迹方程5x2＋y2＝|3x＋4y－12|写成x2＋y2＝|3x＋4y－12|5.∴动点M到原点的距离与它到直线3x＋4y－12＝0的距离相等．∴点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．(2)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，因为AB过F1且A，B在椭圆上，如图所示，则△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，∴a＝4.又离心率e＝ca＝22，∴c＝22，∴b2＝a2－c2＝8，∴椭圆C的方程为x216＋y28＝1.]-2-“回归定义”解题的三点应用应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；应用三：在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决．提醒：应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件．1．点P是抛物线y2＝8x上的任意一点，F是抛物线的焦点，点M的坐标是(2,3)，求|PM|＋|PF|的最小值，并求出此时点P的坐标．[解]抛物线y2＝8x的准线方程是x＝－2，那么点P到焦点F的距离等于它到准线x＝－2的距离，过点P作PD垂直于准线x＝－2，垂足为D，那么|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.如图所示，根据平面几何知识，当M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小，且最小值为|MD|＝2－(－2)＝4，所以|PM|＋|PF|的最小值是4.此时点P的纵坐标为3，所以其横坐标为98，即点P的坐标是98，3.圆锥曲线的方程【例2】(1)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于12，则C的方程是()A.x23＋y24＝1B.x24＋y23＝1C.x24＋y22＝1D.x24＋y23＝1(2)已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．(1)D(2)x2－y23＝1[(1)由题意得c＝1ca＝12，解得a＝2c＝1，-3-则b2＝a2－c2＝3，故椭圆方程为x24＋y23＝1.(2)由题意得c＝2ca＝2，解得a＝1c＝2，则b2＝c2－a2＝3，因此双曲线方程为x2－y23＝1.]求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤．(1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．(2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2＋ny2＝1(m0，n0)．(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小．2．(1)以x轴为对称轴，通径长为8，顶点为坐标原点的抛物线方程是()A．y2＝8xB．y2＝－8xC．y2＝8x或y2＝－8xD．x2＝8y或x2＝－8yC[由题意知2p＝8，故选C.](2)焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是()A.x24＋y23＝1B.x24＋y2＝1C.y24＋x23＝1D．x2＋y24＝1A[依题意，得a＝2，a＋c＝3，故c＝1，b＝22－12＝3，故所求椭圆的标准方程是x24＋y23＝1.]圆锥曲线的几何性质-4-【例3】(1)如图所示，F1，F2是椭圆C1：x24＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()A.2B.3C.32D.62(2)已知ab0，椭圆C1的方程为x2a2＋y2b2＝1，双曲线C2的方程为x2a2－y2b2＝1，C1与C2的离心率之积为32，则C2的渐近线方程为________．[思路探究](1)由椭圆可求出|AF1|＋|AF2|，由矩形求出|AF1|2＋|AF2|2，再求出|AF2|－|AF1|即可求出双曲线方程中的a，进而求得双曲线的离心率．(2)根据离心率的关系列出关于a，b的方程，求出ba，再求渐近线方程．(1)D(2)x±2y＝0[(1)由椭圆可知|AF1|＋|AF2|＝4，|F1F2|＝23.因为四边形AF1BF2为矩形，所以|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝12，所以2|AF1||AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)2－(|AF1|2＋|AF2|2)＝16－12＝4，所以(|AF2|－|AF1|)2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|＝12－4＝8，所以|AF2|－|AF1|＝22，因此对于双曲线有a＝2，c＝3，所以C2的离心率e＝ca＝62.(2)设椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1和e2，则e1＝a2－b2a，e2＝a2＋b2a.因为e1·e2＝32，所以a4－b4a2＝32，即ba4＝14，所以ba＝22.故双曲线的渐近线方程为y＝±bax＝±22x，即x±2y＝0.]求解离心率的三种方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y-5-轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝ca，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．3．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的半焦距是c，A，B分别是长轴、短轴的一个端点，O为原点，若△ABO的面积是3c2，则这一椭圆的离心率是()A.12B.32C.22D.33A[12ab＝3c2，即a2(a2－c2)＝12c4，所以(a2＋3c2)(a2－4c2)＝0，所以a2＝4c2，a＝2c，故e＝ca＝12.]直线与圆锥曲线的位置关系【例4】已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)经过点(0，3)，离心率为12，左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：y＝－12x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足|AB||CD|＝534，求直线l的方程．[思路探究](1)利用定义解题．(2)利用勾股定理和弦长公式来解．[解](1)由题设知b＝3，ca＝12，b2＝a2－c2，-6-解得a＝2，b＝3，c＝1，∴椭圆的方程为x24＋y23＝1.(2)由(1)知，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，∴圆心到直线l的距离d＝2|m|5，由d1得|m|52.(*)∴|CD|＝21－d2＝21－45m2＝255－4m2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝－12x＋m，x24＋y23＝1，得x2－mx＋m2－3＝0，由根与系数的关系可得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3.∴|AB|＝1＋－122[m2－4m2－3]＝1524－m2.由|AB||CD|＝534，得4－m25－4m2＝1，解得m＝±33，满足(*)．∴直线l的方程为y＝－12x＋33或y＝－12x－33.直线与圆锥曲线的三种位置关系将直线方程与圆锥曲线方程联立，化简后得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：1．相交：Δ0⇔直线与椭圆相交；Δ0⇒直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有Δ0，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故Δ0是直线与双曲线相交的充分不必要条件；Δ0⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有Δ0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故Δ0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，而不是必要条件．2．相切：Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ＝0⇔直线与双曲线相切；Δ＝0⇔直线与抛物线-7-相切．3．相离：Δ0⇔直线与椭圆相离；Δ0⇔直线与双曲线相离；Δ0⇔直线与抛物线相离．4．已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，其焦点为F1，F2，离心率为22，直线l：x＋2y－2＝0与x轴，y轴分别交于点A，B.(1)若点A是椭圆E的一个顶点，求椭圆的方程；(2)若线段AB上存在点P满足|PF1|＋|PF2|＝2a，求a的取值范围．[解](1)由椭圆的离心率为22，得a＝2c，由A(2,0)，得a＝2，∴c＝2，b＝2，∴椭圆方程为x24＋y22＝1.(2)由e＝22，设椭圆方程为x2a2＋2y2a2＝1，联立x2a2＋2y2a2＝1，x＋2y－2＝0，得6y2－8y＋4－a2＝0，若线段AB上存在点P满足|PF1|＋|PF2|＝2a，则线段AB与椭圆E有公共点，等价于方程6y2－8y＋4－a2＝0在y∈[0,1]上有解．设f(y)＝6y2－8y＋4－a2，∴Δ≥0，f0≥0，即a2≥43，4－a2≥0，∴43≤a2≤4，故a的取值范围是233≤a≤2.