2019-2020学年高中数学 第二章 平面向量 2.5 平面向量应用举例学案（含解析）新人教A版必

-1-2.5平面向量应用举例考试标准课标要点学考要求高考要求平面向量在平面几何中的简单应用bb平面向量在物理中的简单应用aa知识导图学法指导1.本节的重点是用向量解决实际问题的两种方法(基底法和坐标法)和向量法解决几何问题的“三步曲”；难点是如何将实际问题转化为向量问题．2．通过练习，体会平面几何中的向量方法与代数方法的区别：前者的思路是“形到向量→向量的运算→向量和数到形”，后者的思路是“形到数→数的运算→数到形”．3．向量在物理中的应用，应注意两个方面：一是体会如何把物理量之间的关系抽象成数学模型；二是如何用向量来解决这个数学模型.1.物理学中的量与向量的关系(1)物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移都是向量．(2)物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法．2．用向量方法解决平面几何问题的三个步骤-2-状元随笔向量方法解决平面几何问题的六个应用(1)证明线段相等：通过向量运算，证明AB→2＝CD→2，即可证明AB＝CD.(2)证明线段平行：利用AB→＝λCD→，点A，B，C，D不共线，可以证明AB∥CD，特别地，当λ＝1时，AB綊CD.(3)证明线段垂直：利用AB→·CD→＝0，证明两线段垂直．(4)证明三点共线：利用AB→＝λAC→(λ∈R)可以证明A，B，C三点共线，也可变形为OA→＝xOB→＋yOC→(x，y∈R，x＋y＝1)，其中O为空间任意一点．(5)证明四点共面：利用PA→＝λPB→＋μPC→(λ，μ∈R)可以证明点P，A，B，C四点共面．(6)求值：利用向量的夹角公式求角；利用|a→|＝a→·a→求长度．[小试身手]1．判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)求力F1和F2的合力可按照向量加法的平行四边形法则．()(2)若△ABC为直角三角形，则有AB→·BC→＝0.()(3)若向量AB→∥CD→，则AB∥CD.()答案：(1)√(2)×(3)×2．已知点A(－2，－3)，B(2,1)，C(0,1)，则下列结论正确的是()A．A，B，C三点共线B.AB→⊥BC→C．A，B，C是等腰三角形的顶点D．A，B，C是钝角三角形的顶点-3-解析：因为BC→＝(－2,0)，AC→＝(2,4)，所以BC→·AC→＝－40，所以∠C是钝角．答案：D3．若向量OF1→＝(1,1)，OF2→＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为()A．(5,0)B．(－5,0)C.5D．－5解析：F1＋F2＝OF1→＋OF2→＝(1,1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)．|F1＋F2|＝2212＝5.答案：C4．力F＝(－1，－2)作用于质点P，使P产生的位移为s＝(3,4)，则力F对质点P做的功是________．解析：因为W＝F·s＝(－1，－2)·(3,4)＝－11，则力F对质点P做的功是－11.答案：－11类型一向量在几何中的应用例1如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.【证明】方法一设AD→＝a，AB→＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0，又DE→＝DA→＋AE→＝－a＋b2，AF→＝AB→＋BF→＝b＋a2，所以AF→·DE→＝b＋a2·－a＋b2＝－12a2－34a·b＋b22＝－12|a|2＋12|b|2＝0.故AF→⊥DE→，即AF⊥DE.方法二建立平面直角坐标系如图，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，AF→＝(2,1)，DE→＝(1，－2)．因为AF→·DE→＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，-4-所以AF→⊥DE→，即AF⊥DE.对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件(向量的数量积为0)，而对于这一条件的应用，可以考虑向量关系式的形式(基底法)，也可以考虑坐标的形式(坐标法)．方法归纳用向量方法解决平面几何问题的步骤跟踪训练1(1)在四边形ABCD中，若AB→＋CD→＝0，AC→·BD→＝0，则四边形为()A.平行四边形B．矩形C．等腰梯形D．菱形(2)若O是△ABC内一点，OA→＋OB→＋OC→＝0，则O为△ABC的()A.内心B．外心C．垂心D．重心解析：(1)由题可知AB→∥CD→，|AB→|＝|CD→|，且AC→⊥BD→，故四边形为菱形．(2)如图，取AB的中点E，连接OE，则OA→＋OB→＝2OE→.又OA→＋OB→＋OC→＝0，所以OC→＝－2OE→.又O为公共点，-5-所以O，C，E三点共线，且|OC→|＝2|OE→|.所以O为△ABC的重心．答案：(1)D(2)D(1)由AB→＋CD→＝0→可得AB→∥CD→，|AB→|＝|CD→|，AC→·BD→＝0可得AC→⊥BD→.(2)作出图形，取AB的中点E，连接OE.类型二向量在物理中的应用例2如图所示，求力F1，F2的合力F的大小(精确到0.1N)和方向(精确到分)．【解析】设F1＝(a1，a2)，F2＝(b1，b2)，则a1＝300cos30°＝1503，a2＝300sin30°＝150，b1＝－200cos45°＝－1002，b2＝200sin45°＝1002，所以F1＝(1503，150)，F2＝(－1002，1002)，则F＝F1＋F2＝(1503，150)＋(－1002，1002)＝(1503－1002，150＋1002)，|F|＝1503－10022150＋10022＝10013＋32－36≈314.6.设F与x轴的正方向的夹角为θ，则tanθ＝150＋10021503－1002≈2.4616.由F的坐标知θ是第一象限的角，所以θ≈67°53′.故两个力的合力约是314.6N，与x轴正方向的夹角大约为67°53′，与y轴的正方向的夹角大约为22°7′.利用F1→，F2→的大小和夹角→确定F1→，F2→的坐标→求出F→的坐标→进而得到F→的大小和方向方法归纳用向量方法解决物理问题的“三步曲”-6-跟踪训练2一艘船从A点出发以23km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/h，求船实际航行速度的大小与方向(用与水流速间的夹角表示)．