2020版高考数学一轮复习 第六章 数列 第1讲 数列的概念与简单表示法教案 理（含解析）新人教A版

1第1讲数列的概念与简单表示法基础知识整合1．数列的定义按照□01一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的□02项．2．数列的分类3．数列的表示法数列有三种常见表示法，它们分别是□07列表法、□08图象法和□09解析法．4．数列的通项公式如果数列{an}的第n项与□10序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．1．若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.2．在数列{an}中，若an最大，则an≥an－1，an≥an＋1.若an最小，则an≤an－1，an≤an＋1.3．数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变2量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．1．在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则a3a5的值是()A.1516B.158C.34D.38答案C解析由已知得a2＝1＋(－1)2＝2，∴2a3＝2＋(－1)3，a3＝12，∴12a4＝12＋(－1)4，a4＝3，∴3a5＝3＋(－1)5，∴a5＝23，∴a3a5＝12×32＝34.故选C.2．(2019·湖南三市联考)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝－3，若a4＝32，则a1的值为()A.12B.14C.18D.116答案A解析∵Sn＝－3，a4＝32，∴S4－S3＝255a13－63a13＝32，∴a1＝12.选A.3．在数列{an}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n∈N都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5＝()A.6116B.259C.2516D.3115答案A解析当n≥2时，a1·a2·a3·…·an＝n2.当n≥3时，a1·a2·a3·…·an－1＝(n－1)2.两式相除得an＝nn－12，∴a3＝94，a5＝2516.∴a3＋a5＝6116.故选A.4．在数列{an}中，若a1＝2，an＝11－an－1(n≥2，n∈N*)，则a8＝()A．－1B．1C.12D．2答案A3解析因为a1＝2，an＝11－an－1(n≥2，n∈N*)，所以a2＝11－2＝－1，a3＝11－－＝12，a4＝11－12＝2，所以{an}是周期数列，周期是3，所以a8＝a2＝－1.5．已知数列32，54，76，9m－n，m＋n10，…，根据前3项给出的规律，实数对(m，n)为________．答案192，32解析由数列的前3项的规律可知m－n＝8，m＋n＝11，解得m＝192，n＝32，故实数对(m，n)为192，32.6．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋1＋，则数列an＝________.答案3－1n解析由题意，得an＋1－an＝1＋＝1n－1n＋1，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝1n－1－1n＋1n－2－1n－1＋…＋12－13＋1－12＋2＝3－1n.核心考向突破考向一利用an与Sn的关系求通项公式例1(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则an＝________.答案4，n＝1，2×3n－1，n≥2解析当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2×3n－1.当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，所以an＝4，n＝1，2×3n－1，n≥2.(2)(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝2an＋1，则S6＝________.答案－63解析根据Sn＝2an＋1，可得Sn＋1＝2an＋1＋1，两式相减得an＋1＝2an＋1－2an，即an＋1＝2an，当n＝1时，S1＝a1＝2a1＋1，解得a1＝－1，所以数列{an}是以－1为首项，以2为公比的等4比数列，所以S6＝－－1－2＝－63.触类旁通Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．①利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．②利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．即时训练1.(2019·宁夏模拟)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.答案－1n解析∵an＋1＝Sn＋1－Sn，∴Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn，又由a1＝－1，知Sn≠0，∴1Sn－1Sn＋1＝1，∴1Sn是等差数列，且公差为－1，而1S1＝1a1＝－1，∴1Sn＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－1n.2．(2018·石家庄质检)设数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________.答案1121解析解法一：由a1＋a2＝4，a2＝2a1＋1，解得a1＝1.由an＋1＝Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，得Sn＋1＝3Sn＋1，所以Sn＋1＋12＝3Sn＋12，所以Sn＋12是以32为首项，3为公比的等比数列，所以Sn＋12＝32×3n－1，即Sn＝3n－12，所以S5＝121.解法二：由a1＋a2＝4，a2＝2a1＋1，解得a1＝1，a2＝3，又an＋1＝2Sn＋1，an＋2＝2Sn＋1＋1，两式相减得an＋2－an＋1＝2an＋1，即an＋2an＋1＝3，又a2a1＝3，∴{an}是首项为1，公比为3的等比数列，∴an＋1＝3n，∴Sn＝3n－12，∴S5＝121.考向二由递推关系求数列的通项公式例2分别求出满足下列条件的数列的通项公式．(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)；(2)a1＝1，an＝nn－1an－1(n≥2，n∈N*)；(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)；(4)a1＝－2，an＋1＝3an＋6(n∈N*)．5解(1)an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝0＋1＋3＋…＋(2n－5)＋(2n－3)＝(n－1)2，所以数列的通项公式为an＝(n－1)2.(2)当n≥2，n∈N*时，an＝a1×a2a1×a3a2×…×anan－1＝1×21×32×…×n－2n－3×n－1n－2×nn－1＝n，当n＝1时，也符合上式，所以该数列的通项公式为an＝n.(3)因为an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1)，所以an＋1＋1an＋1＝3，所以数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，又a1＋1＝2，所以an＋1＝2·3n－1，所以该数列的通项公式为an＝2·3n－1－1.(4)∵an＋1＝3an＋6，∴an＋1＋3＝3(an＋3)，又a1＝－2，∴a1＋3＝1，∴{an＋3}是首项为1，公比为3的等比数列，∴an＋3＝3n－1，∴an＝3n－1－3.触类旁通由递推关系式求通项公式的常用方法(1)已知a1且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an.已知a1且anan－1＝，可用“累乘法”求an.(3)已知a1且an＋1＝qan＋b，则an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为等比数列{an＋k}．形如an＋1＝AanBan＋CA，B，C为常数的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.即时训练3.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2anan＋2(n∈N*)，则14是这个数列的()A．第6项B．第7项C．第8项D．第9项答案B解析由an＋1＝2anan＋2可得1an＋1＝1an＋12，即数列1an是以1a1＝1为首项，12为公差的等差数列，故1an＝1＋(n－1)×12＝12n＋12，即an＝2n＋1，由2n＋1＝14，解得n＝7.故选B.4．若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋2n，则数列an＝________.答案2n－1解析由题意知an＋1－an＝2n，6an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n－1.5．在数列{an}中，a1＝4，nan＋1＝(n＋2)an，则数列an＝________.答案2n(n＋1)(n∈N*)解析由递推关系得an＋1an＝n＋2n，又a1＝4，∴an＝anan－1·an－1an－2·…·a3a2·a2a1·a1＝n＋1n－1×nn－2×n－1n－3×…×42×31×4＝＋2×1×4＝2n(n＋1)(n∈N*)．考向三数列的性质角度16，∴－10a－8.故a的取值范围为(－10，－8)．