2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数 1.2.1.2 任意角的三角函数（二）学案（含解析

-1-第2课时任意角的三角函数(二)1.相关概念(1)单位圆：以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆．(2)有向线段：带有方向(规定了起点和终点)的线段．规定：方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值，反之为负值．2．三角函数线状元随笔(1)三角函数线的方向．正弦线由垂足指向角α的终边与单位圆的交点，余弦线由原点指向垂足，正切线由切点指向切线与角α的终边或其反向延长线的交点．(2)三角函数线的正负：三条有向线段凡与x轴或y轴同向的，为正值，与x轴或y轴反向的，为负值．[小试身手]1．判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)角的三角函数线是直线．()(2)角的三角函数值等于三角函数线的长度．()(3)第二象限的角没有正切线．()答案：(1)×(2)×(3)×2．有下列四个说法：-2-①α一定时，单位圆中的正弦线一定；②单位圆中，有相同正弦线的角相等；③α和α＋π有相同的正切线；④具有相同正切线的两个角终边相同．不正确说法的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：①正确．当α确定时其sinα是确定的．②不正确．例如π6和5π6.③正确，④不正确．答案：C3．如图所示，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是()A．正弦线PM，正切线A′T′B．正弦线MP，正切线A′T′C．正弦线MP，正切线ATD．正弦线PM，正切线AT解析：α为第三象限角，故正弦线为MP，正切线为AT，所以C正确．答案：C4．已知sinα0，tanα0，则α的()A．余弦线方向向右，正切线方向向下B．余弦线方向向右，正切线方向向上C．余弦线方向向左，正切线方向向下D．余弦线方向向上，正切线方向向左解析：因为sinα0，tanα0，所以α是第二象限角，余弦、正切都是负值，因此余弦线方向向左，正切线方向向下．答案：C-3-类型一三角函数线的作法例1做出3π4的正弦线、余弦线和正切线．【解析】角3π4的终边(如图)与单位圆的交点为P.作PM垂直于x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线AT，与3π4的终边的反向延长线交于点T，则3π4的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT.先作单位圆再作角，最后作出三角函数线．方法归纳三角函数线的画法(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线．(2)作正切线时，应从A(1,0)点引单位圆的切线，交角的终边或终边的反向延长线于一点T，即可得到正切线AT.跟踪训练1作出－5π8的正弦线、余弦线和正切线．解析：如图：sin－5π8＝MP，cos－5π8＝OM，tan－5π8＝AT.作单位圆、作角、画出三角函数线．类型二利用三角函数线比较大小例2分别比较sin2π3与sin4π5，cos2π3与cos4π5，tan2π3与tan4π5的大小．-4-【解析】在直角坐标系中作单位圆如图所示．以x轴非负半轴为始边作2π3的终边与单位圆交于P点，作PM⊥Ox，垂足为M.由单位圆与Ox正方向的交点A作Ox的垂线与OP的反向延长线交于T点，则sin2π3＝MP，cos2π3＝OM，tan2π3＝AT.同理，可做出4π5的正弦线、余弦线和正切线，sin4π5＝M′P′，cos4π5＝OM′，tan4π5＝AT′.由图形可知，MPM′P′，符号相同，则sin2π3sin4π5；OMOM′，符号相同，则cos2π3cos4π5；ATAT′，符号相同，则tan2π3tan4π5.利用三角函数线比较sinα与sinβ，cosα与cosβ，tanα与tanβ的大小时，先在坐标系中画出α，β的正弦线、余弦线、正切线，再结合有向线段的长度和方向来比较大小.方法归纳利用三角函数线比较大小的步骤利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：①角的位置要“对号入座”；②比较三角函数线的长度；③确定有向线段的正负．跟踪训练2设π4απ2，试比较角α的正弦线、余弦线和正切线的长度．如果π2α3π4，上述长度关系又如何？-5-解析：如图所示，当π4απ2时，角α的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT，显然在长度上，ATMPOM；当π2α3π4时，角α的正弦线为M′P′，余弦线为OM′，正切线为AT′，显然在长度上，AT′M′P′OM′.由于π4απ2时，sinα，cosα，tanα都大于0，故可以直接根据角的正弦线、余弦线、正切线的长短来比较三者的大小．类型三利用三角函数线解不等式例3求函数f(α)＝2sinα－1的定义域．【解析】要使函数f(α)有意义，则sinα≥12.如图所示，画出单位圆，作直线y＝12，交单位圆于P1，P2两点，连接OP1，OP2，过点P1，P2作x轴的垂线，垂足分别为M1，M2，易知正弦线M1P1＝M2P2＝12.在[0,2π)范围内，sinπ6＝sin5π6＝12，则点P1，P2分别在5π6，π6的终边上，又sinα≥12，结合图形可知，图中阴影部分(包括边界)即满足sinα≥12的角α的终边所在的范围，即当α∈[0,2π)时，π6≤α≤5π6，故函数f(α)的定义域为α2kπ＋π6≤α≤2kπ＋5π6，k∈Z.-6-要使函数f(α)有意义，则sinα≥12，利用三角函数线可得α的取值范围，即函数f(α)的定义域．方法归纳利用三角函数线解三角不等式的方法利用三角函数线求解不等式，通常采用数形结合的方法，求解关键是恰当地寻求点．一般来说，对于sinx≥b，cosx≥a(或sinx≤b，cosx≤a)，只需作直线y＝b，x＝a与单位圆相交，连接原点和交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的x的范围；对于tanx≥c(或tanx≤c)，则取点(1，c)，连接该点和原点即得角的终边所在的位置，并反向延长，结合图象可得．