2020版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 高考专题突破二 高考中的三角函数与解三角形

1高考专题突破二高考中的三角函数与解三角形问题题型一三角函数的图象和性质例1(2016·山东)设f(x)＝23sin(π－x)sinx－(sinx－cosx)2.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求gπ6的值．解(1)由f(x)＝23sin(π－x)sinx－(sinx－cosx)2＝23sin2x－(1－2sinxcosx)＝3(1－cos2x)＋sin2x－1＝sin2x－3cos2x＋3－1＝2sin2x－π3＋3－1.由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2(k∈Z)，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12(k∈Z)．所以f(x)的单调递增区间是kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)或kπ－π12，kπ＋5π12k∈Z.(2)由(1)知f(x)＝2sin2x－π3＋3－1，把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝2sinx－π3＋3－1的图象，再把得到的图象向左平移π3个单位长度，得到y＝2sinx＋3－1的图象，即g(x)＝2sinx＋3－1.所以gπ6＝2sinπ6＋3－1＝3.思维升华三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后将t＝ωx＋φ视为一个整体，结合y＝sint的图象求解．跟踪训练1已知函数f(x)＝5sinxcosx－53cos2x＋532(其中x∈R)，求：2(1)函数f(x)的最小正周期；(2)函数f(x)的单调区间；(3)函数f(x)图象的对称轴和对称中心．解(1)因为f(x)＝52sin2x－532(1＋cos2x)＋532＝512sin2x－32cos2x＝5sin2x－π3，所以函数的最小正周期T＝2π2＝π.(2)由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2(k∈Z)，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)．由2kπ＋π2≤2x－π3≤2kπ＋3π2(k∈Z)，得kπ＋5π12≤x≤kπ＋11π12(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递减区间为kπ＋5π12，kπ＋11π12(k∈Z)．(3)由2x－π3＝kπ＋π2(k∈Z)，得x＝kπ2＋5π12(k∈Z)，所以函数f(x)的对称轴方程为x＝kπ2＋5π12(k∈Z)．由2x－π3＝kπ(k∈Z)，得x＝kπ2＋π6(k∈Z)，所以函数f(x)的对称中心为kπ2＋π6，0(k∈Z)．题型二解三角形例2△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＋3cosA＝0，a＝27，b＝2.(1)求角A和边长c；3(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．解(1)∵sinA＋3cosA＝0，∴tanA＝－3，又0Aπ，∴A＝2π3，由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA，即28＝4＋c2－2×2c×－12，即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)或c＝4，故c＝4.(2)∵c2＝a2＋b2－2abcosC，∴16＝28＋4－2×27×2×cosC，∴cosC＝27，∴CD＝ACcosC＝227＝7，∴CD＝12BC，∴S△ABC＝12AB·AC·sin∠BAC＝12×4×2×32＝23，∴S△ABD＝12S△ABC＝3.思维升华根据三角形中的已知条件，选择正弦定理或余弦定理求解；在解决有关角的范围问题时，要注意挖掘题目中隐含的条件，对结果进行正确的取舍．跟踪训练2(2017·北京)在△ABC中，∠A＝60°，c＝37a.(1)求sinC的值；(2)若a＝7，求△ABC的面积．解(1)在△ABC中，因为∠A＝60°，c＝37a，所以由正弦定理得sinC＝csinAa＝37×32＝3314.(2)因为a＝7，所以c＝37×7＝3.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得72＝b2＋32－2b×3×12，解得b＝8或b＝－5(舍去)．所以△ABC的面积S＝12bcsinA＝12×8×3×32＝63.4题型三三角函数和解三角形的综合应用例3如图，某机械厂欲从AB＝2米，AD＝22米的矩形铁皮中裁剪出一个四边形ABEF加工成某仪器的零件，裁剪要求如下：点E，F分别在边BC，AD上，且EB＝EF，AFBE.设∠BEF＝θ，四边形ABEF的面积为f(θ)(单位：平方米)．(1)求f(θ)关于θ的函数关系式，求出定义域；(2)当BE，AF的长为何值时，裁剪出的四边形ABEF的面积最小，并求出最小值．解(1)过点F作FM⊥BE，垂足为M.在Rt△FME中，MF＝2，∠EMF＝π2，∠FEM＝θ，所以EF＝2sinθ，ME＝2tanθ，故AF＝BM＝EF－EM＝2sinθ－2tanθ，所以f(θ)＝12(AF＋BE)×AB＝12×2sinθ－2tanθ＋2sinθ×2＝4sinθ－2tanθ，由题意可知，AFBE，所以θπ2，且当点E重合于点C时，EF＝EB＝22，FM＝2，θ＝π4，所以函数f(θ)＝4sinθ－2tanθ的定义域为π4，π2.