2020版高考数学一轮复习 第一章 集合与简易逻辑 第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件教案 理

1第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件基础知识整合1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以□01判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做□02真命题，判断为假的语句叫做□03假命题．2．四种命题及其关系3．充分条件、必要条件与充要条件的概念1．两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．2．两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若AB，则p是q的充分不必要条件；2(5)若AB，则p是q的必要不充分条件；(6)若A⃘B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．1．(2019·江西模拟)若集合A＝{2,4}，B＝{1，m2}，则“A∩B＝{4}”是“m＝2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析当m＝2时，有A∩B＝{4}；若A∩B＝{4}，则m2＝4，解得m＝±2，不能推出m＝2.故选B.2．(2017·天津高考)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析∵2－x≥0，∴x≤2.∵|x－1|≤1，∴0≤x≤2.∵当x≤2时不一定有x≥0，当0≤x≤2时一定有x≤2，∴“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件．故选B.3．原命题p：“设a，b，c∈R，若ab，则ac2bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A．0B．1C．2D．4答案C解析当c＝0时，ac2＝bc2，所以原命题是错误的；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是错误的；逆命题为“设a，b，c∈R，若ac2bc2，则ab”，它是真命题；由于否命题与逆命题的真假一致，所以逆命题与否命题都为真命题．综上所述，真命题有2个．4．(2018·浙江高考)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析因为m⊄α，n⊂α，m∥n，所以根据线面平行的判定定理得m∥α.由m∥α不能得出m与α内任一直线平行，所以m∥n是m∥α的充分不必要条件，故选A.5．(2019·湖南模拟)a0，b0的一个必要条件为()A．a＋b0B．a－b0C.ab1D.ab－1答案A3解析若a0，b0，则一定有a＋b0，故选A.6．(2019·青岛模拟)已知集合A＝x122x8，x∈R，B＝{x|－1xm＋1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是________．答案(2，＋∞)解析A＝x122x8，x∈R＝{x|－1x3}，因为x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，所以m＋13即m2，所以实数m的取值范围是(2，＋∞)．核心考向突破考向一四种命题及其相互关系例1写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并分别判断四种命题的真假：(1)末位数字是0的多位数一定是5的倍数；(2)在△ABC中，若ABAC，则∠C∠B；(3)若x2－2x－30，则x－1或x3.解(1)原命题：若一个多位数的末位数字是0，则它是5的倍数．逆命题：若一个多位数是5的倍数，则它的末位数字是0.否命题：若一个多位数的末位数字不是0，则它不是5的倍数．逆否命题：若一个多位数不是5的倍数，则它的末位数字不是0.这里，原命题与逆否命题为真命题，逆命题与否命题是假命题．(2)逆命题：在△ABC中，若∠C∠B，则ABAC.否命题：在△ABC中，若AB≤AC，则∠C≤∠B.逆否命题：在△ABC中，若∠C≤∠B，则AB≤AC.这里，四种命题都是真命题．(3)逆命题：若x－1或x3，则x2－2x－30.否命题：若x2－2x－3≤0，则－1≤x≤3.逆否命题：若－1≤x≤3，则x2－2x－3≤0.这里，四种命题都是真命题．触类旁通写一个命题的其他三种命题时，不是“若p则q”形式的命题，需先改写.若命题有大前提，需保留大前提，本例中，大前提“在△ABC中”需保留.判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可.即时训练1.给出下列四个命题：①“若b＝3，则b2＝9”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若c≤1，则x2＋2x＋c＝0有实根”的逆命题；④“若A∪B＝A，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题的个数是()A．1B．24C．3D．