2020版高考数学一轮复习 第十一章 计数原理、概率、随机变量及分布列 第6讲 几何概型教案 理（含

1第6讲几何概型基础知识整合1．几何概型(1)几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的□01长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．(2)几何概型的两个基本特点2．几何概型的概率公式P(A)＝□04构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.几种常见的几何概型(1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关．(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题．(3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题．1．(2019·大连模拟)在长为6m的木棒上任取一点P，使点P到木棒两端点的距离都大于2m的概率是()A.14B.13C.12D.23答案B解析将木棒三等分，当P位于中间一段时，到两端A，B的距离都大于2m，∴P＝26＝13.2．(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切2圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()A.14B.π8C.12D.π4答案B解析不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，S正方形＝4.由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S黑＝S白＝12S圆＝π2，所以由几何概型知所求概率P＝S黑S正方形＝π24＝π8.故选B.3．(2019·衡水中学调研)已知正方体ABCD－A1B1C1D1内有一个内切球O，则在正方体ABCD－A1B1C1D1内任取点M，点M在球O内的概率是()A.π4B.π8C.π6D.π12答案C解析设正方体棱长为a，则正方体的体积为a3，内切球的体积为4π3×a23＝16πa3，故M在球O内的概率为16πa3a3＝π6.4．某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过3分钟的概率是________．答案35解析本题可以看成向区间[0,5]内均匀投点，设A＝{某乘客候车时间不超过3分钟}，则P(A)＝区间[2，5]的长度区间[0，5]的长度＝35.5．在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为56，则m＝________.答案3解析由题意知m0，当0m2时，－m≤x≤m，此时所求概率为m－－4－－＝56，解得3m＝52(舍去)；当2≤m4时，所求概率为m－－4－－＝56，解得m＝3；当m≥4时，概率为1，不符合题意，故m＝3.6．(2019·保定调研)在区间[－1,1]内随机取两个实数x，y，则满足y≥x－1的概率是________．答案78解析点(x，y)分布在如图所示的正方形区域内，画出x－y－1≤0表示的区域(图中阴影部分)，可知所求的概率为1－124＝78.核心考向突破考向一与长度有关的几何概型例1(1)(2019·上海模拟)在区间[－1,1]上随机取一个数k，则直线y＝k(x－2)与圆x2＋y2＝1有两个交点的概率为()A.29B.36C.13D.33答案D解析圆x2＋y2＝1的圆心为(0,0)，圆心到直线y＝k(x－2)的距离为|2k|k2＋1.要使直线y＝k(x－2)与圆x2＋y2＝1有两个交点，则需|2k|k2＋11，解得－33k33，所以在区间[－1,1]上随机取一个数k，使直线y＝k(x－2)与圆x2＋y2＝1有两个交点的概率P＝33－－331－－＝33.故选D.(2)(2017·江苏高考)记函数f(x)＝6＋x－x2的定义域为D.在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．答案594解析由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，∴D＝[－2,3]．如图，区间[－4,5]的长度为9，定义域D的长度为5，∴P＝59.触类旁通求解与长度有关的几何概型应注意的问题(1)求解几何概型问题，解题的突破口为弄清是长度之比、面积之比还是体积之比．求与长度有关的几何概型的概率的方法，是把题中所表示的几何模型转化为线段的长度，然后求解，应特别注意准确表示所确定的线段的长度.即时训练1.(2019·河南濮阳模拟)在[－6,9]内任取一个实数m，设f(x)＝－x2＋mx＋m，则函数f(x)的图象与x轴有公共点的概率等于()A.215B.715C.35D.1115答案D解析∵f(x)＝－x2＋mx＋m的图象与x轴有公共点，∴Δ＝m2＋4m≥0，∴m≤－4或m≥0，∴在[－6,9]内取一个实数m，函数f(x)的图象与x轴有公共点的概率P＝[－4－－＋－9－－＝1115.故选D.2．(2019·湖北武汉调研)在长为16cm的线段MN上任取一点P，以MP，NP的长为邻边的长作一矩形，则该矩形的面积大于60cm2的概率为()A.14B.12C.13D.34答案A解析设MP＝xcm,0x16，则NP＝(16－x)cm，由x(16－x)60，得6x10，所以所求概率为P＝416＝14.故选A.考向二与面积有关的几何概型角度1与平面图形面积有关的问题例2(2018·全国卷Ⅰ)右图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则()5A．p1＝p2B．p1＝p3C．p2＝p3D．p1＝p2＋p3答案A解析不妨取AB＝AC＝2，则BC＝22，所以区域Ⅰ的面积为S△ABC＝2；区域Ⅲ的面积为π－2；区域Ⅱ的面积为π－(π－2)＝2，所以根据几何概型的概率公式，易得p1＝p2.故选A.角度2与线性规划交汇的问题例3(2019·湖北联考)在区间[0,4]上随机取两个实数x，y，使得x＋2y≤8的概率为()A.14B.316C.619D.34答案D解析如图所示，0≤x≤4，0≤y≤4表示的平面区域为正方形OBCD及其内部，x＋2y≤8(x，y∈[0,4])表示的平面区域为图中阴影部分，所以所求概率P＝4×4－12×4×24×4＝34.