2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 1.4.2

-1-1．4.1正弦函数、余弦函数的图象1．4.2正弦函数、余弦函数的性质考试标准课标要点学考要求高考要求正弦函数、余弦函数的图象bc周期函数的概念aa正弦函数、余弦函数的性质bb知识导图学法指导1.本节内容以三角函数的图象及其性质为主，因此在学习过程中应先学会作图，然后利用图象研究函数的性质．2．深刻理解五点的取法，特别是非正常周期的五点．3．注意所有的变换是图象上的点在移动，是x或y在变化而非ωx.4．运用整体代换的思想，令ωx＋φ＝t，借助y＝sint，y＝cost的图象和性质研究函数y＝sin(ωx＋φ)，y＝cos(ωx＋φ)的图象和性质．第1课时正弦函数、余弦函数的图象正弦曲线与余弦曲线及其画法函数y＝sinxy＝cosx图象图象画法五点法五点法-2-关键五点(0,0)，π2，1，(π，0)，32π，－1，(2π，0)(0,1)，π2，0，(π，－1)，32π，0，(2π，1)状元随笔1.关于正弦函数y＝sinx的图象(1)正弦函数y＝sinx，x∈[2kπ，2(k＋1)π]，k∈Z的图象与x∈[0,2π]上的图形一致，因为终边相同角的同名三角函数值相等．(2)正弦函数的图象向左、右无限延伸，可以由y＝sinx，x∈[0,2π]图象向左右平移得到(每次平移2π个单位)．2．“几何法”和“五点法”画正、余弦函数的比较(1)“几何法”就是利用单位圆中正弦线和余弦线作出正、余弦函数图象的方法.该方法作图较精确，但较为烦琐．(2)“五点法”是画三角函数图象的基本方法，在要求精度不高的情况下常用此法．提醒：作图象时，函数自变量要用弧度制，自变量与函数值均为实数，因此在x轴、y轴上可以统一单位，这样作出的图象正规便于应用．[小试身手]1．判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“五点法”作正、余弦函数的图象时的“五点”是指图象上的任意五点．()(2)正弦函数在－3π2，π2和π2，5π2上的图象相同．()(3)正弦函数、余弦函数的图象分别向左、右无限延伸．()答案：(1)×(2)√(3)√2．以下对正弦函数y＝sinx的图象描述不正确的是()A．在x∈[2kπ，2(k＋1)π](k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间C．关于x轴对称D．与y轴仅有一个交点解析：画出y＝sinx的图象，根据图象可知A，B，D三项都正确．答案：C3．下列图象中，是y＝－sinx在[0,2π]上的图象的是()解析：函数y＝－sinx的图象与函数y＝sinx的图象关于x轴对称，故选D.-3-答案：D4．用“五点法”作函数y＝cos2x，x∈R的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是________________．解析：令2x＝0，π2，π，3π2和2π，得x＝0，π4，π2，34π，π.答案：0，π4，π2，34π，π类型一用“五点法”作三角函数的图象例1用“五点法”作出下列函数的简图：(1)y＝sinx＋12，x∈[0,2π]；(2)y＝1－cosx，x∈[0,2π]．【解析】(1)按五个关键点列表：x0π2π3π22πsinx010－1012＋sinx123212－1212描点，并将它们用光滑的曲线连接起来．(如图)(2)列表：x0π2π3π22πcosx10－1011－cosx01210描点连线，其图象如图所示：-4-作函数图象需要先列表再描点，最后用平滑曲线连线．方法归纳作形如y＝asinx＋b(或y＝acosx＋b)，x∈[0,2π]的图象的三个步骤跟踪训练1画出函数y＝3＋2cosx的简图．解析：(1)列表，如下表所示x0π2π3π22πy＝cosx10－101y＝3＋2cosx53135(2)描点，连线，如图所示：利用五点作图法画简图．类型二正、余弦函数曲线的简单应用例2根据正弦曲线求满足sinx≥－32在[0,2π]上的x的取值范围．【解析】在同一坐标系内作出函数y＝sinx与y＝－32的图象，如图所示．-5-观察在一个闭区间[0,2π]内的情形，满足sinx≥－32的x∈0，43π∪53π，2π，所以满足sinx≥－32在[0,2π]上的x的范围是{x0≤x≤43π或5π3≤x≤2π}.或0，43π∪53π，2π在同一坐标系内作y＝sinx与y＝－32的图象，利用图象求x的范围.方法归纳利用三角函数图象解sinxa(或cosxa)的三个步骤(1)作出直线y＝a，y＝sinx(或y＝cosx)的图象．(2)确定sinx＝a(或cosx＝a)的x值．(3)确定sinxa(或cosxa)的解集．[注意]解三角不等式sinxa，如果不限定范围时，一般先利用图象求出x∈[0,2π]范围内x的取值范围，然后根据终边相同角的同名三角函数值相等，写出原不等式的解集．跟踪训练2根据余弦曲线求满足cosx≤12的x的取值范围．解析：作出余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为[π3＋2kπ，5π3＋2kπ]，k∈Z.