2020版高考数学一轮复习 第二章 函数与基本初等函数 第1讲 函数及其表示教案 理（含解析）新人教

1第1讲函数及其表示基础知识整合1．函数与映射的概念2．函数的三要素函数由定义域、□07对应关系和值域三个要素构成，对函数y＝f(x)，x∈A，其中(1)定义域：□08自变量x的取值构成的集合；(2)值域：函数值的集合□09{f(x)|x∈A}．3．函数的表示法表示函数的常用方法有：□10解析法、□11列表法、□12图象法．4．分段函数若函数在定义域的不同子集上，因□13对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．1．函数问题允许多对一，但不允许一对多．与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．2．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．3．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．21．集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数的是()A．f：x→y＝12xB．f：x→y＝13xC．f：x→y＝23xD．f：x→y＝x答案C解析依据函数的概念，集合A中任一元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，故选项C不符合．2．(2019·怀柔月考)已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R)．若f[g(1)]＝1，则a＝()A．1B．2C．3D．－1答案A解析因为g(x)＝ax2－x，所以g(1)＝a－1.因为f(x)＝5|x|，所以f[g(1)]＝f(a－1)＝5|a－1|＝1，所以|a－1|＝0，所以a＝1.故选A.3．已知f(x)＝2x，x0，＋，x≤0，则f43＋f－43的值等于()A．－2B．4C．2D．－4答案B解析由题意得f43＝2×43＝83.f－43＝f－13＝f23＝2×23＝43.所以f43＋f－43＝4.4．(2018·江苏高考)函数f(x)＝log2x－1的定义域为________．答案[2，＋∞)解析由log2x－1≥0得x≥2，所以函数的定义域为[2，＋∞)．5．(2019·南京模拟)已知函数f(x)＝x2＋1，x≤0，－－，x0，则不等式f(x)≥－1的解集是________．答案{x|－4≤x≤2}解析当x≤0时，由题意得x2＋1≥－1，解得－4≤x≤0.当x0时，由题意得－(x－1)2≥－1，解得0x≤2.综上，f(x)≥－1的解集为{x|－4≤x≤2}．6．已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y＝f(x)的定义域为________．答案[－1,2]解析∵y＝f(x2－1)的定义域为[－3，3]，∴x∈[－3，3]，x2－1∈[－1,2]，∴y＝f(x)的定义域为[－1,2]．3核心考向突破考向一函数的定义域角度1求具体函数的定义域例1(1)函数f(x)＝(x－2)0＋23x＋1的定义域是()A.－13，＋∞B.－∞，－13C．(－∞，＋∞)D.－13，2∪(2，＋∞)答案D解析要使函数f(x)有意义，只需x≠2，3x＋10，所以x－13且x≠2，所以函数f(x)的定义域是－13，2∪(2，＋∞)，故选D.(2)(2019·广东深圳模拟)函数y＝－x2－x＋2lnx的定义域为()A．(－2,1)B．[－2,1]C．(0,1)D．(0,1]答案C解析由题意得－x2－x＋2≥0，x0，lnx≠0，解得0x1，故选C.触类旁通已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式组，得出不等式组的解集即可.即时训练1.(2019·厦门模拟)函数f(x)＝2x＋12x2－x－1的定义域是()A.xx≠－12B.xx－12C.xx≠－12且x≠1D.xx－12且x≠1答案D解析由题意得2x＋1≥0，2x2－x－1≠0，解得x－12且x≠1.故选D.42．(2019·郑州调研)函数f(x)＝lnxx－1＋x12的定义域为()A．(0，＋∞)B．(1，＋∞)C．(0,1)D．(0,1)∪(1，＋∞)答案B解析要使函数f(x)有意义，应满足xx－10，x≥0，解得x1，故函数f(x)＝lnxx－1＋x12的定义域为(1，＋∞)．故选B.角度2求抽象函数的定义域例2(1)(2019·福州模拟)已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数g(x)＝fx2＋f(x－1)的定义域为()A．(－2,0)B．(－2,2)C．(0,2)D.－12，0答案C解析由题意得－1x21，－1x－11，∴－2x2，0x2，∴0x2，∴函数g(x)＝fx2＋f(x－1)的定义域为(0,2)，故选C.(2)若函数y＝f(x)的定义域是[1,2019]，则函数g(x)＝＋x－1的定义域是________．答案{x|0≤x≤2018，且x≠1}解析因为y＝f(x)的定义域为[1,2019]，所以要使g(x)有意义，应满足1≤x＋1≤2019，x－1≠0.所以0≤x≤2018，且x≠1.因此g(x)的定义域为{x|0≤x≤2018，且x≠1}．触类旁通对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出．若已知函数f[gx的定义域为[a，b]，则fx的定义域为gx在x∈[a，b]上的值域.即时训练3.已知函数y＝f(x＋1)的定义域是[－2,3]，则y＝f(2x－1)的定义域为5()A．[－3,7]B．[－1,4]C．[－5,5]D.0，52答案D解析因为y＝f(x＋1)的定义域为[－2,3]，所以－1≤x＋1≤4.