2019-2020学年高中数学 第2章 平面向量 2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算教案

-1-2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算学习目标核心素养1．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．(重点)2．会用坐标表示平面向量的加、减与数乘向量运算．(重点)3．会用坐标表示平面向量共线的条件，能用向量共线的条件来解决有关向量共线、直线平行及点共线等问题．(重点、难点)1．通过学习向量的正交分解，培养学生的数学抽象核心素养．2．通过向量的直角坐标运算提升学生的数学运算核心素养.1．向量的正交分解2．向量的直角坐标(1)在直角坐标系内，分别取与x轴和y轴方向相同的两个单位向量e1，e2，则对任一向量a，存在唯一的有序实数对(a1，a2)，使得a＝a1e1＋a2e2，(a1，a2)就是向量a在基底{e1，e2}下的坐标，即a＝(a1，a2)．(2)向量的坐标：设点A的坐标为(x，y)，则OA→＝(x，y)．符号(x，y)在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．3．向量的直角坐标运算向量的加、减法设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2)，a－b＝(a1－b1，a2－b2)，即两个向量和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差实数与向量的积若a＝(a1，a2)，λ∈R，则λa＝(λa1，λa2)，即数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积-2-向量的坐标已知向量AB→的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标思考：向量的终点的坐标与此向量的坐标完全相同吗？[提示]向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相同，当且仅当向量的起点是原点时，向量的坐标和这个向量的终点坐标才相同．1．已知点A(1，－3)，AB→的坐标为(3,7)，则点B的坐标为()A．(4,4)B．(－2,4)C．(2,10)D．(－2，－10)A[设点B的坐标为(x，y)，由AB→＝(3,7)＝(x，y)－(1，－3)＝(x－1，y＋3)＝(3,7)，得B(4,4)．]2．已知a＝(1，－1)，b＝(3,0)，则3a－2b等于()A．(5,3)B．(4，－1)C．(－2，－1)D．(－3，－3)D[3a－2b＝3(1，－1)－2(3,0)＝(3，－3)－(6,0)＝(－3，－3)．]3．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与AB→相等，其中A(1,2)，B(3,2)，则x＝________.－1[易得AB→＝(2,0)，由a＝(x＋3，x2－3x－4)与AB→相等得x＋3＝2，x2－3x－4＝0，解得x＝－1.]平面向量的坐标表示【例1】(1)已知A(3,1)，B(2，－1)，则BA→的坐标是()A．(－2，－1)B．(2,1)C．(1,2)D．(－1，－2)(2)已知AB→＝(1,3)，且点A(－2,5)，则点B的坐标为()A．(1,8)B．(－1,8)C．(3,2)D．(－3,2)(3)如图，在正方形ABCD中，O为中心，且OA→＝(－1，－1)，则OB→＝________；OC→＝________；-3-OD→＝________.[思路探究]表示出各点的坐标→用终点坐标减去起点坐标→得相应向量的坐标(1)C(2)B(3)(1，－1)(1,1)(－1,1)[(1)BA→＝OA→－OB→＝(3,1)－(2，－1)＝(1,2)．(2)设B的坐标为(x，y)，AB→＝(x，y)－(－2,5)＝(x＋2，y－5)＝(1,3)，所以x＋2＝1，y－5＝3，解得x＝－1，y＝8，所以点B的坐标为(－1,8)．(3)如题干图，OC→＝－OA→＝－(－1，－1)＝(1,1)，由正方形的对称性可知，B(1，－1)，所以OB→＝(1，－1)，同理OD→＝(－1,1)．]求点、向量坐标的常用方法：(1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标．(2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标．1．已知点A(2,4)，a＝(3,4)，且AB→＝2a，则点B的坐标为________．(8,12)[设B点坐标为(x，y)，则(x－2，y－4)＝2(3,4)＝(6,8)，-4-∴x－2＝6y－4＝8，解得x＝8，y＝12.所以B点的坐标为(8,12)．]平面向量的坐标运算【例2】(1)设AB→＝(2,3)，BC→＝(m，n)，CD→＝(－1,4)，则DA→＝()A．(1＋m,7＋n)B．(－1－m，－7－n)C．(1－m,7－n)D．(－1＋m，－7＋n)(2)已知向量OA→＝(3，－2)，OB→＝(－5，－1)，则向量12AB→的坐标是()A.－4，12B.4，－12C.－1，－32D．(8,1)(3)若A，B，C三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，求AB→＋2BC→，BC→－12AC→的坐标．[思路探究](1)可利用向量加法的三角形法则将DA→分解为DC→＋CB→＋BA→来求解．(2)可借助AB→＝OB→－OA→来求12AB→坐标．(3)可利用AB→＝(xB－xA，yB－yA)来求解．(1)B(2)A[(1)DA→＝DC→＋CB→＋BA→＝－CD→－BC→－AB→＝－(－1,4)－(m，n)－(2,3)＝(－1－m，－7－n)．(2)12AB→＝12(OB→－OA→)＝12[]－5，－1－3，－2＝12(－8,1)＝－4，12，∴12AB→＝－4，12.](3)解：∵AB→＝(－2,10)，BC→＝(－8,4)，AC→＝(－10,14)，∴AB→＋2BC→＝(－2,10)＋2(－8,4)＝(－2,10)＋(－16,8)-5-＝(－18,18)，BC→－12AC→＝(－8,4)－12(－10,14)＝(－8,4)－(－5,7)＝(－3，－3)．