2019-2020学年高中数学 第3章 三角恒等变换 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

-1-第1课时两角和与差的正弦、余弦公式学习目标核心素养1.掌握用两角差的余弦公式推导两角和的余弦公式和两角差与和的正弦公式．(重点)2.会利用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数求值、化简和证明．(重点)3.熟练两角和与差的正弦、余弦公式地灵活运用，了解公式的正用、逆用和变用等常用方法．(难点、易混点)1.借助用两角差的余弦公式推导两角和的余弦公式以及两角和与差的正弦公式，培养学生的逻辑推理的核心素养.2.通过用两角和与差的正弦、余弦公式进行化简、求值，提升学生的数学运算和数据分析的核心素养.1．两角和与差的余弦公式名称简记符号公式使用条件两角差的余弦公式C(α－β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβα，β∈R两角和的余弦公式C(α＋β)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβα，β∈R2.两角和与差的正弦公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦公式S(α＋β)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβα，β∈R两角差的正弦公式S(α－β)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβα，β∈R思考：sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立吗？你能举出一例吗？[提示]不一定成立，如sinπ3＋π6≠sinπ3＋sinπ6.3．两角和余弦公式的推导由α＋β＝α－(－β)，∴cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝cosαcos(－β)＋sinαsin(－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ．-2-1．sin20°cos10°－cos160°sin10°＝()A．－32B．32C．－12D.12D[原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝12.]2．cos57°cos3°－sin57°sin3°的值为()A．0B．12C．32D．cos54°B[原式＝cos(57°＋3°)＝cos60°＝12.]3．若cosα＝－35，α是第三象限的角，则sinα－π4＝．－210[∵cosα＝－35，α是第三象限的角，∴sinα＝－1－cos2α＝－45，∴sinα－π4＝22sinα－22cosα＝22×－45－22×－35＝－210.]4.12cos15°＋32sin15°＝．22[原式＝sin30°cos15°＋cos30°sin15°＝sin45°＝22.]给角求值问题【例1】(1)cos70°sin50°－cos200°sin40°的值为()A．－32B．－12C．12D．32(2)若θ是第二象限角且sinθ＝513，则cos(θ＋60°)＝．(3)求值：(tan10°－3)cos10°sin50°.(1)D(2)－12＋5326[(1)∵cos200°＝cos(180°＋20°)＝－cos20°＝－sin70°，sin40°＝cos50°，-3-∴原式＝cos70°sin50°－(－sin70°)cos50°＝sin(50°＋70°)＝sin120°＝32.(2)∵θ是第二象限角且sinθ＝513，∴cosθ＝－1－sin2θ＝－1213，∴cos(θ＋60°)＝12cosθ－32sinθ＝12×－1213－32×513＝－12＋5326.](3)[解]原式＝(tan10°－tan60°)cos10°sin50°＝sin10°cos10°－sin60°cos60°cos10°sin50°＝sin（－50°）cos10°cos60°·cos10°sin50°＝－2.解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．提醒：在逆用两角和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求．1．化简求值：(1)sin50°－sin20°cos30°cos20°；(2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)．[解](1)原式＝sin（20°＋30°）－sin20°cos30°cos20°-4-＝sin20°cos30°＋cos20°sin30°－sin20°cos30°cos20°＝cos20°sin30°cos20°＝sin30°＝12.(2)设α＝θ＋15°，则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－3cosα＝12sinα＋32cosα＋32cosα－12sinα－3cosα＝0.给值求值问题【例2】(1)已知sinα＝35，cosβ＝－513，且α为第一象限角，β为第二象限角，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值；(2)求值：3sinπ12＋cosπ12；(3)已知π2＜β＜α＜3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求cos2α与cos2β的值．思路点拨：(1)采用直接法：先求cosα，sinβ→再求sin（α＋β），sin（α－β）(2)采用常值代换：转化逆用公式．(3)采用角的代换确定α－β，α＋β范围→求sin（α－β），cos（α＋β）值→构造2α＝（α＋β）＋（α－β），2β＝（α＋β）－（α－β）→求cos2α，cos2β值[解](1)∵α为第一象限角且sinα＝35，∴cosα＝45.