2019-2020学年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.2.2.1 对数函数的图象及性质学案（

-1-第1课时对数函数的图象及性质知识点一对数函数的概念函数y＝logax(a0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是{x|x0}．形如y＝2log2x，y＝log2x3都不是对数函数，可称其为对数型函数．知识点二对数函数的图象与性质a10a1图象性质定义域(0，＋∞)值域R过点(1,0)，即当x＝1时，y＝0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．知识点三反函数指数函数y＝ax和对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对数函数的定义域为R.()(2)y＝log2x2与logx3都不是对数函数．()(3)对数函数的图象一定在y轴右侧．()(4)函数y＝log2x与y＝x2互为反函数．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×2．下列函数中是对数函数的是()-2-A．y＝log14xB．y＝log14(x＋1)C．y＝2log14xD．y＝log14x＋1解析：形如y＝logax(a0，且a≠1)的函数才是对数函数，只有A是对数函数．答案：A3．函数y＝xln(1－x)的定义域为()A．(0,1)B．[0,1)C．(0,1]D．[0,1]解析：由题意，得x≥0，1－x0，解得0≤x1；故函数y＝xln(1－x)的定义域为[0,1)．答案：B4．若f(x)＝log2x，x∈[2,3]，则函数f(x)的值域为________．解析：因为f(x)＝log2x在[2,3]上是单调递增的，所以log22≤log2x≤log23，即1≤log2x≤log23.答案：[1，log23]类型一对数函数的概念例1下列函数中，哪些是对数函数？(1)y＝logax(a0，且a≠1)；(2)y＝log2x＋2；(3)y＝8log2(x＋1)；(4)y＝logx6(x0，且x≠1)；(5)y＝log6x.【解析】(1)中真数不是自变量x，不是对数函数．(2)中对数式后加2，所以不是对数函数．(3)中真数为x＋1，不是x，系数不为1，故不是对数函数．(4)中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数．(5)中底数是6，真数为x，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数．用对数函数的概念例如y＝logax(a＞0且a≠0)来判断．方法归纳-3-判断一个函数是对数函数的方法跟踪训练1若函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________.解析：由a2－a＋1＝1，解得a＝0或a＝1.又底数a＋10，且a＋1≠1，所以a＝1.答案：1,对数函数y＝logax系数为1.类型二求函数的定义域例2求下列函数的定义域：(1)y＝lg(x＋1)＋3x21－x；(2)y＝log(x－2)(5－x)．【解析】(1)要使函数有意义，需x＋10，1－x0，即x－1，x1.∴－1x1，∴函数的定义域为(－1,1)．(2)要使函数有意义，需5－x0，x－20，x－2≠1，∴x5，x2，x≠3.∴定义域为(2,3)∪(3,5)．,真数大于0，偶次根式被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解．方法归纳求定义域有两种题型，一种是已知函数解析式求定义域，常规为：分母不为0；0的零次幂与负指数次幂无意义；偶次根式被开方式(数)非负；对数的真数大于0，底数大于0且不等于1.另一种是抽象函数的定义域问题．同时应注意求函数定义域的解题步骤．跟踪训练2函数y＝log0.5x－5的定义域是()A．(0，＋∞)B．(5,6]C．(5，＋∞)D．(－∞，6]-4-解析：由x－50，log0.5x－50，得x5，x－5≤1，∴5x≤6，∴定义域为(5,6]．答案：B,真数大于0，偶次根式被开方数大于等于0.类型三对数函数的图象问题例3(1)函数y＝x＋a与y＝logax的图象只可能是下图中的()(2)已知函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则f(log32)＝________.(3)如图所示的曲线是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为________．【解析】(1)A中，由y＝x＋a的图象知a＞1，而y＝logax为减函数，A错；B中，0＜a＜1，而y＝logax为增函数，B错；C中，0＜a＜1，且y＝logax为减函数，所以C对；D中，a＜0，而y＝logax无意义，也不对．(2)依题意可知定点A(－2，－1)，f(－2)＝3－2＋b＝－1，b＝－109，故f(x)＝3x－109，f(log32)＝3log32－109＝2－109＝89.(3)由题干图可知函数y＝logax，y＝logbx的底数a＞1，b＞1，函数y＝logcx，y＝logdx的底数0＜c＜1,0＜d＜1.过点(0,1)作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b＞a＞1＞d＞c.【答案】(1)C(2)89(3)b＞a＞1＞d＞c(1)由函数y＝x＋a的图象判断出a的范围．(2)依据loga1＝0，a0＝1，求定点坐标．(3)沿直线y＝1自左向右看，对数函数的底数由小变大．-5-方法归纳解决对数函数图象的问题时要注意(1)明确对数函数图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当x趋近于0时，函数图象会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交．(2)建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a的取值范围是a1，还是0a1.