2019-2020学年高中数学 第二章 平面向量 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学案

-1-2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角考试标准课标要点学考要求高考要求数量积的坐标表示cc两个向量夹角的坐标运算bb平面向量模的坐标运算bb知识导图学法指导1.学习了本节后，我们在用向量处理平面图形问题时就有了两种方法，通过一题两解，体会基底法和坐标法的优劣及选择依据．2．通过数形结合，对向量平行与垂直条件的坐标表示的类比，培养学生联想的记忆方法.1.两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.数量积两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2两个向量垂直a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0状元随笔对数量积的坐标表示的理解(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和；(2)引入坐标运算后，使得平面向量数量积的运算和两个向量的坐标运算联系起来，从而使得向量的工具性作用更强；(3)平面向量的坐标可以把几何问题转化为代数问题，用向量的坐标运算来实现几何问-2-题的求解，数形结合的思想在数量积的应用中将体现更多．2．三个重要公式向量模公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝x21＋y21两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝x2－x12y2－y12向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22状元随笔对向量模长公式的理解(1)模长公式是数量积的坐标表示a→·b→＝x1x2＋y1y2的一种特例，当a→＝b→时，则可得|a→|2＝x21＋y21；(2)若点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，所以|AB→|＝x2－x12y2－y12，即|AB→|的实质是A，B两点间的距离或线段AB的长度，这也是模的几何意义．[小试身手]1．判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足x1y2－x2y1＝0，则向量a，b的夹角为0°.()(2)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．()(3)若两个向量的数量积的坐标和小于零，则两个向量的夹角一定为钝角．()答案：(1)×(2)√(3)×2．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b的值是()A．23B．7C．－23D．－7解析：由数量积的计算公式得，a·b＝(－3,4)·(5,2)＝－3×5＋4×2＝－7.答案：D3．已知a＝(－2,1)，b＝(x，－2)，且a⊥b，则x的值为()A．－1B．0C．1D．2解析：由题意，a·b＝(－2,1)·(x，－2)＝－2x－2＝0，解得x＝－1.-3-答案：A4．已知a＝(1，3)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝________.解析：因为a＋b＝(－1,3)，所以|a＋b|＝1232＝2.答案：2类型一数量积的坐标运算例1(1)设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3,4)，向量c＝(3,2)，则向量(a＋2b)·c＝()A．(－15,12)B．0C．－3D．－11(2)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，x)，且a·b＝－1，则x的值等于()A.12B．－12C.32D．－32【解析】(1)依题意可知，a＋2b＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)，所以(a＋2b)·c＝(－5,6)·(3,2)＝－5×3＋6×2＝－3.(2)因为a＝(1,2)，b＝(2，x)，所以a·b＝(1,2)·(2，x)＝1×2＋2x＝－1，解得x＝－32.【答案】(1)C(2)D(1)先求出a→＋2b→，然后利用平面向量的数量积求出(a→＋2b→)·c→.(2)利用平面向量的数量积运算求出a→·b→，由a→·b→＝－1得出关于x的方程求解．方法归纳数量积坐标运算的两个途径-4-一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．跟踪训练1已知a＝(2，－1)，b＝(3,2)，若存在向量c，满足a·c＝2，b·c＝5，则向量c＝________.解析：设c＝(x，y)，因为a·c＝2，b·c＝5，所以2x－y＝2，3x＋2y＝5，解得x＝97，y＝47，所以c＝97，47.答案：97，47设c→＝(x，y)，利用平面向量的数量积运算，列出关于x，y的方程求解．类型二平面向量的模例2(1)设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a∥b，则|a＋b|＝()A.5B.52C．25D．5(2)已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,2)，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.【解析】(1)因为a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a∥b，所以－2x－1×1＝0，解得x＝－12.所以a＋b＝－12，1＋(1，－2)＝12，－1，|a＋b|＝12212＝52.(2)由题意，知a＋b＝(－2,4)，a－b＝(4,0)，所以|a＋b|＝22＋42＝25，|a－b|＝4.【答案】(1)B(2)254(1)两向量a→＝(x1，y1)，b→＝(x2，y2)共线的坐标表示：x1y2－x2y1＝0.(2)已知a→＝(x，y)，则|a→|＝x2＋y2.方法归纳-5-求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．(2)坐标表示下的运算若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝x2＋y2.跟踪训练2(1)设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于()A.5B.6C.17D.26(2)已知|a|＝10，b＝(1,2)，且a·b＝10，则a的坐标为______．【解析】(1)因为a∥b，所以1·y－2×(－2)＝0，解得y＝－4，从而3a＋b＝(1,2)，|3a＋b|＝5.(2)设a的坐标为(x，y)，由题意得x＋2y＝10，x2＋y2＝10，即x＋2y＝10，x2＋y2＝100，解得x＝10，y＝0，或x＝－6，y＝8，所以a＝(10,0)或a＝(－6,8)．【答案】(1)A(2)(10,0)或(－6,8)(1)由a→∥b→求y，再求3a→＋b→的坐标，利用公式求模．(2)设a→(x，y)，由已知列方程组，求x，y.类型三平面向量的夹角(垂直)例3(1)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝5，若(c－b)·a＝152，则a与c的夹角为()A.30°B．60°C．120°D．150°(2)已知向量a＝(1,1)，b＝(2，－3)，若λa－2b与a垂直，则实数λ等于________．【解析】(1)由a·b＝－10，得-6-(c－b)·a＝c·a－b·a＝c·a＋10＝152，∴c·a＝－52.设a与c的夹角为θ，则cosθ＝a·c|a||c|＝－525×5＝－12.又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.(2)方法一λa－2b＝(λ，λ)－2(2，－3)＝(λ－4，λ＋6)．∵(λa－2b)⊥a，∴(λa－2b)·a＝0，∴(λ－4)＋(λ＋6)＝0，∴λ＝－1.方法二∵(λa－2b)⊥a，∴(λa－2b)·a＝0，即λa2＝2a·b，∴λ(1＋1)＝2(1,1)·(2，－3)，即2λ＝－2，∴λ＝－1.【答案】(1)C(2)－1(1)先求a→·b→，再由已知求c→·a→最后利用cosθ＝a→·c→|a→||c→|＝－1，又由θ∈[0，π]，得θ＝π，即a与b的夹角为π.