2019-2020学年新教材高中数学 第3章 函数的概念与性质 3.4 函数的应用（一）讲义 新人教

-1-3.4函数的应用(一)学习目标核心素养1.了解函数模型(如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.2.能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题．(重点、难点)1.通过建立函数模型解决实际问题，培养数学建模素养.2.借助实际问题中的最值问题，提升数学运算素养.常见的几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)分段函数模型f(x)＝f1x，x∈D1f2x，x∈D2……fnx，x∈Dn1．一个矩形的周长是40，则矩形的长y关于宽x的函数解析式为()A．y＝20－x,0x10B．y＝20－2x,0x20C．y＝40－x,0x10D．y＝40－2x,0x20[答案]A2．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是()A．一次函数模型B．二次函数模型C．分段函数模型D．无法确定-2-C[由s与t的图象，可知t分4段，则函数模型为分段函数模型．]3．某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个________元．60[设涨价x元，销售的利润为y元，则y＝(50＋x－45)(50－2x)＝－2x2＋40x＋250＝－2(x－10)2＋450，所以当x＝10，即销售价为60元时，y取得最大值．]一次函数模型的应用【例1】某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y＝6x＋30000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒()A．2000套B．3000套C．4000套D．5000套D[因利润z＝12x－(6x＋30000)，所以z＝6x－30000，由z≥0解得x≥5000，故至少日生产文具盒5000套．]1．一次函数模型的实际应用一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则．2．一次函数的最值求解一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值．1.如图所示，这是某通讯公司规定的打某国际长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象．根据图象填空：①通话2分钟，需要付电话费________元；②通话5分钟，需要付电话费________元；③如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为________．-3-①3.6②6③y＝1.2t(t≥3)[①由图象可知，当t≤3时，电话费都是3.6元．②由图象可知，当t＝5时，y＝6，需付电话费6元．③易知当t≥3时，图象过点(3,3.6)，(5,6)，待定系数求得y＝1.2t(t≥3)．]二次函数模型的应用【例2】某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？[思路点拨]本题中平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)是一个一次函数关系，虽然x∈[50,55]，x∈N，但仍可把问题看成一次函数模型的应用问题；平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)是一个二次函数关系，可看成是一个二次函数模型的应用题．[解](1)根据题意，得y＝90－3(x－50)，化简，得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N)．(2)因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润．所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9600(50≤x≤55，x∈N)．(3)因为w＝－3x2＋360x－9600＝－3(x－60)2＋1200，所以当x60时，w随x的增大而增大．又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1125.所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1125元．二次函数模型的解析式为gx＝ax2＋bx＋ca≠0.在函数建模中，它占有重要的地位.在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题.二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答.2．A，B两城相距100km，在两地之间距A城xkm处D地建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得少于10km，已知每个城市的供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月．(1)把A，B两城月供电总费用y(万元)表示成x(km)的函数，并求定义域；-4-(2)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用最小．[解](1)由题意设甲城的月供电费用为y1，则y1＝λ×20x2.设乙城的月供电费用为y2，则y2＝λ×10×(100－x)2，∴甲、乙两城月供电总费用y＝λ×20x2＋λ×10×(100－x)2.∵λ＝0.25，∴y＝5x2＋52(100－x)2(10≤x≤90)．(2)由y＝5x2＋52(100－x)2＝152x2－500x＋25000＝152x－10032＋500003，则当x＝1003时，y最小．故当核电站建在距A城1003km时，才能使供电总费用最小．分段函数模型的应用【例3】某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为5t－12t2(万元)．(1)若该公司的年产量为x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数；(2)当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？[解](1)当0x≤5时，产品全部售出，当x5时，产品只能售出500件．所以f(x)＝5x－12x2－0.5＋0.25x，0x≤5，5×5－12×52－0.5＋0.25x，x5，即f(x)＝－12x2＋4.75x－0.5，0x≤5，12－0.25x，x5.(2)当0x≤5时，f(x)＝－12x2＋4.75x－0.5，所以当x＝4.75(百件)时，f(x)有最大值，f(x)max＝10.78125(万元)．当x5时，f(x)12－0.25×5＝10.75(万元)．故当年产量为475件时，当年所得利润最大．-5-1．分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．2．分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．3．分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．3．已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地．(1)把汽车离开A地的距离x(千米)表示为时间t(小时)的函数；(2)求汽车行驶5小时与A地的距离．[解](1)汽车以60千米/时的速度从A地到B地需2.5小时，这时x＝60t；当2.5t≤3.5时，x＝150；汽车以50千米/时的速度返回A地需3小时，这时x＝150－50(t－3.5)．所求函数的解析式为x＝60t，0≤t≤2.5，150，2.5t≤3.5，－50t＋325，3.5t≤6.5.(2)当t＝5时，x＝－50×5＋325＝75，即汽车行驶5小时离A地75千米．1．解有关函数的应用题，首先应考虑选择哪一种函数作为模型，然后建立其解析式．求解析式时，一般利用待定系数法，要充分挖掘题目的隐含条件，充分利用函数图形的直观性．2．数学建模的过程图示如下：1．思考辨析甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，判断下列说法的对错．(1)甲比乙先出发．()-6-(2)乙比甲跑的路程多．()(3)甲、乙两人的速度相同．()(4)甲先到达终点．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是()ABCDB[图反映随着水深h的增加，注水量V增长速度越来越慢，这反映水瓶中水上升的液面越来越小．]3．某人从A地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B地，在B地停留2小时，则汽车离开A地的距离y(单位：千米)是时间t(单位：小时)的函数，该函数的解析式是________．[答案]y＝80t，0≤t≤2，160，2t≤44.某游乐场每天的盈利额y元与售出的门票张数x之间的函数关系如图所示，试由图象解决下列问题：(1)求y与x的函数解析式；(2)要使该游乐场每天的盈利额超过1000元，每天至少卖出多少张门票？[解](1)由图象知，可设y＝kx＋b(k≠0)，x∈[0,200]时，过点(0，－1000)和(200,1000)，解得k＝10，b＝－1000，从而y＝10x－1000；x∈(200,300]时，过点(200,500)和(300,2000)，解得k＝15，b＝－2500，从而y＝15x－2500，所以y＝10x－1000，x∈[0，200]，15x－2500，x∈200，300].-7-(2)每天的盈利额超过1000元，则x∈(200,300]，由15x－25001000得，x7003，故每天至少需要卖出234张门票．