2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数 1.1.2 弧度制学案（含解析）新人教A版必修4

-1-1.1.2弧度制考试标准课标要点学考要求高考要求弧度制的概念aa弧度与角度的互化bb知识导图学法指导1.熟练掌握弧度制的定义，可以从六十进制与十进制区别角度制与弧度制．2．由圆周角找出弧度制与角度制的联系，记住常见特殊角对应的弧度数．3．记忆扇形的面积公式时可将扇形看作三角形来记忆，S＝12底·高＝12lR.1.度量角的两种制度角度制定义用度作为单位来度量角的单位制1度的角周角的1360为1度的角，记作1°弧度制定义以弧度为单位来度量角的单位制1弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1rad状元随笔正确理解弧度与角度的概念区别(1)定义不同；(2)单位不同：弧度制以“弧度”为单位，角度制以“度”为单位联系(1)不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值；(2)“弧度”与“角度”之间可以相互转化-2-2．弧度数的计算(1)正角：正角的弧度数是一个正数．(2)负角：负角的弧度数是一个负数．(3)零角：零角的弧度数是0.(4)如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr.3．角度制与弧度制的换算角度化弧度弧度化角度360°＝2π_rad2πrad＝360°180°＝π_radπrad＝180°1°＝π180rad≈0.01745rad1rad＝180π°≈57.30°度数×π180＝弧度数弧度数×180π°＝度数状元随笔角度制与弧度制换算公式的理解(1)弧度制、角度制都是角的度量制，它们之间可以进行换算．(2)用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量度相同(都是0)；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量度也不同．4．扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0α2π)为其圆心角，则(1)弧长公式：l＝α·R.(2)扇形面积公式：S＝12lR＝12α·R2.[小试身手]1．判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)1弧度的角等于1度的角．()(2)弧度的计算公式为α＝lr.()(3)直角的弧度数为π2.()答案：(1)×(2)×(3)√-3-2．下列各种说法中，错误的是()A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B．1°的角是周角的1360，1rad的角是周角的12πC．根据弧度的定义，180°的角一定等于πrad的角D．利用弧度制度量角时，它与圆的半径长短有关解析：角的大小只与角的始边和终边的位置有关，而与圆的半径大小无关，故选D.答案：D3．将864°化为弧度为()A.36π5B.12π5C.24π5D.4825π解析：864°＝864×π180＝24π5，故选C.答案：C4．扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________．解析：216°＝216×π180＝6π5，l＝α·r＝6π5r＝30π，∴r＝25.答案：25类型一角度与弧度的换算例1(1)将下列各角进行角度与弧度的互化(角度精确到0.01)：α1＝－117π，α2＝5116π，α3＝9，α4＝－855°.(2)把下列各角化为2kπ＋α(0≤α2π，k∈Z)的形式：16π3，－315°，－11π7.(3)在0°～720°范围内，找出与25π终边相同的角．【解析】(1)α1＝－117π＝－117×180°≈－282.86°；α2＝5116π＝5116×180°＝15330°；-4-α3＝9＝9×180π°≈515.66°；α4＝－855°＝－855°×π180＝－194π.(2)16π3＝4π＋4π3；－315°＝－360°＋45°＝－2π＋π4；－11π7＝－2π＋3π7.(3)∵2π5＝25×180°＝72°，∴终边与2π5相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)．当k＝0时，θ＝72°；当k＝1时，θ＝432°.故在0°～720°范围内，与2π5终边相同的角为72°，432°.(1)180°＝πrad是进行“弧度”与“角度”换算的关键．(2)表示成2kπ＋α(0≤α2π，k∈Z)的形式，调整k使角在[0,2π)内．(3)把弧度换算成角度，写出终边相同的角的集合，调整k使角在0°～720°内．方法归纳进行角度制与弧度制的互化的原则和方法(1)原则：牢记180°＝πrad，充分利用1°＝π180rad和1rad＝180π°进行换算．(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则αrad＝α·180π°；n°＝n·π180.提醒：(1)用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写．(2)用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数．(3)度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．跟踪训练1(1)将下列各角用弧度表示，并指出它们是第几象限角：α1＝510°，α2＝－750°；(2)将下列各角用度表示，并在0°～360°范围内找出与它们终边相同的角：β1＝45π，β2＝－116π.解析：(1)∵1°＝π180rad，∴α1＝510°＝510×π180＝176π，则α1＝176π＝2π＋56π；α2＝－750°＝－750×π180＝－256π，则α2＝－256π＝－3×2π＋116π，∴α1是第二-5-象限角，α2是第四象限角．(2)β1＝45π＝4π5×180°π＝144°，设θ1＝k·360°＋144°(k∈Z)．∵0°≤θ1360°，∴0°≤k·360°＋144°360°(k∈Z)，∴k＝0.∴在0°～360°内，与角β1终边相同的角是144°角；β2＝－116π＝－11π6×180°π＝－330°.设θ2＝k·360°－330°(k∈Z)．∵0°≤θ2360°，∴0°≤k·360°－330°360°(k∈Z)，∴k＝1.∴在0°～360°内，与角β2终边相同的角是30°角．