解析：如图，设AD→表示船垂直于对岸的速度，AB→表示水流的速度，以AD、AB为邻边作平行四边形ABCD，则AC→就是船实际航行的速度．在Rt△ABC中，|AB→|＝2，|BC→|＝23，∴|AC→|＝|AB→|2＋|BC→|2＝22232＝4，∴tan∠CAB＝232＝3，∴∠CAB＝60°，故船实际航行速度的大小为4km/h，方向与水流速间的夹角为60°.用相关向量表示行驶速度和水流速度，再利用平行四边形法则求解．2.5[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．过点A(2,3)，且垂直于向量a＝(2,1)的直线方程为()A．2x＋y－7＝0B．2x＋y＋7＝0C．x－2y＋4＝0D．x－2y－4＝0-7-解析：设P(x，y)是所求直线上除A点外的任一点，则AP→·a＝0，又AP→＝(x－2，y－3)，所以2(x－2)＋(y－3)＝0，即所求直线方程为2x＋y－7＝0.答案：A2．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上的一点，为使物体保持平衡，现加上一个力F4，则F4等于()A．(－1，－2)B．(1，－2)C．(－1,2)D．(1,2)解析：F4＝－(F1＋F2＋F3)＝－[(－2，－1)＋(－3,2)＋(4，－3)]＝(1,2)．答案：D3．已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则此四边形为()A．梯形B．菱形C．矩形D．正方形解析：AB→＝(3,3)，CD→＝(－2，－2)，所以AB→＝－32CD→，AB→与CD→共线，但|AB→|≠|CD→|，故此四边形为梯形．答案：A4．河水的流速为2m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为()A．10m/sB．226m/sC．46m/sD．12m/s解析：由题意知|v水|＝2m/s，|v船|＝10m/s，作出示意图如右图．∴小船在静水中的速度大小|v|＝102＋22＝104＝226(m/s)．答案：B5．在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝5，AC→·AB→＝5，则AC的长为()A．1B．2C．3D．4解析：因为BD→＝AD→－AB→＝12AC→－AB→，-8-所以BD→2＝12AC→－AB→2＝14AC→2－AC→·AB→＋AB→2，即14AC→2＝1，所以|AC→|＝2，即AC＝2.答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)6．如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10牛，方向与水平面成60°角，当小车向前运动10米时，力F做的功为________焦耳．解析：设小车位移为s，则|s|＝10米，WF＝F·s＝|F||s|·cos60°＝10×10×12＝50(焦耳)．答案：507．若AB→＝3e，DC→＝5e，且|AD→|＝|BC→|，则四边形ABCD的形状为________．解析：由AB→＝3e，DC→＝5e，得AB→∥DC→，AB→≠DC→，又因为ABCD为四边形，所以AB∥DC，AB≠DC.又|AD→|＝|BC→|，得AD＝BC，所以四边形ABCD为等腰梯形．答案：等腰梯形8．如图，在平行四边形ABCD中，AC→＝(1,2)，BD→＝(－3,2)，则AD→·AC→＝________.解析：因为AD→＝12(AC→＋BD→)＝(－1,2)，所以AD→·AC→＝(－1,2)·(1,2)＝－1＋4＝3.答案：3三、解答题(每小题10分，共20分)-9-9．如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF.解析：方法一设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0a1)，则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝2a，所以DP→·EF→＝(DA→＋AP→)·(EP→＋PF→)＝DA→·EP→＋DA→·PF→＋AP→·EP→＋AP→·PF→＝1×a×cos180°＋1×(1－a)×cos90°＋2a×a×cos45°＋2a×(1－a)×cos45°＝－a＋a2＋a(1－a)＝0.所以DP→⊥EF→，即DP⊥EF.方法二设正方形边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，x)，则D(0,1)，E(x,0)，F(1，x)，所以DP→＝(x，x－1)，EF→＝(1－x，x)，由于DP→·EF→＝x(1－x)＋x(x－1)＝0，所以DP→⊥EF→，即DP⊥EF.10．如图所示，已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上)，F的大小为50N，F拉着一个重80N的木块在摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20m，问F及摩擦力f所做的功分别为多少？解析：设木块的位移为s，则F·s＝|F|·|s|cos30°＝50×20×32＝5003(J)，F在竖直方向上的分力大小为|F|sin30°＝50×12＝25(N)，∴摩擦力f的大小为|f|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)，-10-∴f·s＝|f|·|s|cos180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．∴F，f所做的功分别是5003J，－22J.[能力提升](20分钟，40分)11．如果一架飞机先向东飞行200km，再向南飞行300km，设飞机飞行的路程为skm，位移为akm，则()A．s|a|B．s|a|C．s＝|a|D．s与|a|不能比较大小解析：物理量中的路程是数量，位移是向量，从而s＝500，由位移的合成易得|a|500，故s|a|.答案：A12．已知A，B是圆心为C，半径为5的圆上两点，且|AB|＝5，则AC→·CB→等于________．解析：由已知得△ABC为正三角形，向量AC→与CB→的夹角为120°，所以AC→·CB→＝5·5cos120°＝－52.答案：－5213．某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感到风从正