（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念教案（含解析

1第一章集合与常用逻辑用语考试内容等级要求集合及其表示A子集B交集、并集、补集B命题的四种形式A充分条件、必要条件、充要条件B简单的逻辑联结词A全称量词与存在量词A§1.1集合的概念考情考向分析集合的含义与表示是集合运算和应用的基础，元素与集合的关系、集合间的关系多以填空题形式考查，低档难度；集合的概念有时与数列等知识交汇，中低档难度．1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B⊇A)2真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中AB(或BA)集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集A＝B概念方法微思考1．两个集合{a，b}和{(a，b)}是否相同？提示不同，{a，b}是数集，{(a，b)}是点集．2．若一个集合A有n个元素，则集合A有几个子集，几个真子集？提示集合A有2n个子集，有2n－1个真子集．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集．(×)(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(×)(3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0或1.(×)(4){x|x≤1}＝{t|t≤1}．(√)题组二教材改编2．[P10习题T5]已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则实数m＝________.答案－32解析当m＋2＝3时，m＝1，此时2m2＋m＝3，不符合集合中元素的互异性，舍去；当2m2＋m＝3时，m＝1或m＝－32，m＝1舍去，综上，m＝－32.3．[P9练习T1]集合A＝{x|0≤x3且x∈N}的真子集个数是________．答案7解析A＝{x|0≤x3且x∈N}＝{0,1,2}，∴真子集有7个．3题组三易错自纠4．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为________．答案3解析当x＝－1，y＝0时，z＝－1；当x＝－1，y＝2时，z＝1；当x＝1，y＝0时，z＝1；当x＝1，y＝2时，z＝3，故集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素个数为3.5．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝________.答案0或3解析A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，故B⊆A，所以m＝3或m＝m，即m＝3或m＝0或m＝1，其中m＝1不符合题意，所以m＝0或m＝3.6．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________.答案0或98解析若a＝0，则A＝23，符合题意；若a≠0，则由题意得Δ＝9－8a＝0，解得a＝98.综上，a的值为0或98.题型一集合的含义1．已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{(x，y)|x≥y，x∈A，y∈A}中元素的个数是________．答案6解析当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0或y＝1；当x＝2时，y＝0,1,2.故集合B＝{(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)}，即集合B中有6个元素．2．已知集合A＝xx∈Z，且32－x∈Z，则集合A中的元素个数为________．答案44解析因为x∈Z，32－x∈Z，所以2－x的取值有－3，－1，1,3，所以x的值分别为5,3,1，－1，故集合A中的元素个数为4.3．已知集合A＝{1,0，a}，若a2∈A，则a＝________.答案－1解析若a2＝0，则a＝0，不符合集合中元素的互异性，舍去；若a2＝1，则a＝±1，由元素的互异性知a≠1，∴a＝－1，若a2＝a，则a＝0或a＝1，由以上知不符合．综上，a＝－1.4．若集合A＝{x|(x＋1)2－3x＋7，x∈Z}，则A中元素个数为________．答案6解析由(x＋1)2－3x＋7得x2＋5x－60，∴－6x1，其中共有6个整数．思维升华(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．(2)如果是根据已知列方程求参数值，一定要将参数值代入集合中检验是否满足元素的互异性．题型二集合间的基本关系例1(1)集合M＝xx＝n2＋1，n∈Z，N＝yy＝m＋12，m∈Z，则集合M，N的关系为________．(填序号)①M∩N＝∅；②M＝N；③M⊆N；④N⊆M.答案④解析由题意，对于集合M，当n为偶数时，设n＝2k(k∈Z)，则x＝k＋1(k∈Z)；当n为奇数时，设n＝2k＋1(k∈Z)，则x＝k＋1＋12(k∈Z)，∴N⊆M.(2)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|0x5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为________．答案4解析A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．思维升华(1)两个集合相等，可知两集合中的元素完全相同，要注意集合中元素的互异性．5(2)含n个元素的集合有2n个子集，2n－1个真子集．跟踪训练1(1)已知集合A＝{2，m}，B＝{2m,2}．若A＝B，则实数m＝________.答案0解析∵集合A＝{2，m}，B＝{2m,2}，A＝B，∴由集合相等的性质，有m＝2m，解得m＝0.