2019-2020学年高中数学 第3章 三角恒等变换 3.2.2 半角的正弦、余弦和正切教案（含解析

-1-3.2.2半角的正弦、余弦和正切学习目标核心素养1．了解由二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦和正切公式的过程．(一般)2．掌握半角的正弦、余弦和正切公式，能正确运用这些公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明．(重点、难点)1．通过半角的正弦、余弦和正切公式的推导，培养学生的逻辑推理的核心素养．2．借助半角的正弦、余弦和正切公式的应用，提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养.半角公式sinα2＝±1－cosα2，cosα2＝±1＋cosα2，tanα2＝±1－cosα1＋cosα＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα.思考：如何确定半角的正弦、余弦和正切公式的符号？[提示](1)如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号．(2)若给出角α的具体范围(即某一区间)时，则先求角α2所在范围，然后再根据角α2所在象限确定符号．1．若cosα＝23，α∈(0，π)，则cosα2的值为()A．66B．－66C．306D．－306C[由题意知α2∈0，π2，∴cosα20，cosα2＝1＋cosα2＝306.]2．下列各式与tanα相等的是()A.1－cos2α1＋cos2αB.sinα1＋cosα-2-C.sinα1－cos2αD.1－cos2αsin2αD[1－cos2α1＋cos2α＝2sin2α2cos2α＝tan2α＝|tanα|；sinα1＋cosα＝2sinα2cosα22cos2α2＝tanα2；sinα1－cos2α＝sinα2sin2α＝12sinα；1－cos2αsin2α＝2sin2α2sinαcosα＝tanα.]3．设α∈(π，2π)，则1＋cosπ＋α2等于________．sinα2[1＋cosπ＋α2＝1－cosα2＝sin2α2＝sinα2.∵α∈(π，2π)，∴α2∈π2，π，∴sinα20，故原式＝sinα2.]化简问题【例1】已知πα3π2，求1＋sinα1＋cosα－1－cosα＋1－sinα1＋cosα＋1－cosα的值．[思路探究]解答本题可先用二倍角公式“升幂”，再根据α2的范围开方化筒．[解]原式＝sinα2＋cosα222cosα2－2sinα2＋sinα2－cosα222cosα2＋2sinα2∵πα3π2，∴π2α23π4，∴cosα20，sina20.∴原式＝sinα2＋cosα22－2sinα2＋cosα2＋sinα2－cosα222sinα2－cosα2-3-＝－sinα2＋cosα22＋sinα2－cosα22＝－2cosα2.要熟记一些可用公式的形式，如：1＋cosα＝2sin2α2，1－cosα＝2cos2α2，1±sinα＝sinα2±cosα22等，解题时应有意识地将这些形式变形寻求思路．1．已知3π2θ2π，试化简：1＋sinθ－1－sinθ.[解]∵3π2θ2π，∴3π4θ2π，所以原式＝sinθ2＋cosθ22－sinθ2－cosθ22＝sinθ2＋cosθ2－sinθ2－cosθ2＝－sinθ2＋cosθ2－sinθ2－cosθ2＝－2sinθ2.求值问题【例2】已知|cosθ|＝35，且5π2θ3π，求sinθ2，cosθ2，tanθ2的值．[思路探究]由题意求cosθ―→由半角公式求sin2θ2，cos2θ2―→求sinθ2，cosθ2―→求tanθ2[解]由5π2θ3π，且|cosθ|＝35可知，cosθ＝－35，θ2∈5π4，3π2.由sin2θ2＝1－cosθ2＝1＋352＝45得，-4-sinθ2＝－45＝－255.由cos2θ2＝1＋cosθ2＝1－352＝15得，cosθ2＝－55.∴tanθ2＝sinθ2cosθ2＝－255－55＝2.已知θ的某三角函数值，求θ2的相应三角函数值时，常借助于半角公式sin2θ2＝1－cosθ2，cos2θ2＝1＋cosθ2，tanθ2＝sinθ1＋cosθ＝1－cosθsinθ来处理，由于上述式子中可能涉及解的不定性，故在求解中应注意求θ2的范围.2．已知sinα2－cosα2＝－55，450°α540°，求sinα及tanα2的值．[解]sinα2－cosα22＝1－sinα＝15，∴sinα＝45，∴sinα2cosα2＝sinα2＝25，∴sinα2cosα2sin2α2＋cos2α2＝tanα2tan2α2＋1＝25，解得tanα2＝2或tanα2＝12.∵450°α540°，∴225°α2270°，∴tanα21，∴tanα2＝2.-5-综上可知sinα＝45，tanα2＝2.三角恒等式的证明【例3】(1)求证：1＋2cos2θ－cos2θ＝2；(2)求证：2sinxcosxsinx＋cosx－1sinx－cosx＋1＝1＋cosxsinx.[思路探究](1)可由左向右证：先把左边cos2θ降幂化为同角后整理可证．(2)可先从左边表达式分母中升幂缩角入手，再通过改变函数结构向右边转化．[解](1)左边＝1＋2×1＋cos2θ2－cos2θ＝2＝右边．所以原等式成立．(2)左边＝2sinxcosx2sinx2cosx2－2sin2x22sinx2cosx2＋2sin2x2＝2sinxcosx4sin2x2cos2x2－sin2x2＝sinx2sin2x2＝cosx2sinx2＝2cos2x22sinx2cosx2＝1＋cosxsinx＝右边．所以原等式成立．