（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.4 简单的逻辑联结词、全称

1§1.4简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考情考向分析逻辑联结词和含有一个量词的命题的否定是高考的重点；命题的真假判断常以函数、不等式为载体，考查学生的推理判断能力，题型为填空题，低档难度．1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断pqp且qp或q非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词和存在量词(1)全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、存在性命题及含一个量词的命题的否定命题名称语言表示符号表示命题的否定全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)∃x∈M，綈p(x)存在性命题存在M中的一个x，使p(x)成立∃x∈M，p(x)∀x∈M，綈p(x)2概念方法微思考含有逻辑联结词的命题的真假有什么规律？提示p∨q：一真即真；p∧q：一假即假；p，綈p：真假相反．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题“3≥2”是真命题．(√)(2)命题p和綈p不可能都是真命题．(√)(3)“全等三角形的面积相等”是存在性命题．(×)(4)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q都是真命题．(√)题组二教材改编2．[P13习题T3]已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为________．答案2解析p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．3．[P16例1]命题“∃x∈N，x2≤0”的否定是____________．答案∀x∈N，x204．[P23测试T6]命题“对于函数f(x)＝x2＋ax(a∈R)，存在a∈R，使得f(x)是偶函数”为________命题．(填“真”或“假”)答案真解析当a＝0时，f(x)＝x2(x≠0)为偶函数．3题组三易错自纠5．命题“綈p为真”是命题“p∧q为假”的________条件．答案充分不必要解析由綈p为真知，p为假，可得p∧q为假；反之，若p∧q为假，则可能是p真q假，从而綈p为假．故“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件．6．下列命题中的假命题是________．(填序号)①∃x∈R，lgx＝1；②∃x∈R，sinx＝0；③∀x∈R，x30；④∀x∈R,2x0.答案③解析当x＝10时，lg10＝1，则①为真命题；当x＝0时，sin0＝0，则②为真命题；当x0时，x30，则③为假命题；由指数函数的性质知，∀x∈R,2x0，则④为真命题．7．已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为__________．答案(－∞，－2]解析由已知条件，知p和q均为真命题，由命题p为真，得a≤0，由命题q为真，得Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≤－2或a≥1，所以a≤－2.题型一含有逻辑联结词的命题的真假判断1．设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中的真命题是________．(填序号)①p∨q；②p∧q；③(綈p)∧(綈q)；④p∨(綈q)．答案①解析如图所示，4若a＝A1A→，b＝AB→，c＝B1B→，则a·c≠0，命题p为假命题；显然命题q为真命题，所以p∨q为真命题．2．设命题p：函数y＝log2(x2－2x)的单调增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝13x＋1的值域为(0,1)，则下列命题中是真命题的为________．(填序号)①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④綈q.答案②解析函数y＝log2(x2－2x)的单调增区间是(2，＋∞)，所以命题p为假命题．由3x0，得013x＋11，所以函数y＝13x＋1的值域为(0,1)，故命题q为真命题．所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，p∧(綈q)为假命题，綈q为假命题．3．已知命题p：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q：在空间中，对于三条不同的直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.对以上两个命题，有以下命题：①p∧q为真；②p∨q为假；③p∨q为真；④(綈p)∨(綈q)为假．其中，正确的是________．(填序号)答案②解析命题p是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．5思维升华“p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤(1)确定命题的构成形式；(2)判断其中命题p，q的真假；(3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假．题型二含有一个量词的命题命题点1全称命题、存在性命题的真假例1下列四个命题：①∃x∈(0，＋∞)，12x13x；②∃x∈(0,1)，1123loglogxx；③∀x∈(0，＋∞)，12x12logx；④∀x∈0，13，12x13logx.其中真命题序号为________．答案②④解析对于①，当x∈(0，＋∞)时，总有12x13x成立，故①是假命题；对于②，当x＝12时，有1112331111logloglog232成立，故②是真命题；对于③，当0x12时，12logx112x，故③是假命题；对于④，∀x∈0，13，12x113logx，故④是真命题．命题点2含一个量词的命题的否定例2(1)命题：“∃x∈R，sinx＋cosx2”的否定是________________．答案∀x∈R，sinx＋cosx≤2(2)已知命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则綈p是__________．