2020版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式教

1§4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式最新考纲考情考向分析1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，sinxcosx＝tanx．2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解决条件求值问题，常与三角恒等变换相结合起到化简三角函数关系的作用，强调利用三角公式进行恒等变形的技能以及基本的运算能力．题型为选择题和填空题，低档难度.1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：sinαcosα＝tanα(α≠π2＋kπ，k∈Z).2.诱导公式公式一二三四五角2kπ＋α(k∈Z)－α(2k＋1)π＋α(k∈Z)π2＋απ2－α正弦sinα－sinα－sinαcosαcosα余弦cosαcosα－cosα－sinαsinα正切tanα－tanαtanα－cotαcotα口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限概念方法微思考1．使用平方关系求三角函数值时，怎样确定三角函数值的符号？2提示根据角所在象限确定三角函数值的符号．2．诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是何意义？提示所有诱导公式均可看作k·π2±α(k∈Z)和α的三角函数值之间的关系，口诀中的奇、偶指的是此处的k是奇数还是偶数．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(×)(2)若α∈R，则tanα＝sinαcosα恒成立．(×)(3)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．(×)(4)若sin(kπ－α)＝13(k∈Z)，则sinα＝13.(×)题组二教材改编2．若sinα＝55，π2απ，则tanα＝.答案－12解析∵π2απ，∴cosα＝－1－sin2α＝－255，∴tanα＝sinαcosα＝－12.3．已知tanα＝2，则sinα＋cosαsinα－cosα的值为．答案3解析原式＝tanα＋1tanα－1＝2＋12－1＝3.4．化简cosα－π2sin5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为．答案－sin2α解析原式＝sinαcosα·(－sinα)·cosα＝－sin2α.3题组三易错自纠5．已知sinαcosα＝18，且5π4α3π2，则cosα－sinα的值为．答案32解析∵5π4α3π2，∴cosα0，sinα0且cosαsinα，∴cosα－sinα0.又(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×18＝34，∴cosα－sinα＝32.6．(2018·鄂尔多斯诊断)已知α为锐角，cos32π＋α＝45，则cos(π＋α)＝.答案－35解析∵cos32π＋α＝sinα＝45，且α为锐角，∴cosα＝35，∴cos(π＋α)＝－cosα＝－35.7．已知cosα＝15，－π2α0，则cosπ2＋αtanα＋πcos－αtanα的值为．答案612解析∵－π2α0，∴sinα＝－1－152＝－256，∴tanα＝－26.则cosπ2＋αtanα＋πcos－αtanα＝－sinαtanα·cosα·tanα＝－1tanα＝126＝612.4题型一同角三角函数基本关系式的应用1．已知α是第四象限角，sinα＝－1213，则tanα等于()A．－513B.513C．－125D.125答案C解析因为α是第四象限角，sinα＝－1213，所以cosα＝1－sin2α＝513，故tanα＝sinαcosα＝－125.2．若tanα＝34，则cos2α＋2sin2α等于()A.6425B.4825C．1D.1625答案A解析tanα＝34，则cos2α＋2sin2α＝cos2α＋2sin2αcos2α＋sin2α＝1＋4tanα1＋tan2α＝6425.3．若角α的终边落在第三象限，则cosα1－sin2α＋2sinα1－cos2α的值为()A．3B．－3C．1D．－1答案B解析由角α的终边落在第三象限，得sinα0，cosα0，故原式＝cosα|cosα|＋2sinα|sinα|＝cosα－cosα＋2sinα－sinα＝－1－2＝－3.4．已知cosx＋sinx＝15，x∈(0，π)，则tanx等于()A．－43B．－34C．2D．－2答案A解析由cosx＋sinx＝15，sin2x＋cos2x＝1，x∈(0，π)，解得sinx＝45，cosx＝－35，所以tanx＝－43.思维升华(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象5限确定符号；利用sinαcosα＝tanα可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.题型二诱导公式的应用例1(1)已知A＝sinkπ＋αsinα＋coskπ＋αcosα(k∈Z)，则A的值构成的集合是()A．{1，－1,2，－2}B．{－1,1}C．{2，－2}D．{1，－1,0,2，－2}答案C解析当k为偶数时，A＝sinαsinα＋cosαcosα＝2；当k为奇数时，A＝－sinαsinα－cosαcosα＝－2.(2)化简：sinα＋πcosπ－αsin5π2－αtan－αcos3－α－2π＝.答案－1解析原式＝－sinα·－cosα·cosα－tanα·cos3α＝－sinαsinα＝－1.思维升华(1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．