2019-2020学年高中数学 第3章 三角恒等变换 3.1.3 两角和与差的正切教案（含解析）新人

-1-3.1.3两角和与差的正切学习目标核心素养1．能利用两角和与差的余弦公式、正弦公式推导出两角和与差的正切公式．(重点)2．掌握两角和与差的正切公式的变形使用，能利用公式进行简单的求值、化简等．(重点、难点)1．通过两角和与差的正切公式的推导，培养学生逻辑推理核心素养．2．借助两角和与差的正切线的应用，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养.1．两角和的正切公式Tα＋β：tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ.2．两角差的正切公式Tα－β：tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ.思考：你能举出几个两角和与差的正切公式的变形式吗？[提示](1)tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)．(2)1－tanαtanβ＝tanα＋tanβtanα＋β.(3)tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝tan(α＋β)．(4)tanαtanβ＝1－tanα＋tanβtanα＋β.1．(2019·全国卷Ⅰ)tan255°＝()A．－2－3B．－2＋3C．2－3D．2＋3D[tan255°＝tan(180°＋75°)＝tan75°＝tan(45°＋30°)＝tan45°＋tan30°1－tan45°tan30°＝1＋331－33＝2＋3.故选D.]2.tan75°－tan15°1＋tan75°tan15°＝()-2-A．－2B．2C．－3D．3D[原式＝tan(75°－15°)＝tan60°＝3.]3．设tanα＝12，tanβ＝13，且角α，β为锐角，则α＋β的值是_________．π4[∵tanα＝12，tanβ＝13∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝12＋131－12×13＝1，又∵α，β均为锐角，即α，β∈0，π2，∴0α＋βπ，则α＋β＝π4.]利用公式化简求值【例1】求下列各式的值：(1)tan15°；(2)1－3tan75°3＋tan75°；(3)tan23°＋tan37°＋3tan23°tan37°.[思路探究]把非特殊角转化为特殊角(如(1))及公式的逆用(如(2))与活用(如(3))，通过适当的变形变为可以使用公式的形式，从而达到化简或求值的目的．[解](1)tan15°＝tan(45°－30°)＝tan45°－tan30°1＋tan45°tan30°＝1－331＋33＝3－33＋3＝2－3.(2)1－3tan75°3＋tan75°＝33－tan75°1＋33tan75°＝tan30°－tan75°1＋tan30°tan75°＝tan(30°－75°)＝tan(－45°)＝－tan45°＝－1.(3)∵tan(23°＋37°)＝tan60°＝tan23°＋tan37°1－tan23°tan37°＝3，-3-∴tan23°＋tan37°＝3(1－tan23°tan37°)，∴原式＝3(1－tan23°tan37°)＋3tan23°tan37°＝3.1．公式Tα＋β，Tα－β是变形较多的两个公式，公式中有tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))．三者知二可表示或求出第三个．2．一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．1．求下列各式的值：(1)cos75°－sin75°cos75°＋sin75°；(2)tan36°＋tan84°－3tan36°tan84°.[解](1)原式＝1－tan75°1＋tan75°＝tan45°－tan75°1＋tan45°tan75°＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan30°＝－33.(2)原式＝tan120°(1－tan36°tan84°)－3tan36°tan84°＝tan120°－tan120°tan36°tan84°－3tan36°tan84°＝tan120°＝－3.条件求值(角)问题【例2】如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．[思路探究]先由任意角的三角函数定义求出cosα，cosβ，再求sinα，sinβ，从而求出tanα，tanβ，然后利用Tα＋β求tan(α＋β)，最后利用α＋2β＝(α＋β)＋β，求tan(α＋2β)进而得到α＋2β的值．[解]由条件得cosα＝210，cosβ＝255，∵α，β为锐角，-4-∴sinα＝7210，sinβ＝55，∴tanα＝7，tanβ＝12.(1)tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝7＋121－7×12＝－3.(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝tanα＋β＋tanβ1－tanα＋β·tanβ＝－3＋121－－3×12＝－1，∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜3π2，∴α＋2β＝3π4.1．通过先求角的某个三角函数值来求角．