2019-2020学年高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.2.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公

-1-第2课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)两角和与差的正切公式名称公式简记符号使用条件两角和的正切tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβT(α＋β)α，β，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z)两角差的正切tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβT(α－β)α，β，α－β≠kπ＋π2(k∈Z)状元随笔公式T(α±β)的结构特征和符号规律(1)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tanα与tanβ的和或差，分母为1与tanαtanβ的差或和．(2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．[小试身手]1．判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβ成立．()(2)对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ都成立．()(3)tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ等价于tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)．()答案：(1)√(2)×(3)√-2-2．已知tanα＝4，tanβ＝3，则tan(α＋β)＝()A.711B．－711C.713D．－713解析：tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝4＋31－4×3＝－711.答案：B3．已知tanα＝3，则tan13π4－α＝()A．－2B．2C.12D．－12解析：tan13π4－α＝tanπ4－α＝1－tanα1＋tanα＝1－31＋3＝－12.答案：D4．计算：tan75°＝________.解析：tan75°＝tan(45°＋30°)＝tan45°＋tan30°1－tan45°tan30°＝1＋331－33＝3＋33－3＝12＋636＝2＋3.答案：2＋3授课提示：对应学生用书65页类型一正切公式的正用、逆用、变形用例1(1)已知tanα－5π4＝15，则tanα＝________；(2)tan11π12＝________；(3)计算3－tan15°1＋3tan15°＝________.-3-【解析】(1)因为tanα－5π4＝tanα－π4＝15，所以tanα－11＋tanα＝15，解得tanα＝32.(2)tan11π12＝－tanπ12＝－tanπ4－π6＝－tanπ4－tanπ61＋tanπ4tanπ6＝－1－331＋33＝－2＋3.(3)3－tan15°1＋3tan15°＝tan60°－tan15°1＋tan60°tan15°＝tan45°＝1.【答案】(1)32(2)－2＋3(3)1(1)利用两角差的正切公式tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ.(2)11π12＝π－π12；π12＝π4－π6.(3)3＝tan60°.方法归纳利用公式T(α±β)化简求值的两点说明(1)分析式子结构，正确选用公式形式：T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换．(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”“3”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tanπ4”“3＝tanπ3”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值．跟踪训练1求值：(1)tan15°；(2)tan74°＋tan76°1－tan74°tan76°；(3)tan23°＋tan37°＋3tan23°tan37°.解析：(1)tan15°＝tan(45°－30°)＝tan45°－tan30°1＋tan45°tan30°＝1－331＋33＝3－33＋3＝-4-12－636＝2－3.(2)原式＝tan(74°＋76°)＝tan150°＝－33.(3)∵tan60°＝3＝tan23°＋tan37°1－tan23°tan37°，∴tan23°＋tan37°＝3－3tan23°tan37°，∴tan23°＋tan37°＋3tan23°tan37°＝3.(1)15°＝45°－30°.(2)利用公式求值．类型二给值求值例2(1)已知tan(α＋β)＝25，tanβ－π4＝14，那么tanα＋π4等于()A.1318B.1322C.322D.318(2)已知sinα＋cosαsinα－cosα＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.【解析】(1)tanα＋π4＝tanβ－π4＝25－141＋25×14＝322.(2)由条件知sinα＋cosαsinα－cosα＝tanα＋1tanα－1＝3，则tanα＝2，因为tan(α－β)＝2，所以tan(β－α)＝－2.故tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝tantanα1＋tantanα＝－2－2122＝43.【答案】(1)C(2)43(1)α＋π4＝(α＋β)－(β－π4)．(2)β－2α＝(β－α)－α.方法归纳-5-给值求值问题的两种变换(1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系实现求值．(2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角和待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)、2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知角的三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值．跟踪训练2设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为()A.－3B．－1C．1D．