(2)由(1)可知，5f(θ)＝4sinθ－2tanθ＝4sin2θ2＋cos2θ22sinθ2cosθ2－22tanθ21－tan2θ2＝2tanθ2＋1tanθ2－1tanθ2－tanθ2＝3tanθ2＋1tanθ2≥23tanθ2·1tanθ2＝23，当且仅当3tanθ2＝1tanθ2时，等号成立，又θ∈π4，π2，θ2∈π8，π4，故当tanθ2＝33，即θ2＝π6，θ＝π3时，四边形ABEF的面积最小，此时BE＝2sinθ＝433，AF＝2sinθ－2tanθ＝233，f(θ)＝4sinθ－2tanθ＝23.答当BE，AF的长度分别为433米，233米时，裁剪出的四边形ABEF的面积最小，最小值为23平方米．思维升华三角函数和解三角形的综合问题要利用正弦定理、余弦定理进行转化，结合三角函数的性质，要注意角的范围对变形过程的影响．跟踪训练3在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinB－bcosC＝ccosB.(1)判断△ABC的形状；(2)若f(x)＝12cos2x－23cosx＋12，求f(A)的取值范围．解(1)因为asinB－bcosC＝ccosB，由正弦定理可得sinAsinB－sinBcosC＝sinCcosB.即sinAsinB＝sinCcosB＋cosCsinB，所以sin(C＋B)＝sinAsinB.因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以sinA＝sinAsinB，又sinA≠0，所以sinB＝1，B＝π2，所以△ABC为直角三角形．6(2)因为f(x)＝12cos2x－23cosx＋12＝cos2x－23cosx＝cosx－132－19，所以f(A)＝cosA－132－19，因为△ABC是直角三角形，所以0Aπ2，且0cosA1，所以当cosA＝13时，f(A)有最小值－19.所以f(A)的取值范围是－19，13.1.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，|φ|π2，x∈R的部分图象如图．(1)求函数f(x)的解析式．(2)求函数f(x)在区间0，5π12上的最值，并求出相应的x值．解(1)由题干图象可知|A|＝2，又A0，故A＝2.周期T＝43×13π12－π3＝43×3π4＝π，又T＝2πω＝π，∴ω＝2.∴f(x)＝2sin(2x＋φ)，由题干图象知fπ3＝2sin2π3＋φ＝2，∴2π3＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z，φ＝－π6＋2kπ，k∈Z，又|φ|π2，∴φ＝－π6，故f(x)＝2sin2x－π6.7(2)∵x∈0，5π12，∴2x－π6∈－π6，2π3，∴sin2x－π6∈－12，1，2sin2x－π6∈[－1，2].当2x－π6＝π2，即x＝π3时，f(x)取得最大值，f(x)max＝fπ3＝2.当2x－π6＝－π6，即x＝0时，f(x)取得最小值，f(x)min＝f(0)＝－1.2．设函数f(x)＝2tanx4·cos2x4－2cos2x4＋π12＋1.(1)求f(x)的定义域及最小正周期．(2)求f(x)在[－π，0]上的最值．解(1)f(x)＝2sinx4cosx4－cosx2＋π6＝sinx2－cosx2＋π6＝sinx2－32cosx2＋12sinx2＝3sinx2－π6.由x4≠π2＋kπ(k∈Z)，得f(x)的定义域为{x|x≠2π＋4kπ(k∈Z)}，故f(x)的最小正周期为T＝2π12＝4π.(2)∵－π≤x≤0，∴－2π3≤x2－π6≤－π6.∴当x2－π6∈－2π3，－π2，即x∈－π，－2π3时，f(x)单调递减，当x2－π6∈－π2，－π6，即x∈－2π3，0时，f(x)单调递增，∴f(x)min＝f－2π3＝－3，又f(0)＝－32，f(－π)＝－32，8∴f(x)max＝f(0)＝－32.3．已知函数f(x)＝sinωx＋π6＋sinωx－π6－2cos2ωx2，x∈R(其中ω0)．(1)求函数f(x)的值域；(2)若函数y＝f(x)的图象与直线y＝－1的两个相邻交点间的距离为π2，求函数y＝f(x)的单调递增区间．解(1)f(x)＝32sinωx＋12cosωx＋32sinωx－12cosωx－(cosωx＋1)＝232sinωx－12cosωx－1＝2sinωx－π6－1.由－1≤sinωx－π6≤1，得－3≤2sinωx－π6－1≤1，所以函数f(x)的值域为[－3,1]．(2)由题设条件及三角函数的图象和性质可知，y＝f(x)的周期为π，所以2πω＝π，即ω＝2.所以f(x)＝2sin2x－π6－1，再由2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2(k∈Z)，解得kπ－π6≤x≤kπ＋π3(k∈Z)．所以函数y＝f(x)的单调递增区间为kπ－π6，kπ＋π3(k∈Z)．4．(2016·北京)在△ABC中，a2＋c2＝b2＋2ac.(1)求B的大小；(2)求2cosA＋cosC的最大值．解(1)由a2＋c2＝b2＋2ac，得a2＋c2－b2＝2ac.由余弦定理，得cosB＝a2＋c2－b22ac＝2ac2ac＝22.又0Bπ，所以B＝π4.(2)A＋C＝π－B＝π－π4＝3π4，9所以C＝3π4－A,0A3π4.所以2cosA＋cosC＝2cosA＋cos3π4－A＝2cosA＋cos3π4cosA＋sin3π4sinA＝2cosA－22cosA＋22sinA＝22sinA＋22cosA＝sinA＋π4.因为0A3π4，所以π4A＋π4π，故当A＋π4＝π2，即A＝π4时，2cosA＋cosC取得最大值1.5.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC＋3asinC－b－c＝0.(1)求A；(2)若AD为BC边上的中线，cosB＝17，AD＝1292，求△ABC的面积．解(1)acosC＋3asinC－b－c＝0，由正弦定理得sinAcosC＋3sinAsinC＝sinB＋sinC，即sinAcosC＋3sinAsinC＝sin(A＋C)＋