2020版高考数学一轮复习 第二章 函数与基本初等函数 第8讲 函数与方程教案 理（含解析）新人教A

1第8讲函数与方程基础知识整合1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈区间D)，把使□01f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈区间D)的零点．(2)三个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与□02x轴有交点⇔函数y＝f(x)有□03零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有□04f(a)·f(b)0，那么，函数y＝f(x)在区间□05(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得□06f(c)＝0，这个□07c也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与零点的关系有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．1．已知实数a1,0b1，则函数f(x)＝ax＋x－b的零点所在的区间是()A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)2答案B解析因为a1,0b1，f(x)＝ax＋x－b，所以f(－1)＝1a－1－b0，f(0)＝1－b0，由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1,0)上存在零点．2．函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A．(1,3)B．(1,2)C．(0,3)D．(0,2)答案C解析因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则由题意得f(1)·f(2)＝(0－a)(3－a)0，解得0a3.故选C.3．(2019·河南郑州模拟)函数f(x)＝|x－2|－lnx在定义域内的零点的个数为()A．0B．1C．2D．3答案C解析作出函数y＝|x－2|与g(x)＝lnx的图象，如图所示．由图象可知两个函数的图象有两个交点，即函数f(x)在定义域内有2个零点．故选C.4．(2019·金华模拟)函数f(x)＝lnx－2x的零点所在的大致区间是()A．(1,2)B．(2,3)C．(1，e)和(3,4)D．(e，＋∞)答案B解析因为f′(x)＝1x＋2x20(x0)，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(3)＝ln3－230，f(2)＝ln2－10，所以f(2)·f(3)0，所以函数f(x)唯一的零点在区间(2,3)内．故选B.5．已知函数f(x)＝2x－1，x≤1，1＋log2x，x1，则函数f(x)的零点为()A.12，0B．－2,0C.12D．0答案D3解析当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝12，又因为x1，所以此时方程无解．综上，函数f(x)的零点只有0.6．(2019·泉州模拟)已知函数f(x)＝＋，x0，－x2－2x，x≤0，若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．答案(0,1)解析函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，转化为f(x)－m＝0的根有3个，进而转化为y＝f(x)，y＝m的交点有3个．画出函数y＝f(x)的图象，则直线y＝m与其有3个公共点．又抛物线的顶点为(－1,1)，由图可知实数m的取值范围是(0,1)．核心考向突破考向一函数零点所在区间的判断例1(1)(2019·扬州模拟)设函数y＝x2与y＝12x－2的图象交点为(x0，y0)，则x0所在区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)答案B解析因函数y＝x2与y＝12x－2的图象交点为(x0，y0)，则x0是方程x2＝12x－2的解，也是函数f(x)＝x2－12x－2的零点．∵函数f(x)单调递增，f(2)＝22－1＝30，f(1)＝1－2＝－10，∴f(1)·f(2)0.由零点存在性定理可知，方程的解在(1,2)内．故选B.(2)(2019·包头模拟)已知函数f(x)＝lnx＋3x－8的零点x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N*，则a＋b＝()A．0B．2C．5D．7答案C解析∵f(2)＝ln2＋6－8＝ln2－20，f(3)＝ln3＋9－8＝ln3＋10，且函数f(x)＝lnx＋3x－8在(0，＋∞)上为单调递增函数，∴x0∈[2,3]，即a＝2，b＝3，∴a＋b＝5.触类旁通判断函数零点(方程的根)所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上．定理法：利用零点存在性定理进行判断.4(3)数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断．即时训练1.(2018·南昌调研)函数f(x)＝2x＋ln1x－1的零点所在的大致区间是()A．(1,2)B．(2,3)C．(3,4)D．(4,5)答案B解析易知f(x)＝2x＋ln1x－1＝2x－ln(x－1)在(1，＋∞)上单调递减且连续，当1x2时，ln(x－1)0，2x0，所以f(x)0，故函数f(x)在(1,2)上没有零点．f(2)＝1－ln1＝1，f(3)＝23－ln2＝2－3ln23＝2－ln83，8＝22≈2.828e，所以8e2，即ln82，所以f(3)0.所以f(x)的零点所在的大致区间是(2,3)，故选B.2．在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为()A.－14，0B.0，14C.14，12D.12，34答案C解析因为f(x)＝ex＋4x－3，所以f′(x)＝ex＋40.所以f(x)在其定义域上是单调递增函数．