角度与弧度的换算只要记住一个公式：π180°＝该角的弧度数该角的角度数.据此可推出n°＝n·π180rad，αrad＝α·180π°.类型二用弧度制表示角的集合例2已知角α＝2005°.(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β2π)的形式，并指出α是第几象限的角；(2)在[－5π，0)内找出与α终边相同的角．【解析】(1)2005°＝2005×π180rad＝401π36rad＝5×2π＋41π36rad，又π41π363π2，∴角α与41π36终边相同，是第三象限的角．(2)与α终边相同的角为2kπ＋41π36(k∈Z)，由－5π≤2kπ＋41π360，k∈Z知k＝－1，－2，－3.∴在[－5π，0)内与α终边相同的角是－31π36，－103π36，－175π36.(1)用弧度数表示与角α终边相同的角连同角α在内的集合为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}．(2)用弧度数表示区域角时，先把角度换算成弧度，再写出与区域角的终边相同的角的集合，最后用不等式表示出区域角的集合，对于能合并的应当合并．方法归纳-6-用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．跟踪训练2用弧度表示终边落在如图(1)(2)所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．解析：对于题图(1)，225°角的终边可以看作是－135°角的终边，化为弧度，即－3π4，60°角的终边即π3的终边，∴所求集合为α2kπ－3π4α2kπ＋π3，k∈Z.对于题图(2)，同理可得，所求集合为α2kπ＋π6α2kπ＋π2，k∈Z∪α2kπ＋π＋π6α2kπ＋π＋π2，k∈Z＝αkπ＋π6αkπ＋π2，k∈Z.本题考查区域角的表示，关键是要确定好区域的起止边界.类型三与扇形弧长、面积相关的问题例3(1)若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为()A.π3B.π2C.3D．2(2)一个扇形OAB的面积是1cm2，它的周长是4cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.【解析】(1)设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为3r，所以3r＝α·r，所以α＝3.(2)设扇形的半径为rcm，弧长为lcm，则12lr＝1，l＋2r＝4，解得r＝1，l＝2.-7-所以圆心角α＝lr＝2.如图，过点O作OH⊥AB于点H，则∠AOH＝1rad.所以AH＝1·sin1＝sin1(cm)，所以AB＝2sin1(cm)，所以圆心角的弧度数为2，弦长AB为2sin1cm.【答案】(1)C(2)见解析(1)圆的半径r与圆的内接正三角形的边长a的关系是a＝3r，再求α.(2)设出扇形的弧长和半径，列出方程组求解．方法归纳扇形的弧长和面积的求解策略(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝12lR＝12αR2(其中l是扇形的弧长，α是扇形圆心角的弧度数，0α2π)．(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．跟踪训练3(1)已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm，则此扇形的面积为________cm2；(2)已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，求扇形圆心角的弧度数．解析：(1)设扇形弧长为l，因为120°＝120×π180rad＝2π3(rad)，所以l＝αR＝2π3×3＝23π3(cm)．所以S＝12lR＝12×23π3×3＝π(cm2)．故填π.(2)设扇形圆心角的弧度数为θ(0θ2π)，弧长为l，半径为R，-8-依题意有l＋2R＝10.①12lR＝4.②①代入②得R2－5R＋4＝0，解之得R1＝1，R2＝4.当R＝1时，l＝8(cm)，此时，θ＝8rad2πrad舍去．当R＝4时，l＝2(cm)，此时，θ＝24＝12(rad)．综上可知，扇形圆心角的弧度数为12rad.答案：(1)π(2)见解析求扇形面积的关键是求出扇形的圆心角、半径、弧长这三个量中的任意两个量．也可由扇形的面积结合其他条件，求扇形的圆心角、半径、弧长．解题时要注意公式的灵活变形及方程思想的运用．1.1.2[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．1920°的角化为弧度数为()A.163B.323C.163πD.323π解析：∵1°＝π180rad，∴1920°＝1920×π180rad＝323πrad.答案：D2．5弧度的角的终边所在的象限为()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：因为3π252π，所以5弧度的角的终边在第四象限．-9-答案：D3．把－114π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的值是()A．－34πB．－2πC．πD．－π解析：∵－114π＝－2π＋－34π＝2×(－1)π＋－34π.∴θ＝－34π.答案：A4．一个扇形的弧长与面积的数值都是6，则这个扇形的圆心角是()A．1B．2C．3D．4解析：设扇形的圆心角的弧度数为θ，半径为R，由题意，得θR＝612θR2＝6，解得θ＝3，故选C.答案：C5．圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为()A.π3B.2π3C.3D．2-10-解析：如图，设圆的半径为R，则圆的内接正三角形的边长为3R，所以圆弧长度为3R的圆心角的弧度数α＝3RR＝3.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．下列四个角：1,60°，π3，－π6由大到小的排列为____________．解析：只需把60°化成弧度数，因为60°＝60×π180＝π3，所以四个角为1，π3，π3，－π6.所以60°＝π31－π6.答案：60°＝π31－π67．若三角形三内角之比为：：5，则三内角的弧度数分别是________．解析：设三角形三内角弧度数分别为3k,4k,5k，则由3k＋4k＋5k＝π，得k＝π1