2020年高考数学一轮复习 考点22 正弦定理和余弦定理必刷题 理（含解析）

1考点22正弦定理和余弦定理1．（山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷数学理）设锐角三角形ABC的内角,,ABC所对的边分别为,,abc，若2,2aBA，则b的取值范围为（）A．(0,4)B．(2,23)C．(22,23)D．(22,4)【答案】C【解析】由锐角三角形ABC的内角,,ABC所对的边分别为,,abc，若2,2aBA，022A，3ABA,32A63A，04A23cos22A2,2aBA,由正弦定理得12cos2bbAa，即4cosbA224cos23A则b的取值范围为(22,23),故选C.2．（山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理科）在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若ABC的面为S，且2243Sabc，则sin4C（）A．1B．22C．624D．624【答案】D【解析】由2243Sabc，2得222143sin22abCabcab，∵2222cosabcabC，∴23sin2cos2abCabCab，即3sincos1CC即2sin16C，则1sin62C，∵0C，∴5666C，∴66C，即3C，则sinsinsincoscossin4343434C32126222224，故选：D．3．（辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试理科二）在ABC中，1cos3A，2AB，3BC，则ABC的面积为（）A．1B．2C．12xxD．32【答案】C【解析】由余弦定理可知2222cosBCABACABACA234150ACAC3AC，因为1cos3A，所以22sin1cos23AA，因此1sin222ABCSABACA，故本题选C.4．（广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试数学理）在ABC△中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，BC边上的高为2a，则22bccb的最大值是_____．【答案】2【解析】3因为BC边上的高为2a，所以11sin222aabcA，即22sinabcA，可得2222cos2222bcbcabcAcbbcbc2sin2ccossincos2bcAbAAAbc2sin24A，故22bccb的最大值是2．故答案为2．5．（江苏省南通市2019届高三适应性考试）在ABC中，已知AB边上的中线1CM，且1tanA，1tanC，1tanB成等差数列，则AB的长为________.【答案】233【解析】因为1tanA，1tanC，1tanB成等差数列，所以211tantantanCAB，即2coscoscossin()sinsinsinsinsinsinsinsinCABABCCABABAB，所以2sin2cossinsinCCAB，由正弦定理可得2cos2cCab，又由余弦定理可得222cos2abcCab，所以222222abccabab，故2222abc，又因为AB边上的中线1CM，所以1CM，因为12CMCACB，所以22222422cosCMCACBCACBCACBCACBC，即22224232cbaabcab，解233c.即AB的长为233.4故答案为233．6．（浙江省金华十校2019届第二学期高考模拟考试）在ABC中，A，B，C内角所对的边分别为a，b，c，已知2b且coscos4sinsincBbCaBC，则c的最小值为_____．【答案】12【解析】∵ccoscos4sinsinBbCaBC，∴sincossincos4sinsinsinCBBCABC，∴sin()sin4sinsinsinBCAABC，∵sin0A，∴1sinsin4BC，∴1sin4sinCB，由正弦定理可得sinsinbcBC，即2sin28sinsinCcCB，当sin1B时，minsinC14.当1sin4C时，则c的最小值为12．故答案为：12.7．（江西省鹰潭市2019届高三第一次模拟考试理）设VABC的三个内角,,ABC的对边分别是,,abc，若26a，6b，1cos2B，那么角C的大小为__________．【答案】12【解析】1cos2B，B为钝角，可得23B，3sin2B．由正弦定理266sin32A，可得2sin2A．A为锐角，4A．24312CAB．8．（贵州省2019届高三高考教学质量测评卷八数学理）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中最大的角等于另外两个角的和，当最长边1c时，ABC周长的最大值为_______.5【答案】21【解析】依题意，CAB，结合三角形的内角和定理，所以2AB，设ABC的外接圆半径为R，则12R，于是2(sinsin)sinsinabRABABsincos2sin4AAA，当4A时，ab取最大值为2，所以周长的最大值为21.9．（北京市通州区2019届高三4月第一次模拟考试）在ABC△中，3cos5A,42a，5b，则c__________．【答案】7【解析】由3cos,42,55Aab，代入2222cosabcbcA，得233225255cc，即：2670cc解得7.(1cc舍去）故答案为：7．10．（安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷）在ABC中，23BAC，已知BC边上的中线3AD，则ABC面积的最大值为__________．【答案】93.