跟踪训练3在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合．(1)sinα≥32；(2)cosα≤－12.解析：(1)作直线y＝32，交单位圆于A，B两点，作射线OA，OB，则OA与OB围成的区域(如图1所示的阴影部分，包括边界)即为角α的终边所在的范围．故满足要求的角α的集合为α2kπ＋π3≤α≤2kπ＋2π3，k∈Z.(2)作直线x＝－12，交单位圆于C，D两点，作射线OC与OD，则OC与OD围成的区域(如图2所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边所在的范围．故满足条件的角α的集合为{α2kπ＋2π3≤α≤2kπ＋4π3，k∈Z}.作单位圆画出角α的三角函数线，结合图象写出角的范围．-7-1.2.1.2-8-[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．对三角函数线，下列说法正确的是()A．对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线B．有的角的正弦线、余弦线和正切线都不存在C．任意角的正弦线、正切线总是存在的，但余弦线不一定存在D．任意角的正弦线、余弦线总是存在的，但正切线不一定存在解析：终边在y轴上的角的正切线不存在，故A，C错，对任意角都能作正弦线、余弦线，故B错，因此选D.答案：D2．如果MP和OM分别是角α＝7π8的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是()A．MPOM0B．OM0MPC．OMMP0D．MP0OM解析：因为78π是第二象限角，所以sin78π0，cos78π0，所以MP0，OM0，所以MP0OM.答案：D3．有三个命题：①π6和5π6的正弦线长度相等；②π3和4π3的正切线相同；③π4和5π4的余弦线长度相等．其中正确说法的个数为()A．1B．2C．3D．0解析：π6和5π6的正弦线关于y轴对称，长度相等；π3和4π3两角的正切线相同；π4和5π4的余弦线长度相等．故①②③都正确．故选C.答案：C4．使sinx≤cosx成立的x的一个区间是()-9-A.－3π4，π4B.－π2，π2C.－π4，3π4D.[]0，π解析：如图所示，画出三角函数线sinx＝MP，cosx＝OM，由于sin－3π4＝cos－3π4，sinπ4＝cosπ4，为使sinx≤cosx成立，由图可得在[－π，π)范围内，－3π4≤x≤π4.答案：A5．如果π4θπ2，那么下列各式中正确的是()A．cosθtanθsinθB．sinθcosθtanθC．tanθsinθcosθD．cosθsinθtanθ解析：如图所示，作出角θ的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，由图可知ATMPOM，即tanθsinθcosθ，故选D.答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6．比较大小：sin1________sinπ3(填“”或“”)．解析：因为01π3π2，结合单位圆中的三角函数线，知sin1sinπ3.答案：7．不等式tanα＋330的解集是________________________．-10-解析：不等式的解集如图所示(阴影部分)，∴αkπ－π6αkπ＋π2，k∈Z.答案：αkπ－π6αkπ＋π2，k∈Z8．用三角函数线比较sin1与cos1的大小，结果是________．解析：如图，sin1＝MP，cos1＝OM.显然MPOM，即sin1cos1.答案：sin1cos1三、解答题(每小题10分，共20分)9．做出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．(1)5π6；(2)－2π3.解析：(1)因为5π6∈π2，π，所以做出5π6角的终边如图①所示，交单位圆于点P作PM⊥x轴于点M，则有向线段MP＝sin5π6，有向线段OM＝cos5π6，设过A(1,0)垂直于x轴的直线交OP的反向延长线于T，则有向线段AT＝tan5π6.综上所述，图①中的有向线段MP，OM，AT分别为5π6角的正弦线、余弦线、正切线．-11-(2)因为－2π3∈－π，－π2，所以在第三象限内做出－2π3角的终边如图②所示，交单位圆于点P′用类似①的方法作图，可得图②中的有向线段M′P′、OM′、A′T′分别为－2π3角的正弦线、余弦线、正切线．10．利用三角函数线，求满足下列条件的角α的集合：(1)tanα＝－1；(2)sinα≤－22.解析：(1)如图①所示，过点(1，－1)和原点作直线交单位圆于点P和P′，则OP和OP′就是角α的终边，所以∠xOP＝3π4＝π－π4，∠xOP′＝－π4，所以满足条件的所有角α的集合是αα＝－π4＋kπ，k∈Z.(2)如图②所示，过0，－22作与x轴的平行线，交单位圆于点P和P′，则sin∠xOP＝sin∠xOP′＝－22，∴∠xOP＝54π，∠xOP′＝74π，∴满足条件所有角α的集合为x|54π＋2kπα74π＋2kπ，k∈Z.[能力提升](20分钟，40分)11．已知角α的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则α的终边在()A．第一象限的角平分线上B．第四象限的角平分线上C．第二、第四象限的角平分线上D．第一、第三象限的角平分线上解析：作图(图略)可知角α的终边在直线y＝－x上，∴α的终边在第二、第四象限的-12-角平分线上，故选C.答案：C12．若cosθsin7π3，利用三角函数线得角θ的取值范围是________．解析：因为cosθsin7π3，所以cosθsinπ3＋2π＝sinπ3＝32，易知角θ的取值范围是2kπ－π6，2kπ＋π6(k∈Z)．答案：2kπ－π6，2kπ＋π6(k∈Z)13．若α∈0，π2，试利用三角函数线证明sinα＋cosα1.解析：如图所示，角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则sinα＝MP，cosα＝OM，OP＝1，由三角形两边之和大于