三角恒等式证明的五种常用方法：1执因索果法：证明的形式一般化繁为简.2左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子.3拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同.4比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”.5分析法：从被证明的等式出发，逐步探求使等式成立的条件，一直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立.3．已知0απ4，0βπ4，且3sinβ＝sin(2α＋β)，4tanα2＝1－tan2α2，求证：α＋β＝π4.[证明]∵3sinβ＝sin(2α＋β)，即3sin(α＋β－α)＝sin(α＋β＋α)，-6-∴3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα，∴2sin(α＋β)cosα＝4cos(α＋β)sinα，∴tan(α＋β)＝2tanα.又∵4tanα2＝1－tan2α2，∴tanα＝2tanα21－tan2α2＝12，∴tan(α＋β)＝2tanα＝1，∵α＋β∈0，π2，∴α＋β＝π4.三角恒等变换与三角函数图象性质的综合应用[探究问题]1．如何求函数y＝sin2x－π6＋2sin2x－π12(x∈R)的最小正周期？[提示]y＝sin2x－π6＋1－cos2x－π6＝2sin2x－π6－π4＋1＝2sin2x－512π＋1，所以函数的最小正周期T＝π.2．研究形如f(x)＝asin2ωx＋bsinωxcosωx＋ccos2ωx的性质时应首先把函数f(x)化简成什么形式再解答？[提示]研究形如f(x)＝asin2ωx＋bsinωxcosωx＋ccos2ωx的性质时，先化成f(x)＝a2＋b2sin(ωx＋φ)＋c的形式再解答．【例4】已知函数f(x)＝4cosωx·sinωx＋π4(ω0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f(x)在区间0，π2上的单调性．[思路探究]利用三角公式化简函数式，写为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式，再讨论函数的性质．[解](1)f(x)＝4cosωx·sinωx＋π4＝22sinωx·cosωx＋22cos2ωx＝2(sin2ωx＋cos2ωx)＋2-7-＝2sin2ωx＋π4＋2.因为f(x)的最小正周期为π，且ω0，从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f(x)＝2sin2x＋π4＋2.若0≤x≤π2，则π4≤2x＋π4≤5π4.当π4≤2x＋π4≤π2，即0≤x≤π8时，f(x)单调递增；当π22x＋π4≤5π4，即π8x≤π2时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在区间0，π8上单调递增，在区间π8，π2上单调递减．三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略：运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y＝asinωx＋bcosωx＋k的形式，借助辅助角公式化为y＝Asinωx＋φ＋k或y＝Acosωx＋φ＋k的形式，将ωx＋φ看作一个整体研究函数的性质.4．已知函数f(x)＝－2sin2x＋π4＋6sinxcosx－2cos2x＋1，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间0，π2上的最大值和最小值．[解](1)f(x)＝－sin2x－cos2x＋3sin2x－cos2x＝2sin2x－2cos2x＝22sin2x－π4.所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)由(1)知f(x)＝22sin2x－π4，由于x∈0，π2，所以2x－π4∈－π4，3π4，-8-则sin2x－π4∈－22，1.所以f(x)在0，π2上的最大值为22，最小值为－2.(教师用书独具)常用的三角恒等变换思想方法(1)常值代换用某些三角函数值或三角函数式来代替三角函数式中的某些常数，使之代换后能运用相关公式，化简得以顺利进行．我们把这种代换称为常值代换．(2)切化弦当待化简式中既含有正弦、余弦，又含有正切，利用同角的基本三角函数关系式tanα＝sinαcosα，将正切化为正弦和余弦，这就是“切化弦”的思想方法，切化弦的好处在于减少了三角函数名称．(3)降幂与升幂由C2α变形后得到公式：sin2α＝12(1－cos2α)，cos2α＝12(1＋cos2α)，运用它就是降幂．反过来，直接运用倍角公式或变形公式1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α，就是升幂．(4)角的变换角的变换沟通了已知角与未知角之间的联系，使公式顺利运用，解题过程被简化．常见的角的变换有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(α＋β)－(β－α)]，α＋β＝(2α＋β)－α等.1．已知cosα＝35，α∈32π，2π，则sinα2等于()A．55B．－55C．45D．255A[由题知α2∈34π，π，-9-∴sinα20，sinα2＝1－cosα2＝55.]2．已知sinα－cosα＝－54，则sin2α的值等于()A．716B．－716C．－916D．916C[由sinα－cosα＝－54，(sinα－cosα)2＝1－2sinα·cosα＝1－sin2α＝2516，所以sin2α＝－916.]3．函数y＝32sin2x＋cos2x的最小正周期为________．π[∵y＝32sin2x＋cos2x＝32sin2x＋12cos2x＋12＝sin2x＋π6＋12，∴函数的最小正周期T＝2π2＝π.]4．求证：1＋sin4θ－cos4θ2tan4θ＝1＋sin4θ＋cos4θ1－tan2θ.[证明]原式可变形为1＋sin4θ－cos4θ＝tan2θ(1＋sin4θ＋cos4θ)，①①式右边＝s