(2)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{1,3,5,7,9}，C＝A∩B，则集合C的真子集的个数为________．答案7解析∵A＝{1,2,3,4,5}，B＝{1,3,5,7,9}，∴C＝A∩B＝{1,3,5}，则集合C的真子集的个数为23－1＝8－1＝7.题型三根据集合的关系求参数的值或范围例2(1)(2018·江苏省溧阳中学考试)已知集合A＝{2＋a，a}，B＝{－1,1,3}，且A⊆B，则实数a的值是________．答案1解析易知a0.当a＝1时，A＝{1,3}，B＝{－1,1,3}，满足题意；当a＝3时，A＝{3,2＋3}，B＝{－1,1,3}，不满足题意．所以实数a的值为1.(2)已知集合A＝{x|x2－2020x＋20190}，B＝{x|xa}，若A⊆B，则实数a的取值范围是___________．答案[2019，＋∞)解析由x2－2020x＋20190，解得1x2019，故A＝{x|1x2019}．又B＝{x|xa}，A⊆B，如图所示，可得a≥2019.引申探究本例(2)中，若将集合B改为{x|x≥a}，其他条件不变，则实数a的取值范围是____________．答案(－∞，1]解析A＝{x|1x2019}，B＝{x|x≥a}，A⊆B，如图所示，可得a≤1.6思维升华(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．跟踪训练2(1)已知集合A＝{x|x2－x≤0}，B＝{y|y＝2－x＋a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，0)解析A＝[0,1]，B＝(a，＋∞)，由A⊆B得a0.(2)已知集合A＝{x|－1x3}，B＝{x|－mxm}．若B⊆A，则m的取值范围为__________．答案(－∞，1]解析当m≤0时，B＝∅，显然B⊆A.当m0时，因为A＝{x|－1x3}，B⊆A，所以在数轴上标出两集合，如图，所以－m≥－1，m≤3，－mm.所以0m≤1.综上所述，m的取值范围为(－∞，1]．1．设集合P＝{x|0≤x≤2}，m＝3，则m与P的关系是________．答案m∉P2．若2∈{a＋4，a2＋a}，则实数a＝________.答案1解析由a＋4＝2得a＝－2，此时a2＋a＝2，不满足集合中元素的互异性舍去；7由a2＋a＝2得a＝－2(舍去)或a＝1，a＝1符合题意．3．设集合A＝{2,4}，B＝{a2,2}(其中a0)，若A＝B，则实数a＝________.答案－2解析因为A＝B，所以a2＝4，a0，所以a＝－2.4．已知A＝{x|x－2}，B＝{x|xm}，若B是A的子集，则实数m的取值范围为________．答案(－∞，－2]解析根据题意，B是A的子集，且A＝{x|x－2}，B＝{x|xm}，则有m≤－2，则实数m的取值范围是(－∞，－2]．5．已知集合A＝{－1,2,2m－1}，B＝{2，m2}，若B⊆A，则实数m＝________.答案1解析由m2＝2m－1，得m＝1.6．已知集合A＝{x|2222xx－＝}，集合B＝{x|y＝2－x}，则A与B的关系是________．(填序号)①AB；②BA；③A∩B＝∅.答案①解析由2222xx－＝，得x2－2＝x，即x2－x－2＝0，解得x＝－1或x＝2，即A＝{－1,2}；又B＝(－∞，2]，所以AB.7．(2017·江苏)已知集合A＝{1,2}，B＝{a，a2＋3}，若A∩B＝{1}，则实数a的值为________．答案1解析∵A∩B＝{1}，A＝{1,2}，∴1∈B且2∉B.若a＝1，则a2＋3＝4，符合题意．又a2＋3≥3≠1，故a＝1.8．已知集合A＝{x|2x2－5x－3≤0，x∈Z}，那么A的非空子集的个数是________．答案15解析因为A＝x－12≤x≤3，x∈Z＝{0,1,2,3}，共有4个元素，所以其非空子集有15个．89．(2018·全国Ⅱ改编)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为________．答案9解析将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．10．已知复数f(n)＝in(n∈N*)，则集合{z|z＝f(n)}中元素的个数是________．答案4解析复数f(n)＝in(n∈N*)，可得f(n)＝i，n＝4k＋1，－1，n＝4k＋2，－i，n＝4k＋3，1，n＝4k＋4，k∈N.集合{z|z＝f(n)}中元素的个数是4.11．已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx0，c0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是________．答案[1，＋∞)解析由题意知，A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x20}＝(0,1)，B＝{x|x2－cx0，c0}＝(0，c)．由A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1.12．已知集合A＝{y|0≤ya，y∈N}，B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N}，若AB，则满足条件的正整数a所构成集合的子集的个数为________．答案8解析B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N}＝{x|－1≤x≤3，x∈N}＝{0,1,2,3}，当a分别取1,2,3时，所得集合A分别为{0}，{0,1}，{0,1,2}，均满足AB，当a＝4时，A＝{0,1,2,3}，不满足AB，同理，当a≥5时均不满足AB.所以满足条件的正整数a所构成的集合为{1,2,3}，其子集有8个．13．已知集合A＝{(x，y)||x|＋|y|≤1}，B＝{(x，y)|x2＋y2≤1}，则A与B的关系为________．(填序号)9①AB；②BA；③A∩B＝∅.答案①解析分别作出A，B所表示的平面图形(如图)，判断可知AB.14．已知集合A＝{x|x2＋a≤(a＋1)x，