3解析：∵tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，∴tanα＋tanβ＝3，tanαtanβ＝2，∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝31－2＝－3.答案：A由一元二次方程的根与系数关系可知，tanα＋tanβ＝3，tanαtanβ＝2.再利用公式求值．类型三给值求角例3已知tanα＝17，sinβ＝1010，且α，β为锐角，求α＋2β的值．【解析】∵tanα＝171且α为锐角，∴0απ4.又∵sinβ＝10105010＝22且β为锐角．∴0βπ4，∴0α＋2β3π4.①由sinβ＝1010，β为锐角，得cosβ＝31010，∴tanβ＝13.∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝17＋131－17×13＝12.-6-∴tan(α＋2β)＝tantanβ1－tantanβ＝12＋131－12×13＝1.②由①②可得α＋2β＝π4.1．先求tan(α＋β)．2．再求tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]．3．由已知求α＋2β的范围，最后求值．方法归纳给值求角问题的步骤及选取函数的原则(1)给值求角问题的步骤．①求所求角的某个三角函数值．②确定所求角的范围(范围讨论得过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解)，根据范围找出角．(2)选取函数的原则．①已知正切函数值，选正切函数．②已知正余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围是0，π2，选正弦或余弦函数均可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围是－π2，π2，选正弦较好．跟踪训练3已知tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，α，β∈(0，π)，求2α－β的值．解析：tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tantanβ1－tantanβ＝12－171－12×－17＝13.又因为α∈(0，π)，而tanα0，所以α∈0，π2.tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tanα＋tan1－tanαtan＝13＋121－13×12＝1.-7-因为tanβ＝－17，β∈(0，π)，所以β∈π2，π，所以α－β∈(－π，0)．由tan(α－β)＝120，得α－β∈－π，－π2，所以2α－β∈(－π，0)．又tan(2α－β)＝1，所以2α－β＝－3π4.(1)先求tanα＝tan[(α－β)＋β](2)再求tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)](3)由已知求2α－β的范围，最后求值3.1.2.2[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．tan285°的值等于()A．2＋3B．2－3C．－2－3D．－2＋3解析：tan285°＝tan(360°－75°)＝－tan75°＝－tan(45°＋30°)＝－tan45°＋tan30°1－tan45°tan30°＝－1＋331－33＝－2－3.答案：C2.1－tan27°tan33°tan27°＋tan33°等于()A.33B.3-8-C．tan6°D.1tan6°解析：∵tan27°＋tan33°1－tan27°tan33°＝tan(27°＋33°)＝tan60°，∴原式＝1tan60°＝33.答案：A3．已知α，β都是锐角，tanα＝12，tanβ＝13，则α＋β的值为()A.π2B.π3C.π4D.π6解析：tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanα·tanβ＝12＋131－12×13＝1，又因为α，β都是锐角，所以α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π4.答案：C4．若sinα＋cosαsinα－cosα＝12，则tanα＋π4＝()A．－2B．2C．－12D.12解析：因为sinα＋cosαsinα－cosα＝12，所以tanα＋1tanα－1＝12，因为tanα＋1tanα－1＝tanα＋tanπ4tanαtanπ4－1＝－tanα＋π4＝12，所以tanα＋π4＝－12.答案：C5．已知tanα＝12，tan(α－β)＝－25，那么tan(β－2α)的值为()A．－34B．－112-9-C．－98D.98解析：tan(β－2α)＝－tan(2α－β)＝－tan[α＋(α－β)]＝－tanα＋tan1－tanαtan＝－12－251＋12×25＝－112.答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)6．若tanα＝3，则tanα＋π4＝________.解析：因为tanα＝3，所以tanα＋π4＝tanα＋tanπ41－tanαtanπ4＝3＋11－3×1＝－2.答案：－27.tan17°＋tan43°1－tan17°tan43°＝________.解析：tan17°＋tan43°1－tan17°tan43°＝tan(17°＋43°)＝tan60°＝3.答案：38．已知tan(α＋β)＝3，tanα＋π4＝2，那么tanβ＝________.解析：tanα＋π4＝1＋tanα1－tanα＝2，则tanα＝13，又tan(α＋β)＝tanβ＋tanα1－tanαtanβ＝3，所以tanβ＝43.答案：43三、解答题(每小题10分，共20分)9．A，B，C是△ABC的三个内角，且tanA，tanB是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，判断△ABC的形状．-10-解析：由根与系数关系得tanA＋tanB＝53，tanA·tanB＝13.∴tan(A＋B)＝tanA＋tanB1－tanA·tanB＝531－13＝52，在△ABC中，tanC＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝－520，∴∠C是钝角，∴△ABC是钝角三角形．10．已知cosα＝45，α∈(0，π)，tan(α－β)＝12，求tanβ及tan(2α－β)．【解析】∵cosα＝450，α∈(0，π)，∴sinα0.∴sinα＝1－cos2α＝1－452＝35，∴tanα＝sinαcosα＝3545＝34.∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝tanα－tan1＋tanα·tan＝34－121＋34×12＝211，tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tanα＋tan1－tanα