【解析】在△ABC中，23BAC，BC边上的中线AD=3，1()2ADABAC，设AB＝c，AC＝b，平方可得9＝222211222cos434cbABACcbcb.化简可得，22362cbbcbcbcbc，∴bc≤36，当且仅当bc时成立，故△ABC的面积S＝1213sin36932322bc„故答案为：93611．（四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试）ABC的内角,,ABC所对的边,,abc成等比数列，则cosB的最小值为_____.【答案】12【解析】因为,,abc成等比数列，所以2bac22222cos22acbacacBacac，由基本不等式可以得到2221222acacacacacac，当且仅当ac时等号成立，故cosB的最小值为12.12．（山东省泰安市教科研中心2019届高三考前密卷数学理）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c且ccosA＝4，asinC＝5．（1）求边长c；（2）著△ABC的面积S＝20．求△ABC的周长．【答案】（1）41；（2）8+241【解析】（1）∵由正弦定理可得：2sinsinsinabcRABC，可得：asinC＝csinA，∵asinC＝5，可得：csinA＝5，可得：sinA＝5c，又∵ccosA＝4，可得：cosA＝4c，∴可得：sin2A+cos2A＝222516cc＝1，∴解得c＝41．（2）∵△ABC的面积S＝12absinC＝20，asinC＝5，∴解得：b＝8，∴由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bccosA＝64+41﹣2×441841＝41，解得：a＝41，或﹣41（舍去），7∴△ABC的周长＝a+b+c＝41+8+41＝8+241．13．（陕西省汉中市2019届高三全真模拟考试）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2sincoscos2cAaBbA.（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若2abc，且ABC外接圆的半径为1，求ABC的面积.【答案】（Ⅰ）3A（Ⅱ）334【解析】（Ⅰ）∵2sincoscos2cAaBbA，∴2coscoscoscAaBbA，由正弦定理得，2sincossincossincossinsinCAABBAABC，∴2sincossinCAC，又0C，∴sin0C，∴1cos2A，又0A，∴3A.（Ⅱ）设ABC外接圆的半径为R，则1R，2sin3aRA，由余弦定理得22222cos33abcbcbcbc，即3123bc，∴3bc，∴ABC的面积11333sin32224SbcA.14．（河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学理）如图ABC中，D为BC的中点，213AB，4AC，3AD.8（1）求边BC的长；（2）点E在边AB上，若CE是BCA的角平分线，求BCE的面积.【答案】（1）10；（2）607.【解析】（1）因为D在边BC上，所以coscosADBADC，在ADB和ADC中由余弦定理，得222222022ADBDABADDCACADBDADDC，因为213AB，4AC，3AD，BDDC，所以229529160BDBD，所以225BD，5BD.所以边BC的长为10.（2）由（1）知ADC为直角三角形，所以14362ADCS，212ABCADCSS.因为CE是BCA的角平分线，所以1sin21sin2ACEBCEACCEACESSBCCEBCE42105ACBC.所以25ABCBCEACEBCEBCESSSSS7125BCES，所以607BCES.即BCE的面积为607.15．（山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试数学理）如图所示，锐角ABC中，52AC，点D在线段BC上，且32CD，ACD的面积为66，延长BA至E，使得ECBC.（Ⅰ）求AD的值；（Ⅱ）若2sin3BEC，求AE的值.9【答案】（Ⅰ）214；（Ⅱ）322.【解析】（Ⅰ）在ACD中，1sin2ACDSACCDACD15232sin662ACD.所以26sin5ACD.因为090ACD，所以2261cos155ACD.由余弦定理得2222cos56ADCDCACDCAACD，得214AD.（Ⅱ）因为ECBC，所以1sinsin90cos5ACEACDACD.在AEC中，由正弦定理得sinsinAEACACEAEC，即521253AE，所以322AE.16．（山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校级联合考试）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3cb，2sin3sinBA.（1）求cosB；（2）若2a，求ABC的面积.【答案】（1）56（2）112【解析】（1）因为2sin3sinBA，所以23ba，即23ba.又因为3cb，所以2222222353cos226233bbbacbBbacb.（2）因为2a，所以3c.10因为5cos6B，在ABC中，(0,)B，所以11sin6B所以111111sin232262ABCSacB.17．已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且coscos2cosbCcBaA.（1）求A；（2）若ABC的周长为3，求a的最小值.【答案】（1）3A；（2）1.【解析】（1）由已知及正弦定理得sincoscossin2sincosB