由－1≤2x－1≤4，得0≤x≤52，即y＝f(2x－1)的定义域为0，52.4．(2019·重庆模拟)已知函数f(x)＝ln(－x－x2)，则函数f(2x＋1)的定义域为________．答案－1，－12解析由题意知，－x－x20，∴－1x0，即f(x)的定义域为(－1,0)．∴－12x＋10，则－1x－12.角度3已知定义域求参数范围例3(1)(2019·银川模拟)若函数y＝ax＋1ax2－4ax＋2的定义域为R，则实数a的取值范围是()A.0，12B.0，12C.0，12D.0，12答案D解析要使函数的定义域为R，则ax2－4ax＋20恒成立．①当a＝0时，不等式为20，恒成立；②当a≠0时，要使不等式恒成立，则a0，Δ＝－－4·a·20，即a0，－，解得0a12.由①②得0≤a12.故选D.(2)(2018·石家庄模拟)设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1＜x＜4的一切x值都有f(x)＞0，则实数a的取值范围为________．答案12，＋∞解析由f(x)＞0，即ax2－2x＋2＞0，x∈(1,4)，得a＞－2x2＋2x在x∈(1,4)上恒成立．令g(x)＝－2x2＋2x＝－21x－122＋12，1x∈14，1，所以g(x)max＝g(2)＝12，6所以要使f(x)＞0在(1,4)上恒成立，只要a＞12即可．触类旁通已知函数定义域求参数的思想方法已知函数的定义域，逆向求解函数中参数的取值，需运用分类讨论以及转化与化归的思想方法．转化与化归的思想方法是通过某种转化过程，将一个难以解决的问题转化为一个已经解决或者比较容易解决的问题，从而获解．即时训练5.若函数y＝12x2－2x＋4的定义域、值域都是[2,2b](b1)，则()A．b＝2B．b≥2C．b∈(1,2)D．b∈(2，＋∞)答案A解析∵函数y＝12x2－2x＋4＝12(x－2)2＋2，其图象的对称轴为直线x＝2，∴在定义域[2,2b]上，y为增函数．当x＝2时，y＝2；当x＝2b时，y＝2b.故2b＝12×(2b)2－2×2b＋4，即b2－3b＋2＝0，得b1＝2，b2＝1.又∵b1，∴b＝2.6．若函数f(x)＝2x2＋2ax－a－1的定义域为R，则a的取值范围为________．答案[－1,0]解析因为函数f(x)的定义域为R，所以2x2＋2ax－a－1≥0对x∈R恒成立，则x2＋2ax－a≥0恒成立．因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.考向二求函数的解析式例4(1)已知f(x＋1)＝x＋2x，则f(x)＝________.答案x2－1(x≥1)解析(换元法)令x＋1＝t，则x＝(t－1)2(t≥1)，代入原式得f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，所以f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝________.答案2x＋7解析(待定系数法)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝ax＋5a＋b，所以ax＋5a＋b＝2x＋17对任意实数x都成立，所以a＝2，5a＋b＝17，解得a＝2，b＝7.所以f(x)＝2x＋7.(3)已知fx＋1x＝x2＋1x2，则f(x)＝________.答案x2－2(x≥2或x≤－2)7解析(配凑法)fx＋1x＝x2＋1x2＝x2＋2＋1x2－2＝x＋1x2－2，所以f(x)＝x2－2(x≥2或x≤－2)．(4)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f1x·x－1，则f(x)＝________.答案23x＋13解析(消去法)在f(x)＝2f1x·x－1中，将x换成1x，则1x换成x，得f1x＝2f(x)·1x－1，由＝2f1x·x－1，f1x＝1x－1，解得f(x)＝23x＋13.触类旁通函数解析式的求法(1)待定系数法：已知函数的类型，可用待定系数法．换元法：已知复合函数f[gx的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.消去法：已知关于fx与f1x[或f－x的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，两等式组成方程组，通过解方程组求出fx配凑法：由已知条件f[gx＝Fx，可将Fx改写成关于gx的解析式，然后以x替代gx，便得fx的解析式.即时训练7.已知f(x)＋3f(－x)＝2x＋1，则f(x)＝________.答案－x＋14解析由已知得f(－x)＋3f(x)＝－2x＋1，解方程组＋－＝2x＋1，－＋＝－2x＋1，得f(x)＝－x＋14.8．已知f2x＋1＝lgx，则f(x)的解析式为________．答案f(x)＝lg2x－1(x1)解析令2x＋1＝t，由于x0，8所以t1且x＝2t－1，所以f(t)＝lg2t－1，即f(x)＝lg2x－1(x1)．9．若f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，则f(x)的解析式为________．答案f(x)＝x2－x＋3解析设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，又f(0)＝c＝3.所以f(x)＝ax2＋bx＋3，所以f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.所以4a＝4，4a＋2b＝2，所以a＝1，b＝－1，所以所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋3.考向三分段函数例5(1)(2017·山东高考)设f(x)＝x，0x1，－，x≥1.若f(a)＝f(a＋1)，则f1a＝()A．2