又β为第二象限角且cosβ＝－513，∴sinβ＝1213，∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ-5-＝35×－513＋45×1213＝3365.sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝35×－513－45×1213＝－6365.(2)3sinπ12＋cosπ12＝232sinπ12＋12cosπ12＝2sinπ12cosπ6＋cosπ12sinπ6＝2sinπ12＋π6＝2sinπ4＝2.(3)∵π2＜β＜α＜3π4，∴0＜α－β＜π4，π＜α＋β＜3π2.又∵cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，∴sin(α－β)＝1－cos2（α－β）＝1－12132＝513，cos(α＋β)＝－1－sin2（α＋β）＝－1－－352＝－45.∴cos2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝－45×1213－－35×513＝－3365，cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝－45×1213＋－35×513＝－6365.给值求值的方法(1)直接法：当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的-6-形式．(2)常值代换：用某些三角函数代替某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其中特别要注意的是“1”的代换，如1＝sin2α＋cos2α，1＝tan45°，1＝sin90°等.1，3，33，12，22等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数使用．(3)角的代换：将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式，像这样的代换方法就是角的代换．常见的有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]＝12[(α＋β)－(β－α)]，α＋β2＝α－β2－α2－β，α＋β＝(2α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)等．2．若sin3π4＋α＝513，cosπ4－β＝35，且0＜α＜π4＜β＜3π4，求sin(α＋β)的值．[解]∵0＜α＜π4＜β＜3π4，∴3π4＜3π4＋α＜π，－π2＜π4－β＜0，又sin3π4＋α＝513，cosπ4－β＝35，∴cos3π4＋α＝－1213，sinπ4－β＝－45.∴sin(α＋β)＝－cosπ2＋（α＋β）＝－cos3π4＋α－π4－β＝－cos3π4＋αcosπ4－β＋sin3π4＋αsinπ4－β＝－－1213×35＋513×－45＝5665.给值求角-7-【例3】已知cosα＝17，sin(α＋β)＝5314，0＜α＜π2，0＜β＜π2，求角β的值．思路点拨：确定β范围→求sinα，cos（α＋β）→由β＝（α＋β）－α，求sinβ→确定β值[解]因为0＜α＜π2，cosα＝17，所以sinα＝437.又因为0＜β＜π2，所以0＜α＋β＜π.因为sin(α＋β)＝5314＜sinα，所以π2＜α＋β＜π，所以cos(α＋β)＝－1114，所以sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝5314×17－－1114×437＝32.又因为0＜β＜π2，所以β＝π3.求解给值求角的关键两点(1)求出所求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围．一旦做好这两个环节，结合三角函数的性质与图象，便可求解．提醒：确定所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定．3．已知cosα＝55，sin(α－β)＝1010，且α，β∈0，π2.求：(1)cos(2α－β)的值；(2)β的值．[解](1)因为α，β∈0，π2，所以α－β∈－π2，π2，又sin(α－β)＝1010＞0，-8-所以0＜α－β＜π2，所以sinα＝1－cos2α＝255，cos(α－β)＝1－sin2（α－β）＝31010，cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cosαcos(α－β)－sinαsin(α－β)＝55×31010－255×1010＝210.(2)cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝55×31010＋255×1010＝22，又因为β∈0，π2，所以β＝π4.辅助角公式的应用[探究问题]1．能否将函数y＝sinx＋cosx(x∈R)化为y＝Asin(x＋φ)的形式|φ|∈0，π2？提示：能．y＝sinx＋cosx＝2sinx＋π4.2．如何推导asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)tanφ＝ba公式？提示：asinx＋bcosx＝a2＋b2aa2＋b2sinx＋ba2＋b2cosx，令cosφ＝aa2＋b2，sinφ＝ba2＋b2，则asinx＋bcosx＝a2＋b2(sinxcosφ＋cosxsinφ)＝a2＋b2sin(x＋φ)(其中φ角所在象限由a，b的符号确定，φ角的值由tanφ＝ba确定，或由sinφ＝ba2＋b2和cosφ＝aa2＋b2共同确定)．-9-【例4】(1)sinπ12－3cosπ12＝．(2)已知a＝(3，－1)，b＝(sinx，cosx)，x∈R，f(x)＝a·b，求函数f(x)的周期，值域，单调递增区间．思路点拨：解答此类问题的关键是巧妙构建公式C(α－β)、C(α＋β)、S(α－β)、S(α＋β)的右侧，逆用公式化成一个角的一种三角函数值．(1)－2[原式＝212sinπ12－32cosπ12.法一：(化正弦)原式＝2cosπ3sinπ12－sinπ3cosπ12＝2sinπ12cosπ3－cosπ12sinπ3＝2sinπ12－π3＝2sin－π4＝－2.法二：(化余弦)原式＝2sinπ6