4答案A解析①逆命题是“若b2＝9，则b＝3”，是假命题；②否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，是假命题；③逆命题是“若x2＋2x＋c＝0有实根，则c≤1”，∵方程x2＋2x＋c＝0有实根，∴Δ＝4－4c≥0，∴c≤1，∴③是真命题；④∵若A∪B＝A，则B⊆A，∴“若A∪B＝A，则A⊆B”是假命题，∴其逆否命题也是假命题．故选A.考向二充分、必要条件的判断角度1定义法判断充分、必要条件例2若f(x)是定义在R上的函数，则“f(0)＝0”是“函数f(x)为奇函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析f(x)是定义在R上的奇函数可以推出f(0)＝0，但f(0)＝0不能推出函数f(x)为奇函数，例如f(x)＝x2.故选B.角度2集合法判断充分、必要条件例3(2018·天津高考)设x∈R，则“x－1212”是“x31”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析x－1212⇒0x1，x31⇒x1，∵{x|0xx|x1}，∴x－1212是x31的充分不必要条件．角度3等价转化法判断充分、必要条件例4给定两个命题p，q.若綈p是q的必要不充分条件，则p是綈q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析因为綈p是q的必要不充分条件，则q⇒綈p但綈p⇒/q，其逆否命题为p⇒綈q但綈q⇒/p，所以p是綈q的充分不必要条件．触类旁通充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．集合法：根据p，q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断.等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断，这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件.即时训练2.(2018·安徽模拟)设条件p：a2＋a≠0，条件q：a≠0，那么p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件5C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析条件p：a2＋a≠0，即a≠0且a≠－1.故条件p：a2＋a≠0是条件q：a≠0的充分不必要条件．也可利用逆否命题的等价性解决．3．(2019·西安八校联考)在△ABC中，“AB→·BC→0”是“△ABC是钝角三角形”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析由AB→·BC→0，得BA→·BC→0，即cosB0，所以B90°，△ABC是钝角三角形；当△ABC为钝角三角形时，B不一定是钝角．所以“AB→·BC→0”是“△ABC是钝角三角形”的充分不必要条件．故选A.4．设甲：ax2＋2ax＋10的解集是实数集R；乙：0a1.则甲是乙成立的()A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案C解析当a＝0时，不等式ax2＋2ax＋10的解集是实数集R；当a≠0时，ax2＋2ax＋10的解集是实数集R⇔a0，Δ＝4a2－4a0⇒0a1，所以甲是乙成立的必要不充分条件，故选C.考向三充分、必要条件的探求与应用例5(1)(2019·惠州二调)“不等式x2－x＋m0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是()A．m14B．0m1C．m0D．m1答案C解析不等式x2－x＋m0在R上恒成立⇔1－4m0，得m14，在选项中只有“m0”是“不等式x2－x＋m0在R上恒成立”的必要不充分条件，故选C.(2)已知不等式|x－m|1成立的充分不必要条件是13x12，则m的取值范围是________．答案－12，43解析由|x－m|1得m－1x1＋m，6又因为|x－m|1成立的充分不必要条件是13x12，借助数轴，所以m－1≤13，m＋1≥12，解得－12≤m≤43.触类旁通条件、结论的相对性充分条件、必要条件是相对的概念，在进行判断时一定要注意哪个是“条件”，哪个是“结论”．要注意条件与结论间的推出方向．如“A是B的充分不必要条件”是指A⇒B但B⇒/A；“A的充分不必要条件是B”是指B⇒A但A⇒/B.以上两种说法在充要条件的推理判断中经常出现且容易混淆．即时训练5.(2019·武汉模拟)“a＋b2”的一个充分条件是()A．a1或b1B．a1且b1C．a1且b1D．a1或b1答案C解析对于A，a1或b1，不能保证a＋b2成立；对于B，a1且b1，不能保证a＋b2成立；对于C，a1且b1，由不等式的性质知，a＋b2，故C正确；对于D，a1或b1，不能保证a＋b2成立．故选C.6．已知“p：(x－m)23(x－m)”是“q：x2＋3x－40”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围为()A．(－∞，－7)∪(1，＋∞)B．(－∞，－7]∪[1，＋∞)C．(－7,1)D．[－7,1]答案B解析由(x－m)23(x－m)得xm或x3＋m，所以p：xm或x3＋m；解x2＋3x－40得－4x1，所以q：－4x1.因为p是q的必要不充分条件，所以m≥1或m＋3≤－4，得m≥1或m≤－7.故选B.