平面向量坐标的线性运算的方法：1若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.2若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.3向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.2．已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)12a－13b.[解](1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1)＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)．(2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)．(3)12a－13b＝12(－1,2)－13(2,1)＝－12，1－23，13＝－76，23.向量坐标运算的综合应用[探究问题]1．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及OP→＝OA→＋tAB→.当t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？[提示]∵OP→＝OA→＋tAB→＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)．若点P在x轴上，则2＋3t＝0，∴t＝－23.若点P在y轴上，则1＋3t＝0，∴t＝－13.若点P在第二象限，则1＋3t0，2＋3t0，∴－23t－13.2．对于探究1条件不变，四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t的值；若不能，-6-请说明理由．[提示]∵OA→＝(1,2)，PB→＝(3－3t,3－3t)．若四边形OABP为平行四边形，则OA→＝PB→，∴3－3t＝1，3－3t＝2，该方程组无解．故四边形不能为平行四边形．3．已知在非平行四边形ABCD中，AB∥DC，且A，B，D三点的坐标分别为(0,0)，(2,0)，(1,1)，则顶点C的横坐标的取值范围是什么？[提示]当ABCD为平行四边形时，则AC→＝AB→＋AD→＝(2,0)＋(1,1)＝(3,1)，故满足条件的顶点C的横坐标的取值范围是(1,3)∪(3，＋∞)．【例3】已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)．若AP→＝AB→＋λAC→(λ∈R)，试求λ为何值时，(1)点P在一、三象限角平分线上；(2)点P在第三象限内．[思路探究]先用λ表示点P的横、纵坐标，再根据条件列方程或不等式求解．[解]设点P的坐标为(x，y)，则AP→＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)，AB→＋λAC→＝[(5,4)－(2,3)]＋λ[(7,10)－(2,3)]＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)．∵AP→＝AB→＋λAC→，∴x－2＝3＋5λ，y－3＝1＋7λ，则x＝5＋5λ，y＝4＋7λ.(1)若P在一、三象限角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝12，-7-即λ＝12时，点P在一、三象限角平分线上．(2)若点P在第三象限内，则5＋5λ0，4＋7λ0，∴λ－1.即λ－1时，点P在第三象限内．1.解答本题可用待定系数法，此法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，此方法是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用．2．坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量．由此可建立相等关系求某些参数的值．3．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则λμ＝________.4[以向量a的终点为原点，以过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，设一个小正方形网格的边长为1，则a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)．由c＝λa＋μb，即(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6,2)，得－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，故λ＝－2，μ＝－12，则λμ＝4.](教师用书独具)1．向量坐标(1)平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终点的坐标相同．(2)给定一个向量，它的坐标是唯一的，对应一对实数，由于向量可以平移，故以这对实数为坐标的向量有无穷多个．2．平面向量坐标运算的注意点(1)要弄清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．(2)进行向量的坐标运算时，向量的始点、终点的顺序不能颠倒．-8-1．若a＝(2,1)，b＝(1,0)，则3a－2b的坐标是()A．(5,3)B．(4,3)C．(8,3)D．(0，－1)B[3a－2b＝3(2,1)－2(1,0)＝(4,3)．]2．若向量AB→＝(1,2)，BC→＝(3,4)，则AC→＝()A．(4,6)B．(－4，－6)C．(－2，－2)D．(2,2)A[AC→＝AB→＋BC→＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)．故选A.]3．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量AB→同方向的单位向量为________．35，－45[AB→＝(3，－4)，则与AB→同方向的单位向量为AB→|AB→|＝(9－0,2－20)＝(9，－18)．