2．选取函数时，应遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为－π2，π2，选正弦较好．3．给值求角的一般步骤：(1)求角的某一三角函数值；(2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出所求的角．2．(1)已知α∈π2，π，sinα＝35，求tanα＋π4的值；(2)如图所示，三个相同的正方形相接，试计算α＋β的大小．[解](1)因为sinα＝35，且α∈π2，π，所以cosα＝－45，-5-所以tanα＝sinαcosα＝35－45＝－34，故tanα＋π4＝tanα＋tanπ41－tanαtanπ4＝－34＋11－－34×1＝17.(2)由题图可知tanα＝13，tanβ＝12，且α，β均为锐角，所以tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝13＋121－13×12＝1.因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π4.公式的变形应用[探究问题]1．判断三角形的形状时，都有哪些特殊三角形？[提示]根据三角形的边角关系，常见的特殊三角形有等边三角形、等腰三角形、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形等．2．在△ABC中，tan(A＋B)与tanC有何关系？[提示]根据三角形内角和定理可得A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，∴tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC.【例3】已知△ABC中，tanB＋tanC＋3tanBtanC＝3，且3tanA＋3tanB＋1＝tanAtanB，判断△ABC的形状．[思路探究]化简条件→求出tanA，tanC→求出角A，C→判断形状.[解]由tanA＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)＝tanB＋tanCtanBtanC－1＝3－3tanBtanCtanBtanC－1＝－3.而0°＜A＜180°，∴A＝120°.由tanC＝tan[π－(A＋B)]＝tanA＋tanBtanAtanB－1-6-＝tanA＋tanB3tanA＋3tanB＝33，而0°＜C＜180°，∴C＝30°，∴B＝30°.∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形．(变条件)例题中把条件改为“tanB＋tanC－3tanBtanC＝－3，且33tanA＋33tanB＋1＝tanAtanB”，结果如何？[解]由tanA＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)＝tanB＋tanCtanBtanC－1＝3tanBtanC－3tanBtanC－1＝3.又0°A180°，所以A＝60°.由tanC＝tan[π－(A＋B)]＝tanA＋tanBtanAtanB－1＝tanA＋tanB33tanA＋33tanB＝3.又0°C180°，所以C＝60°，所以B＝60°.所以△ABC是等边三角形．公式Tα＋β的逆用及变形应用的解题策略(1)“1”的代换：在Tα＋β中，如果分子中出现“1”常利用1＝tan45°来代换，以达到化简求值的目的，如1－tanα1＋tanα＝tanπ4－α；3tanα＋31－tanα＝3tanα＋π4.(2)整体意识：若化简的式子中出现了“tanα±tanβ”及“tanα·tanβ”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．-7-(教师用书独具)1．公式T(α±β)的适用范围和结构特征(1)由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y轴上，即不为kπ＋π2(k∈Z)．(2)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tanα与tanβ的和或差，分母为1与tanαtanβ的差或和．2．两角和与差的正切公式的变形变形公式如：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)；tanαtanβ＝1－tanα＋tanβtanα＋β等.1．设角θ的终边过点(2,3)，则tanθ－π4＝()A.15B．－15C．5D．－5A[由于角θ的终边过点(2,3)，因此tanθ＝32，故tanθ－π4＝tanθ－11＋tanθ＝32－11＋32＝15，选A.]2．tan10°tan20°＋3(tan10°＋tan20°)等于()A.33B．1C.3D.6B[原式＝tan10°tan20°＋3tan30°(1－tan10°tan20°)＝tan10°tan20°＋1－tan10°tan20°＝1.]3．计算3－tan15°1＋3tan15°＝________.1[3－tan15°1＋3tan15°＝tan60°－tan15°1＋tan60°tan15°＝tan45°＝1.]-8-4．已知tan(α＋β)＝25，tanβ－π5＝14，求tanα＋π5的值．[解]∵α＋π5＝(α＋β)－β－π5，∴tanα＋π5＝tanα＋β－β－π5＝tanα＋β－tanβ－π51＋tanα＋βtanβ－π5＝25－141＋25×14＝322.