2020版高考数学一轮复习 第十一章 计数原理、概率、随机变量及分布列 第9讲 离散型随机变量的均值

1第9讲离散型随机变量的均值、方差和正态分布基础知识整合1．离散型随机变量的均值与方差(1)若离散型随机变量X的分布列为①均值称E(X)＝□01x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或□02数学期望，它反映了离散型随机变量取值的□03平均水平．②方差称D(X)＝□04i＝1n[xi－E(X)]2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的□05平均偏离程度，其□06算术平方根DX为随机变量X的标准差．(2)均值与方差的性质①E(aX＋b)＝□07aE(X)＋b.②D(aX＋b)＝□08a2D(X)．(a，b为常数)③两点分布与二项分布的均值、方差2．正态分布(1)正态曲线的性质①曲线位于x轴□13上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线□14x＝μ对称；③曲线在□15x＝μ处达到峰值1σ2π；2④曲线与x轴之间的面积为□161；⑤当σ一定时，曲线随着□17μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ□18越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ□19越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．(2)正态分布的三个常用数据①P(μ－σX≤μ＋σ)＝□200.6826；②P(μ－2σX≤μ＋2σ)＝□210.9544；③P(μ－3σX≤μ＋3σ)＝□220.9974.1．E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定．随机变量X是可变的，可取不同的值，而E(X)是不变的，它描述X取值的平均状态．2．变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，其中标准差与随机变量本身具有相同的单位．3．方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负的．1．某街头小摊，在不下雨的日子一天可赚到100元，在下雨的日子每天要损失10元，若该地区每年下雨的日子约为130天，则此小摊每天获利的期望值是(一年按365天计算)()A．60.82元B．68.02元C．58.82元D．60.28元答案A解析E(ξ)＝100×235365＋(－10)×130365≈60.82，所以选A.2．(2019·海南海口模拟)已知随机变量X服从正态分布N(a,4)，且P(X1)＝0.5，P(X2)＝0.3，则P(X0)＝()A．0.2B．0.3C．0.7D．0.8答案B解析随机变量X服从正态分布N(a,4)，所以曲线关于x＝a对称，且P(Xa)＝0.5.由P(X1)＝0.5，可知a＝1，所以P(X0)＝P(X2)＝0.3.故选B.33．(2019·广西名校联考)设整数m是从不等式x2－2x－8≤0的整数解的集合S中随机抽取的一个元素，记随机变量ξ＝m2，则ξ的数学期望E(ξ)＝()A．1B．5C．2D.167答案B解析由x2－2x－8≤0得－2≤x≤4，∴S＝{－2，－1,0,1,2,3,4}，∵ξ＝m2，∴ξ可取的值分别为0,1,4,9,16，相应的概率分别为17，27，27，17，17，∴ξ的数学期望E(ξ)＝0×17＋1×27＋4×27＋9×17＋16×17＝5.故选B.4．(2019·孝感模拟)已知袋中有3个白球、2个红球，现从中随机取出3个球，其中取出1个白球计1分，取出1个红球计2分，记X为取出3个球的总分值，则E(X)＝()A.185B.215C．4D.245答案B解析由题意知，X的所有可能取值为3,4,5，且P(X＝3)＝C33C35＝110，P(X＝4)＝C23·C12C35＝35，P(X＝5)＝C13·C22C35＝310，所以E(X)＝3×110＋4×35＋5×310＝215.5．一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分，没有击中记0分．某人每次击中目标的概率为23，则此人得分的数学期望与方差分别为________．答案20，2003解析记此人三次射击击中目标X次，得分为Y分，则X～B3，23，Y＝10X，∴E(Y)＝10E(X)＝10×3×23＝20，D(Y)＝100D(X)＝100×3×23×13＝2003.6．已知离散型随机变量X的分布列如下表.若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________.答案512144解析由EX0，DX1，∑Pi＝1⇒－a＋c＋16＝0，a＋c＋13＝1，a＋b＋c＋112＝1⇒a＝512，b＝14，c＝14.核心考向突破考向一离散型随机变量的均值与方差角度1.