(2)含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算．如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα.跟踪训练1(1)已知角α终边上一点P(－4,3)，则cosπ2＋α·sin－π－αcos11π2－α·sin9π2＋α的值为．6答案－34解析原式＝－sinαsinα－sinαcosα＝tanα，根据三角函数的定义得tanα＝－34.(2)已知f(α)＝2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α1＋sin2α＋cos3π2＋α－sin2π2＋α(sinα≠0,1＋2sinα≠0)，则f－23π6＝.答案3解析∵f(α)＝－2sinα－cosα＋cosα1＋sin2α＋sinα－cos2α＝2sinαcosα＋cosα2sin2α＋sinα＝cosα1＋2sinαsinα1＋2sinα＝1tanα，∴f－23π6＝1tan－23π6＝1tan－4π＋π6＝1tanπ6＝3.题型三同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用例2(1)(2018·铁岭模拟)已知cos5π12＋α＝13，且－πα－π2，则cosπ12－α等于()A.223B.13C．－13D．－223答案D解析因为5π12＋α＋π12－α＝π2，所以cosπ12－α＝sinπ2－π12－α＝sin5π12＋α.因为－πα－π2，所以－7π12α＋5π12－π12.又cos5π12＋α＝130，所以－π2α＋5π12－π12，所以sin5π12＋α＝－1－cos25π12＋α＝－1－132＝－223.(2)已知－πx0，sin(π＋x)－cosx＝－15.7①求sinx－cosx的值；②求sin2x＋2sin2x1－tanx的值．解①由已知，得sinx＋cosx＝15，两边平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝125，整理得2sinxcosx＝－2425.∵(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝4925，由－πx0知，sinx0，又sinxcosx＝－12250，∴cosx0，∴sinx－cosx0，故sinx－cosx＝－75.②sin2x＋2sin2x1－tanx＝2sinxcosx＋sinx1－sinxcosx＝2sinxcosxcosx＋sinxcosx－sinx＝－2425×1575＝－24175.引申探究本例(2)中若将条件“－πx0”改为“0xπ”，求sinx－cosx的值．解若0xπ，又2sinxcosx＝－2425，∴sinx0，cosx0，∴sinx－cosx0，故sinx－cosx＝75.思维升华(1)利用同角三角函数的基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．跟踪训练2(1)(2018·营口模拟)已知角θ的终边在第三象限，tan2θ＝－22，则sin2θ＋sin(3π－θ)8cos(2π＋θ)－2cos2θ等于()A．－26B.26C．－23D.23答案D解析由tan2θ＝－22可得tan2θ＝2tanθ1－tan2θ＝－22，即2tan2θ－tanθ－2＝0，解得tanθ＝2或tanθ＝－22.又角θ的终边在第三象限，故tanθ＝2，故sin2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－2cos2θ＝sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θsin2θ＋cos2θ＝tan2θ＋tanθ－2tan2θ＋1＝22＋2－222＋1＝23.(2)已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2019)的值为()A．－1B．1C．3D．－3答案D解析∵f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)＝asinα＋bcosβ＝3，∴f(2019)＝asin(2019π＋α)＋bcos(2019π＋β)＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－(asinα＋bcosβ)＝－3.1．已知α是第四象限角，tanα＝－512，则sinα等于()A.15B．－15C.513D．－513答案D9解析因为tanα＝－512，所以sinαcosα＝－512，所以cosα＝－125sinα，代入sin2α＋cos2α＝1，解得sinα＝±513，又α是第四象限角，所以sinα＝－513.2．已知α为锐角，且sinα＝45，则cos(π＋α)等于()A．－35B.35C．－45D.45答案A解析∵α为锐角，∴cosα＝1－sin2α＝35，∴cos(π＋α)＝－cosα＝－35.3．(2018·包头质检)已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|π2，则θ等于()A．－π6B．－π3C.π6D.π3答案D解析∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sinθ＝－3cosθ，∴tanθ＝3.又∵|θ|π2，∴θ＝π3.4．(2018·盘锦质检)已知α∈π2，π，且cosα＝－513，则tanα＋π2cosα＋π等于()A.1213B．－1213C.1312D．－1312答案C解析∵α∈π2，π，且cosα＝－513，∴sinα＝1－cos2α＝1213，则tanα＋π2cosα＋π＝－cosαsinα－cosα＝1sinα＝1312.105．已知tanθ＝2，则sin2θ－sinθcosθ2cos2θ的值为()A.12B．1C