故选D.角度3与定积分交汇的问题例4(2019·甘肃武威阶段考试)如图所示的阴影区域由x轴、直线x＝1及曲线y＝ex－1围成，现向矩形区域OABC内随机投掷一点，则该点落在非阴影区域的概率是()6A.1eB.1e－1C．1－1eD．1－1e－1答案B解析由题意，阴影部分的面积为01(ex－1)dx＝(ex－x)|10＝e－2，∵矩形区域OABC的面积为e－1，∴该点落在阴影区域的概率是e－2e－1，故该点落在非阴影区域的概率为1e－1.触类旁通求解与面积有关的几何概型的关键点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解．即时训练3.(2019·四川成都模拟)《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：已知直角三角形的两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步．现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是()A.3π10B.3π20C．1－3π10D．1－3π20答案D解析直角三角形的斜边长为82＋152＝17，设内切圆的半径为r，则8－r＋15－r＝17，解得r＝3.∴内切圆的面积为πr2＝9π，∴豆子落在内切圆外的概率P＝1－9π12×8×15＝1－3π20.4．(2019·四川宜宾模拟)向如图所示的边长为2的正方形区域内任投一点，则该点落入阴影部分的概率为________．7答案18解析由题意可知阴影部分的面积为201x3dx＝2×14x410＝12，所以所求概率为P＝122×2＝18.5．(2019·福建三明模拟)在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数，记为a，b，则方程x2a2－y2b2＝1表示离心率小于5的双曲线的概率为________．答案78解析∵双曲线的离心率小于5，∴1e5，∴1ca5，∴11＋b2a25，∴0b2a24，得b2a(a0，b0)．它对应的平面区域如图中阴影部分所示，根据几何概型概率公式，得所求概率为P＝12＋4×2＝78.考向三与体积有关的几何概型例5(1)(2019·厦门模拟)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD8的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为()A.π12B．1－π12C.π6D．1－π6答案B解析正方体的体积为2×2×2＝8，以O为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为12×43πr3＝12×43π×13＝2π3，则点P到点O的距离大于1的概率为1－2π38＝1－π12.故选B.(2)有一个底面半径为1，高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机抽取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．答案23解析圆柱的体积V柱＝πR2h＝2π，半球的体积V半球＝12×43πR3＝2π3.∴圆柱内一点P到点O的距离小于等于1的概率为13.∴点P到点O的距离大于1的概率为1－13＝23.触类旁通与体积有关的几何概型求法的关键点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．即时训练6.已知正三棱锥S－ABC的底面边长为4，高为3，则在正三棱锥内任取一点P，则点P满足V三棱锥P－ABC12V三棱锥S－ABC的概率是________．答案78解析设三棱锥P－ABC的高为h.由V三棱锥P－ABC12V三棱锥S－ABC，得13S△ABC·h12·13S△ABC·3，解得h32，即点P在三棱锥的中截面以下的空间．∴点P满足V三棱锥P－ABC12V三棱锥S－ABC的概率是P＝1－13·14S△ABC·3213S△ABC·3＝78.考向四与角度有关的几何概型例6(1)如图所示，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，则使得∠AOC和∠BOC都不小于15°的概率为()9A.14B.13C.12D.23答案D解析依题意可知∠AOC∈[15°，75°]，∠BOC∈[15°，75°]，故OC活动区域为与OA，OB构成的角均为15°的扇形区域，可求得该扇形圆心角为(90°－30°)＝60°.P(A)＝OC活动区域的圆心角度数∠AOB的度数＝60°90°＝23.(2)(2019·鞍山模拟)过等腰Rt△ABC的直角顶点C在∠ACB内部随机作一条射线，设射线与AB相交于点D，求ADAC的概率．解在AB上取一点E，使AE＝AC，连接CE(如图)，则当射线CD落在∠ACE内部时，ADAC.易知∠ACE＝67.5°，∴ADAC的概率P＝67.5°90°＝0.75.触类旁通与角度有关的几何概型的求解方法(1)若试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示，则其概率公式为P(A)＝构成事件A的区域角度试验的全部结果所构成区域的角度.解决此类问题时注意事件的全部结果构成的区域及所求事件的所有结果构成的区域，然后再利用公式计算.即时训练7.如图所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝3，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，求BM1的概率．10解因为∠B＝60°，∠C＝45°，所以∠BAC＝75°，在Rt△ABD中，AD＝3，∠B＝60°，所以BD＝ADtan60°＝1，∠BAD＝30°.记事件N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M，使BM1”，则可得∠BAM∠BAD时事件N发生．由几何概型的概率公式，得P(N)＝30°75°＝25.