答案∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)06思维升华(1)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判定存在性命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x0，使p(x0)成立．(2)对全称命题、存在性命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；②对原命题的结论进行否定．跟踪训练1(1)设命题p：∀x∈(0，＋∞)，3x2x；命题q：∃x∈(－∞，0)，3x2x，则下列命题为真命题的是________．(填序号)①p∧q；②p∧(綈q)；③(綈p)∧q；④(綈p)∧(綈q)．答案②解析∀x∈(0，＋∞)，3x2x，所以命题p为真命题；∀x∈(－∞，0)，3x2x，所以命题q为假命题，因此p∧q，(綈p)∧q，(綈p)∧(綈q)为假命题，p∧(綈q)为真命题，故填②.(2)命题“∀x∈R，13x0”的否定是______________．答案∃x∈R，13x≤0解析全称命题的否定是存在性命题，“”的否定是“≤”．(3)已知命题“∃x∈R，ex＋a0”为假命题，则a的取值范围是________．答案[0，＋∞)解析因为命题“∃x∈R，ex＋a0”为假命题，所以ex＋a≥0恒成立，所以a≥(－ex)max的最大值．∵－ex0，∴a≥0.题型三命题中参数的取值范围例3(1)已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥ex”；命题q：“∃x∈R，使得x2＋4x＋a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为____________．答案[e,4]解析若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．由∀x∈[0,1]，a≥ex，得a≥e；由∃x∈R，使x2＋4x＋a＝0，得Δ＝16－4a≥0，则a≤4，因此e≤a≤4.则实数a的取值范围为[e,4]．7(2)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝12x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________________．答案14，＋∞解析当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1,2]时，g(x)min＝g(2)＝14－m，由f(x)min≥g(x)min，得0≥14－m，所以m≥14.引申探究本例(2)中，若将“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________________．答案12，＋∞解析当x∈[1,2]时，g(x)max＝g(1)＝12－m，由f(x)min≥g(x)max，得0≥12－m，∴m≥12.思维升华(1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．跟踪训练2(1)(2018·苏北三市期末)由命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求得实数m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a＝________.答案1解析由题意得命题“∀x∈R，x2＋2x＋m0”是真命题，所以Δ＝4－4m0，即m1，故实数m的取值范围是(1，＋∞)，从而实数a的值为1.8(2)已知c0，且c≠1，设命题p：函数y＝cx为减函数．命题q：当x∈12，2时，函数f(x)＝x＋1x1c恒成立．如果“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则c的取值范围为________．答案0，12∪(1，＋∞)解析由命题p为真知，0c1，当x∈12，2时，2≤x＋1x≤52，要使x＋1x1c恒成立，需1c2，即c12，即由命题q为真，知c12.若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则p，q中必有一真一假，当p真q假时，c的取值范围是0c≤12；当p假q真时，c的取值范围是c1.综上可知，c的取值范围是0，12∪(1，＋∞)．常用逻辑用语有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏下．解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系．一、命题的真假判断例1(1)下列命题的否定为假命题的是________．(填序号)①∀x∈R，－x2＋x－10；②∀x∈R，|x|x；③∀x，y∈Z,2x－5y≠12；④∀x∈R，sin2x＋sinx＋1＝0.答案①解析命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有①为真命题．9(2)已知命题p：∀x∈R，log2(x2＋4)≥2，命题q：y＝12x是定义域上的减函数，则下列命题中为真命题的是________．(填序号)①p∨(綈q)；②p∧q；③(綈p)∨q；④(綈p)∧(綈q)．答案①解析命题p：函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，x2＋4≥4，所以log2(x2＋4)≥log24＝2，即命题p是真命题，因此綈p为假命题；命题q：y＝12x在定义域上是增函数，故命题q是假命题，綈q是真命题．因此①是真命题，②③④均为假命题．二、充要条件的判断例2(1)“a1”是“函数f(x)＝a·x＋cosx在R上单调递增”的________条件．答案充分不必要解析由题意，函数f(x)＝a·x＋cosx在R上单调递增，则f′(x)≥0恒成立，即f′(x)＝a－sinx≥0，即a≥sinx，因为－1≤sinx≤1，即a≥1，所以“a1”是“函数f(x)＝a·x＋cosx在R上单调递增”的充分不必要条件．(2)已知圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r0)．设p：0r3，q：圆C上至多有2个点到直线x－3y＋3＝0的距离为1，则p是q的________条件．答案充要解析圆C：(x－1)2＋y2＝r2的圆心(1,0)到直线x－3y＋3＝0的距离d＝|