2019-2020学年高中数学 第1章 基本初等函数（Ⅱ）1.2.1 三角函数的定义教案（含解析）新

-1-1.2.1三角函数的定义学习目标核心素养1．理解任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解任意角余切、正割、余割的定义．(重点)2．会根据三角函数的定义来求正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域，并知道三角函数在各象限内的符号．(难点)1．通过任意角的三角函数概念的学习，培养学生的数学抽象及直观想象核心素养．2．借助角在各象限符号的判断，提升学生的直观想象及数学抽象核心素养.1．任意角的三角函数在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点O的距离是r(r＝x2＋y2＞0)．三角函数定义定义域名称sinαyrR正弦cosαxrR余弦tanαyxαα≠kπ＋π2，k∈Z正切secαrxαα≠kπ＋π2，k∈Z正割cscαry{α|α≠kπ，k∈Z}余割cotαxy{α|α≠kπ，k∈Z}余切2.三角函数在各象限的符号思考：记忆正弦、余弦、正切在各象限的符号有什么诀窍吗？[提示]对正弦、余弦、正切函数值的符号可用下列口诀记忆：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，该口诀表示：第一象限全是正值，第二象限正弦是正值，第三象限正切是正值，第四象限余弦是正值．-2-1．已知角α终边经过P32，12，则cosα等于()A.12B.32C.33D．±12B[由三角函数定义可知，角α的终边与单位圆交点的横坐标为角α的余弦值，故cosα＝32.]2．若α的终边与y轴重合，则α的六种三角函数中，函数值不存在的是()A．sinα与cosαB．tanα与cotαC．tanα与secαD．cotα与cscαC[由三角函数的定义及其定义域可知，对tanα与secα中角α的取值范围为αα≠kπ＋π2，k∈Z，故选C.]3．若角α的终边上有一点P(3,4)，则sinα＋cosα＝________.75[由三角函数定义知，sinα＝45，cosα＝35，∴sinα＋cosα＝75.]4．已知cosθ·tanθ0，那么角θ是________象限角．第三或第四[∵cosθ·tanθ0，∴cosθ，tanθ异号．故由象限角知识可知θ在第三或第四象限．]任意角三角函数的定义及应用【例1】(1)若sinα＝35，cosα＝－45，则在角α终边上的点有()A．(－4,3)B．(3，－4)C．(4，－3)D．(－3,4)(2)若α＝－π3，则sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________.(3)已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，则2sinα＋cosα＝________.[思路探究](1)由定义确定终边位置，结合函数值求解．(2)在单位圆中确定终边与单位圆的交点求解．(3)分α＞0，α＜0两种情况分别求解．-3-(1)A(2)－3212－3(3)1或－1[(1)由sinα，cosα的定义知x＝－4，y＝3，r＝5时，满足题意，故选A.(2)因为角－π3的终边与单位圆交于点P12，－32，所以sinα＝－32，cosα＝12，tanα＝－3.(3)因为r＝－3a2＋4a2＝5|a|，①若a0，则r＝5a，角α在第二象限．sinα＝yr＝4a5a＝45，cosα＝xr＝－3a5a＝－35，所以2sinα＋cosα＝85－35＝1.②若a0，则r＝－5a，角α在第四象限，sinα＝4a－5a＝－45，cosα＝－3a－5a＝35，所以2sinα＋cosα＝－85＋35＝－1.]由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤：1已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值；②在α的终边上任选一点Px，y，P到原点的距离为rr0，则sinα＝yr，cosα＝xr.已知α的终边求α的三角函数时，用这几个公式更方便.2当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定要注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论.1．设函数f(θ)＝3sinθ＋cosθ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且0≤θ≤π.若点P的坐标为12，32，求f(θ)的值．-4-[解]由点P的坐标为12，32和三角函数定义得sinθ＝32，cosθ＝12，所以f(θ)＝3sinθ＋cosθ＝3×32＋12＝2.三角函数符号的判断【例2】判断下列各式的符号．(1)sin2015°cos2016°tan2017°；(2)tan191°－cos191°；(3)sin2cos3tan4.[思路探究]先确定角所在象限，进一步确定各式的符号．[解](1)∵2015°＝5×360°＋215°，2016°＝5×360°＋216°，2017°＝5×360°＋217°，∴它们都是第三象限角，∴sin2015°0，cos2016°0，tan2017°0，∴sin2015°cos2016°tan2017°0.