因为f－14＝e－14－40，f(0)＝－20，f14＝e14－20，f12＝e12－10，所以f14·f120，所以f(x)的零点所在区间为14，12.故选C.考向二函数零点个数的讨论例2(1)(2019·福州期末)已知函数f(x)＝x2－2x，x≤0，1＋1x，x0，则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是()A．0B．1C．2D．3答案C5解析令f(x)＋3x＝0，则x≤0，x2－2x＋3x＝0或x0，1＋1x＋3x＝0，解得x＝0或x＝－1，所以函数y＝f(x)＋3x的零点个数是2.故选C.(2)(2019·南昌模拟)已知函数y＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1,1]时，f(x)＝2|x|－1，则函数F(x)＝f(x)－|lgx|的零点个数是()A．9B．10C．11D．18答案B解析在同一平面直角坐标系内作出函数y＝f(x)与y＝|lgx|的大致图象如图，由图象可知，它们共有10个不同的交点，因此函数F(x)＝f(x)－|lgx|的零点个数是10.故选B.触类旁通确定函数零点个数的方法及思路(1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且fafb，还必须结合函数的图象与性质如单调性、奇偶性、周期性、对称性才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质.数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.即时训练3.(2019·乐山模拟)函数f(x)＝x2－12|x|的零点个数为()A．0B．1C．2D．3答案C解析由f(x)＝x2－12|x|，得f(－x)＝(－x)2－12|－x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，又f(0)·f(1)0，∴f(x)在(0，＋∞)上有且仅有1个零点．∴函数f(x)的零点个数为2，故选C.4．(2018·大连模拟)函数f(x)＝(x＋1)lnx－1的零点有()A．0个B．1个C．2个D．3个答案B6解析由f(x)＝(x＋1)lnx－1＝0，得lnx＝1x＋1，作出函数y＝lnx，y＝1x＋1的图象如图，由图象可知交点个数为1，即函数的零点个数为1，选B.考向三函数零点的应用角度1利用零点比较大小例3(1)(2019·承德模拟)已知a是函数f(x)＝2x－log12x的零点，若0x0a，则f(x0)的值满足()A．f(x0)＝0B．f(x0)0C．f(x0)0D．f(x0)的符号不确定答案C解析在同一平面直角坐标系中作出函数y＝2x，y＝log12x的图象，由图象可知，当0x0a时，有2x0log12x0，即f(x0)0.(2)已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋lnx，h(x)＝x－x－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是()A．x2x1x3B．x1x2x3C．x1x3x2D．x3x2x1答案B解析令y1＝2x，y2＝lnx，y3＝－x－1，因为函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋lnx，7h(x)＝x－x－1的零点分别为x1，x2，x3，则y1＝2x，y2＝lnx，y3＝－x－1的图象与y＝－x的交点的横坐标分别为x1，x2，x3，在同一平面直角坐标系内分别作出函数y1＝2x，y2＝lnx，y3＝－x－1及y＝－x的图象如图，结合图象可得x1x2x3，故选B.触类旁通在同一平面直角坐标系内准确作出已知函数的图象，数形结合，对图象进行分析，找出零点的范围，进行大小比较.即时训练5.(2019·广东七校联考)已知函数f(x)＝15x－log3x，若实数x0是方程f(x)＝0的解，且x0x1，则f(x1)的值()A．恒为负B．等于零C．恒为正D．不大于零答案A解析由于函数f(x)＝15x－log3x在定义域内是减函数，于是，若f(x0)＝0，当x0x1时，一定有f(x1)0.故选A.6．(2018·武汉调研)已知x0是函数f(x)＝2x＋11－x的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则()A．f(x1)0，f(x2)0B．f(x1)0，f(x2)0C．f(x1)0，f(x2)0D．f(x1)0，f(x2)0答案B解析在同一平面直角坐标系内作出函数y＝2x和函数y＝1x－1的图象，如图所示．由图象可知函数y＝2x和函数y＝1x－1的图象只有一个交点，即函数f(x)＝2x＋11－x只有一个零点x0，且x01.因为x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则由函数图象可知，f(x1)0，f(x2)0.角度2由函数零点存在情况或个数求参数范围例4(1)(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ex，x≤0，lnx，x0，g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A．[－1,0)B．[0，＋∞)C．[－1，＋∞)D．[1，＋∞)答案C解析作出函数f(x)的图象，再作出直线y＝－x并上下移动，可以发现当直线过点A8时，直线与函数f(x)的图象有两个交点，并且向下无限移动，都可以保证直线与函数f(x)的图象有两个交点，即方程f(x)＝－x－a有两个解，也就是函数g(x)有两个零点，此时满足－a≤1，即a≥－1，故选C.(2)若函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，则实数a的取值范围是________．答案－14，2解析因为函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，所以方程4x－2x－a＝0在[－1,1]上有解，即方程a＝4x－2x在[－1,1]上有解．方程a＝4x－2x可变形为a＝2x－122－14，因为x∈[－1,1]，所以2x∈12，2，所以2x－122－