2020版高考数学一轮复习 第五章 平面向量 第1讲 平面向量的概念及其线性运算教案 理（含解析）新

1第1讲平面向量的概念及其线性运算基础知识整合1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有□01方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的□02模．(2)零向量：长度为□030的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于□041个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或□05相反的非零向量，又叫共线向量．规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向□06相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向□07相反的向量．2．向量的线性运算23．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A1A2→＋A2A3→＋A3A4→＋…＋An－1An＝A1An→.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．2．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP→＝12(OA→＋OB→)．3.OA→＝λOB→＋μOC→(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.1．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析当a＋b＝0时，a＝－b，所以a∥b；当a∥b时，不一定有a＝－b，所以“a＋b＝0”是“a∥b”的充分不必要条件．故选A.2．(2019·嘉兴学科基础测试)在△ABC中，已知M是BC中点，设CB→＝a，CA→＝b，则AM→＝()A.12a－bB.12a＋bC．a－12bD．a＋12b答案A3解析AM→＝CM→－CA→＝12CB→－CA→＝12a－b.故选A.3．已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是()A．a＋b＝0B．a＝bC．a与b共线反向D．存在正实数λ，使a＝λb答案D解析因为a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则a与b共线同向，故D正确．4．已知向量i与j不共线，且AB→＝i＋mj，AD→＝ni＋j，若A，B，D三点共线，则实数m，n应该满足的条件是()A．m＋n＝1B．m＋n＝－1C．mn＝1D．mn＝－1答案C解析由A，B，D共线可设AB→＝λAD→，于是有i＋mj＝λ(ni＋j)＝λni＋λj.又i，j不共线，因此λn＝1，λ＝m，即有mn＝1.5．(2019·大同模拟)△ABC所在的平面内有一点P，满足PA→＋PB→＋PC→＝AB→，则△PBC与△ABC的面积之比是()A.13B.12C.23D.34答案C解析因为PA→＋PB→＋PC→＝AB→，所以PA→＋PB→＋PC→＝PB→－PA→，所以PC→＝－2PA→＝2AP→，即P是AC边的一个三等分点，且PC＝23AC，由三角形的面积公式可知，S△PBCS△ABC＝PCAC＝23.核心考向突破考向一平面向量的概念例1给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；③若A，B，C，D是不共线的四点，则AB→＝DC→，则ABCD为平行四边形；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；⑤已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中真命题的序号是________．4答案③解析①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．②错误，若b＝0，则a与c不一定共线．③正确，因为AB→＝DC→，所以|AB→|＝|DC→|且AB→∥DC→；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形．④错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．⑤错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．故填③.触类旁通平面向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆.非零向量a与a|a|的关系：a|a|是与a同方向的单位向量.即时训练1.设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是()A．0B．1C．2D．3答案D解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.故选D.考向二平面向量的线性运算角度1＝1.∴m＋n＝2.解法二：MN绕O旋转，当N与C重合时，M与B重合，此时m＝n＝1，∴m＋n＝2.5