(2)∵191°角是第三象限角，∴tan191°0，cos191°0，∴tan191°－cos191°0.(3)∵π22π，π23π，π43π2，∴2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角，∴sin20，cos30，tan40，∴sin2cos3tan40.由三角函数的定义知sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yxr＞0，可知角的三角函数值的符号是由角终边上任一点Px，y的坐标确定的，则准确确定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关键.2．判断下列式子的符号：sin320°·cos385°·tan155°·tan(－480°)．[解]270°320°360°，360°385°450°，90°155°180°，－540°－480°－360°，-5-则320°为第四象限角，385°为第一象限角，155°为第二象限角，－480°为第四象限角，所以sin320°0，cos385°0，tan155°0，tan(－480°)0.所以sin320°·cos385°·tan155°·tan(－480°)0，即符号为负.三角函数的定义域[探究问题]1．正切函数tanα的定义域为何不是R?[提示]根据正切函数的定义tanα＝yx，当α的终边在y轴上，即α＝kπ＋π2(k∈Z)时，x＝0，正切函数无意义，故正切函数的定义域为αα≠kπ＋π2，k∈Z.2．怎样解决与三角函数有关的定义域问题？[提示]解决与三角函数有关的定义域问题要注意以下几种情况：(1)分母不为零，(2)偶次根号下大于等于零，(3)在真数位置时大于零，(4)在底数位置时大于零且不等于1.【例3】求下列函数的定义域：(1)y＝sinx＋cosxtanx；(2)y＝－cosx＋sinx.[思路探究](1)在保证正切函数有意义的前提下满足分式的分母不等于0；(2)由根式下代数式大于等于0，列出不等式组求交集．[解](1)要使函数有意义，需tanx≠0，所以x≠kπ＋π2，k∈Z且x≠kπ，k∈Z，所以x≠kπ2，k∈Z.于是函数的定义域是xx∈R且x≠kπ2，k∈Z.(2)要使函数有意义，需－cosx≥0，sinx≥0，得2kπ＋π2≤x≤2kπ＋3π2，k∈Z，2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z，解得2kπ＋π2≤x≤2kπ＋π，k∈Z.-6-所以函数的定义域是x2kπ＋π2≤x≤2kπ＋π，k∈Z.函数的定义域，就是求使得函数解析式有意义的自变量x的取值范围，注意求解结果应用区间或集合表示.3．求函数y＝16－x2＋sinx的定义域．[解]由题意知16－x2≥0，sinx≥0，由y＝16－x2的图象解得16－x2≥0的解集为[－4,4]．sinx≥0的解集为[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z.结合数轴知函数定义域为[－4，－π]∪[0，π]．(教师用书独具)1．对三角函数值符号的理解三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内点的坐标符号导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．根据三角函数定义知：(1)正弦值的符号取决于纵坐标y的符号．(2)余弦值的符号取决于横坐标x的符号．(3)正切值的符号是由x，y的符号共同决定的，即x，y同号为正，异号为负．2．巧记三角函数值符号为了便于记忆，我们把三角函数值在各象限的符号规律概括为下面的口诀：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”，意思为：第一象限各三角函数值均为正；第二象限只有正弦值为正，其余均为负；第三象限只有正切值为正，其余均为负；第四象限只有余弦值为正，其余均为负．2．对三角函数定义的三点说明(1)三角函数是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从角的集合(弧度制)到一个比值的集合的对应．(2)三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围．(3)三角函数值的大小只与角有关，而与点P(x，y)的位置无关.-7-1．已知P(1，－5)是α终边上一点，则sinα＝()A．1B．－5C．－52626D．2626C[∵x＝1，y＝－5，∴r＝26，∴sinα＝yr＝－52626.]2．sin1·cos2·tan3的值是()A．正数B．负数C．0D．不存在A[∵01π2，π22π，π23π，∴sin10，cos20，tan30，∴sin1·cos2·tan30.]3．如果sinx＝|sinx|，那么角x的取值集合是________．{}x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z[∵sinx＝|sinx|，∴sinx≥0，∴2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z.]4．已知角α的终边过点P(5，a)，且tanα＝－125，求sinα＋cosα的值．[解]根据三角函数的定义，tanα＝a5＝－125，∴a＝－12，∴P(5，－12)，r＝13，∴sinα＝－1213，cosα＝513，从而sinα＋cosα＝－713.