在同一坐标内作y＝cosx与y＝12的图象，利用图象求x的范围.1.4.1-2.1-6-[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列对函数y＝cosx的图象描述错误的是()A．在[0,2π]和[4π，6π]上的图象形状相同，只是位置不同B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间C．关于x轴对称D．与y轴只有一个交点解析：观察余弦函数的图象知：y＝cosx关于y轴对称，故C错误．答案：C2．下列各点中，不在y＝sinx图象上的是()A．(0,0)B.π2，1C.3π2，－1D．(π，1)解析：y＝sinx图象上的点是(π，0)，而不是(π，1)．答案：D3．不等式sinx0，x∈[0,2π]的解集为()A．[0，π]B．(0，π)C.π2，3π2D.π2，3π2解析：由y＝sinx在[0,2π]的图象可得．答案：B4．点Mπ2，－m在函数y＝sinx的图象上，则m等于()A．0B．1C．－1D．2解析：点M在y＝sinx的图象上，代入得－m＝sinπ2＝1，∴m＝－1.答案：C5．在同一平面直角坐标系内，函数y＝sinx，x∈[0,2π]与y＝sinx，x∈[2π，4π]的图象()-7-A．重合B．形状相同，位置不同C．关于y轴对称D．形状不同，位置不同解析：根据正弦曲线的作法过程，可知函数y＝sinx，x∈[0,2π]与y＝sinx，x∈[2π，4π]的图象位置不同，但形状相同．答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)6．下列叙述正确的有________．(1)y＝sinx，x∈[0,2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称；(2)y＝cosx，x∈[0,2π]的图象关于直线x＝π成轴对称；(3)正弦、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围．解析：分别画出函数y＝sinx，x∈[0,2π]和y＝cosx，x∈[0,2π]的图象，由图象观察可知(1)(2)(3)均正确．答案：(1)(2)(3)7．关于三角函数的图象，有下列说法：(1)y＝sin|x|与y＝sinx的图象关于y轴对称；(2)y＝cos(－x)与y＝cos|x|的图象相同；(3)y＝|sinx|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称；(4)y＝cosx与y＝cos(－x)的图象关于y轴对称．其中正确的序号是________．解析：对(2)，y＝cos(－x)＝cosx，y＝cos|x|＝cosx，故其图象相同；对(4)，y＝cos(－x)＝cosx，故其图象关于y轴对称，由作图可知(1)(3)均不正确．答案：(2)(4)8．直线y＝12与函数y＝sinx，x∈[0,2π]的交点坐标是________．解析：令sinx＝12，则x＝2kπ＋π6或x＝2kπ＋56π，又∵x∈[0,2π]，故x＝π6或56π.答案：π6，12，56π，12三、解答题(每小题10分，共20分)9．利用“五点法”作出函数y＝1－sinx(0≤x≤2π)的简图．解析：(1)取值列表：x0π2π3π22πsinx010－10-8-1－sinx10121(2)10．根据y＝cosx的图象解不等式：－32≤cosx≤12，x∈[0,2π]．解析：函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象如图所示：根据图象可得不等式的解集为xπ3≤x≤5π6或7π6≤x≤5π3.[能力提升](20分钟，40分)11．已知函数y＝2cosx(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为()A．4B．8C．2πD．4π解析：依题意，由余弦函数图象关于点π2，0和点3π2，0成中心对称，可得y＝2cosx(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成的封闭图形的面积为2π×2＝4π.答案：D12．函数y＝2cosx－2的定义域是________．解析：要使函数有意义，只需2cosx－2≥0，即cosx≥22.由余弦函数图象知(如图)，-9-所求定义域为－π4＋2kπ，π4＋2kπ，k∈Z.答案：－π4＋2kπ，π4＋2kπ，k∈Z13．利用“五点法”作出y＝sinx－π2x∈π2，52π的图象．解析：列表如下：xπ2π3π22π52πsinx－π2010－10描点并用光滑的曲线连接起来．14．利用图象变换作出下列函数的简图：(1)y＝1－cosx，x∈[0,2π]；(2)y＝|sinx|，x∈[0,4π]．解析：(1)首先用“五点法”作出函数y＝cosx，x∈[0,2π]的简图，再作出y＝cosx，x∈[0,2π]的简图关于x轴对称的简图，即y＝－cosx，x∈[0,2π]的简图，将y＝－cosx，x∈[0,2π]的简图向上平移1个单位即可得到y＝1－cosx，x∈[0,2π]的简图，如图所示．(2)首先用“五点法”作出函数y＝sinx，x∈[0,4π]的简图，再将该简图在x轴下方的部分翻折到x轴的上方，即得到y＝|sinx|，x∈[0,4π]的简图，如图所示．-10-