（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.3 三角函数的图象与性质教

1§4.3三角函数的图象与性质考情考向分析以考查三角函数的图象和性质为主，题目涉及三角函数的图象及应用、图象的对称性、单调性、周期性、最值、零点．考查三角函数性质时，常与三角恒等变换结合，加强数形结合思想、函数与方程思想的应用意识．题型既有填空题，又有解答题，中档难度．1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，π2，1，(π，0)，3π2，－1，(2π，0)．(2)在余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{x|x∈R，且x≠kπ＋π2}值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间错误![2kπ－π，2kπ]kπ－π2，kπ＋π2递减区间错误![2kπ，2kπ＋π]无2对称中心(kπ，0)kπ＋π2，0kπ2，0对称轴方程x＝kπ＋π2x＝kπ无概念方法微思考1．正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？提示正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个周期．2．思考函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)是奇函数，偶函数的充要条件？提示(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝π2＋kπ(k∈Z)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y＝sinx在第一、第四象限是增函数．(×)(2)由sinπ6＋2π3＝sinπ6知，2π3是正弦函数y＝sinx(x∈R)的一个周期．(×)(3)正切函数y＝tanx在定义域内是增函数．(×)(4)已知y＝ksinx＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(×)(5)y＝sin|x|是偶函数．(√)题组二教材改编2．[P44T1]函数f(x)＝cos2x＋π4的最小正周期是________．答案π3．[P45T4]y＝3sin2x－π6在区间0，π2上的值域是________．答案－32，3解析当x∈0，π2时，2x－π6∈－π6，5π6，sin2x－π6∈－12，1，故3sin2x－π6∈－32，3，3即y＝3sin2x－π6的值域为－32，3.4．[P33例4]函数y＝tanπ4－2x的定义域为________．答案xx≠－k2π－π8，k∈Z题组三易错自纠5．函数y＝tan12x＋π6的图象的对称中心是________．答案kπ－π3，0，k∈Z解析由12x＋π6＝kπ2，k∈Z，得x＝kπ－π3，k∈Z，所以对称中心是kπ－π3，0，k∈Z.6．函数f(x)＝4sinπ3－2x的单调递减区间是______________________．答案kπ－π12，kπ＋512π(k∈Z)解析f(x)＝4sinπ3－2x＝－4sin2x－π3.所以要求f(x)的单调递减区间，只需求y＝4sin2x－π3的单调递增区间．由－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ(k∈Z)，得－π12＋kπ≤x≤512π＋kπ(k∈Z)．所以函数f(x)的单调递减区间是－π12＋kπ，512π＋kπ(k∈Z)．7．cos23°，sin68°，cos97°的大小关系是________________．答案sin68°cos23°cos97°解析sin68°＝cos22°，又y＝cosx在[0°，180°]上是减函数，∴sin68°cos23°cos97°.题型一三角函数的定义域41．函数f(x)＝－2tan2x＋π6的定义域是____________．答案xx≠kπ2＋π6k∈Z解析由正切函数的定义域，得2x＋π6≠kπ＋π2，k∈Z，即x≠kπ2＋π6(k∈Z)．2．函数y＝sinx－cosx的定义域为________________．答案2kπ＋π4，2kπ＋5π4(k∈Z)解析方法一要使函数有意义，必须使sinx－cosx≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sinx＝cosx的x为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k∈Z.方法二利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示)．所以定义域为x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k∈Z.3．函数y＝lg(sinx)＋cosx－12的定义域为________．答案x2kπx≤2kπ＋π3，k∈Z解析要使函数有意义，则sinx0，cosx－12≥0，即sinx0，cosx≥12，5解得2kπxπ＋2kπ，k∈Z，－π3＋2kπ≤x≤π3＋2kπ，k∈Z，所以2kπx≤π3＋2kπ(k∈Z)，所以函数的定义域为x2kπx≤2kπ＋π3，k∈Z.思维升华三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．