(3)牢记特殊点．对数函数y＝logax(a0，且a≠1)的图象经过点：(1,0)，(a,1)和1a，－1.跟踪训练3(1)如图所示，曲线是对数函数y＝logax(a0，且a≠1)的图象，已知a取3，43，35，110，则相应于C1，C2，C3，C4的a值依次为()A.3，43，35，110B.3，43，110，35C.43，3，35，110D.43，3，110，35(2)函数y＝loga|x|＋1(0a1)的图象大致为()解析：(1)方法一作直线y＝1与四条曲线交于四点，由y＝logax＝1，得x＝a(即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以C1，C2，C3，C4对应的a值分别为3，43，35，110，故选A.方法二由对数函数的图象在第一象限内符合底大图右的规律，所以底数a由大到小依次为C1，C2，C3，C4，即3，43，35，110.故选A.-6-(2)函数为偶函数，在(0，＋∞)上为减函数，(－∞，0)上为增函数，故可排除选项B，C，又x＝±1时y＝1，故选A.答案：(1)A(2)A(1)增函数底数a＞1，减函数底数0＜a＜1.(2)先去绝对值，再利用单调性判断.[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列函数是对数函数的是()A．y＝2＋log3xB．y＝loga(2a)(a＞0，且a≠1)C．y＝logax2(a＞0，且a≠1)D．y＝lnx解析：判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“y＝logax”的形式，A，B，C全错，D正确．答案：D2．若某对数函数的图象过点(4,2)，则该对数函数的解析式为()A．y＝log2xB．y＝2log4xC．y＝log2x或y＝2log4xD．不确定解析：由对数函数的概念可设该函数的解析式为y＝logax(a0，且a≠1，x0)，则2＝loga4＝loga22＝2loga2，即loga2＝1，a＝2.故所求解析式为y＝log2x.答案：A3．设函数y＝4－x2的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B＝()A．(1,2)B．(1,2]C．(－2,1)D．[－2,1)解析：由题意可知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，故A∩B＝{x|－2≤x＜1}．答案：D4．函数y＝ex的图象与函数y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称，则()-7-A．f(x)＝lgxB．f(x)＝log2xC．f(x)＝lnxD．f(x)＝xe解析：易知y＝f(x)是y＝ex的反函数，所以f(x)＝lnx.答案：C5．已知a＞0，且a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象只能是下图中的()解析：由函数y＝loga(－x)有意义，知x＜0，所以对数函数的图象应在y轴左侧，可排除A，C.又当a＞1时，y＝ax为增函数，所以图象B适合．答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)6．若f(x)＝logax＋(a2－4a－5)是对数函数，则a＝________.解析：由对数函数的定义可知a2－4a－5＝0a0a≠1，∴a＝5.答案：57．已知函数f(x)＝log3x，则f95＋f(15)＝________.解析：f95＋f(15)＝log395＋log315＝log327＝3.答案：38．函数f(x)＝loga(2x－3)(a＞0且a≠1)，的图象恒过定点P，则P点的坐标是________．解析：令2x－3＝1，解得x＝2，且f(2)＝loga1＝0恒成立，所以函数f(x)的图象恒过定点P(2,0)．答案：(2,0)三、解答题(每小题10分，共20分)9．求下列函数的定义域：(1)y＝log3(1－x)；(2)y＝1log2x；(3)y＝log711－3x.-8-解析：(1)∵当1－x0，即x1时，函数y＝log3(1－x)有意义，∴函数y＝log3(1－x)的定义域为(－∞，1)．(2)由log2x≠0，得x0且x≠1.∴函数y＝1log2x的定义域为{x|x0且x≠1}．(3)由11－3x0，得x13.∴函数y＝log711－3x的定义域为－∞，13.10．求出下列函数的反函数：(1)y＝log16x；(2)y＝1ex；(3)y＝πx.解析：(1)对数函数y＝log16x，它的底数为16，所以它的反函数是指数函数y＝16x；(2)同理，指数函数y＝1ex的反函数是对数函数y＝log1ex；(3)指数函数y＝πx的反函数为对数函数y＝logπx.[能力提升](20分钟，40分)11．已知函数f(x)＝ax(a0，a≠1)的反函数为g(x)，且满足g(2)0，则函数g(x＋1)的图象是下图中的()解析：由y＝ax解得x＝logay，∴g(x)＝logax.又∵g(2)0，∴0a1.故g(x＋1)＝loga(x＋1)是递减的，并且是由函数g(x)＝logax向左平移1个单位得到的．答案：A12．函数f(x)＝lnx＋31－2x的定义域是________．-9-解析：∵f(x)＝lnx＋31－2x，∴要使函数f(x)有意义，需使x＋301－2x0，即－3x0.答案：(－3,0)13．已知函数y＝log2x的图象，如何得到y＝log2(x＋1)的图象？y＝log2(x＋1)的定义域与值域是多少？与x轴的交点是什么？解析：y＝log2x―――――→左移1个单位y＝log2(x＋1)，如图．定义域为(－1，＋∞)，值域为R，与x轴的交点是(0,0)．14．已知函数f(x)＝log2x－1的定义域为A，函数g(x)＝12x(－1≤x≤0)的值域为B.(1)求A∩B；(2)若C＝{y|y≤a－1}，且B⊆C，求a的取值范围．解析：(1)由题意知：x－10，log2x－10⇒x≥2，所以A＝{x|x≥2}，B＝{y|1≤y≤2}，所以A∩B＝{2}．(2)由(1)知B＝{y|1≤y≤2}，若要使B⊆C，则有a－1≥2，所以a≥3.即a的取值范围为[3，＋∞)．