题型二三角函数的值域(最值)例1(1)函数y＝2sinπx6－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为________．答案2－3解析因为0≤x≤9，所以－π3≤πx6－π3≤7π6，所以－32≤sinπx6－π3≤1，则－3≤y≤2.所以ymax＋ymin＝2－3.(2)函数y＝cos2x＋2cosx的值域是________．答案－32，3解析y＝cos2x＋2cosx＝2cos2x＋2cosx－1＝2cosx＋122－32，因为cosx∈[－1,1]，所以原式的值域为－32，3.(3)函数f(x)＝sin2x＋3cosx－34x∈0，π2的最大值是________．答案1解析f(x)＝sin2x＋3cosx－34＝1－cos2x＋3cosx－34，令cosx＝t且t∈[0,1]，则y＝－t2＋3t＋14＝－t－322＋1，当t＝32时，ymax＝1，即f(x)的最大值是1.6思维升华求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)．(4)一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求最值．跟踪训练1(1)已知函数f(x)＝sinx＋π6，其中x∈－π3，a，若f(x)的值域是－12，1，则实数a的取值范围是______．答案π3，π解析∵x∈－π3，a，∴x＋π6∈－π6，a＋π6，∵当x＋π6∈－π6，π2时，f(x)的值域为－12，1，∴由函数的图象(图略)知，π2≤a＋π6≤7π6，∴π3≤a≤π.(2)(2018·苏州质检)函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为__________．答案－12－2，1解析设t＝sinx－cosx，则t2＝sin2x＋cos2x－2sinx·cosx，sinxcosx＝1－t22，且－2≤t≤2.∴y＝－t22＋t＋12＝－12(t－1)2＋1，t∈[－2，2]．当t＝1时，ymax＝1；当t＝－2时，ymin＝－12－2.∴函数的值域为－12－2，1.题型三三角函数的周期性与对称性7例2(1)(2019·盐城模拟)已知函数f(x)＝cosωx＋π4(ω0)的最小正周期为4，则ω＝________.答案π2解析f(x)＝cosωx＋π4(ω0)，由周期计算公式，可得T＝2πω＝4，解得ω＝π2.(2)已知函数f(x)＝sin(ωx－ωπ)(ω0)的最小正周期为π，则fπ12＝________.答案12解析∵T＝π，∴ω＝2πT＝2ππ＝2，∴f(x)＝sin()2x－2π＝sin2x，∴fπ12＝sinπ6＝12.(3)(2018·无锡市梅材高中期中)已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)，ω0,0φπ为偶函数，且其图象的两条相邻对称轴的距离为π2，则f－π8的值为________．答案2解析因为函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)＝2sinωx＋φ－π6为偶函数，所以φ－π6＝kπ＋π2，k∈Z，令k＝0，可得φ＝2π3，根据其图象的两条相邻对称轴间的距离为π2，可得12·2πw＝π2，所以w＝2，所以f(x)＝2sin2x＋π2＝2cos2x，所以f－π8＝2cos2×－π8＝2cosπ4＝2.思维升华(1)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点．(2)求三角函数周期的方法①利用周期函数的定义．8②利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.跟踪训练2(1)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω0，|φ|π2的最小正周期为4π，且∀x∈R，有f(x)≤fπ3成立，则f(x)图象的对称中心是________________．答案2kπ－23π，0，k∈Z解析由f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12.因为f(x)≤fπ3恒成立，所以f(x)max＝fπ3，即12×π3＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，又|φ|π2，所以φ＝π3，故f(x)＝sin12x＋π3.令12x＋π3＝kπ(k∈Z)，得x＝2kπ－2π3(k∈Z)，故f(x)图象的对称中心为2kπ－2π3，0(k∈Z)．(2)若直线x＝54π和x＝94π是函数y＝cos(ωx＋φ)(ω0)图象的两条相邻对称轴，则φ＝______________.答案kπ－54π，k∈Z解析由题意，函数的周期T＝2×94π－54π＝2π，∴ω＝2πT＝1，∴y＝cos(x＋φ)，当x＝54π时，函数取得最大值或最小值，即cos54π＋φ＝±1，可得54π＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝kπ－54π，k∈Z.题型四三角函数的单调性命题点1求三角函数的单调区间例3(1)若点P(1，－1)在角φ(－πφ0)终边上，则函数y＝3cos(x＋φ)，x∈[0，π]的9单调递减区间为________．答案π4，π解析因为点P(1，－1)在角φ(－πφ0)终边上，所以tanφ＝－1，φ＝－π4，即函数为y＝3cosx－π4，令0x－π4π，且0≤x≤π，解得