（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.2 同角三角函数基本关系式

1§4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式考情考向分析考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解决条件求值问题，常与三角恒等变换相结合起到化简三角函数关系的作用，强调利用三角公式进行恒等变形的技能以及基本的运算能力．题型为填空题，低档难度．1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：sinαcosα＝tanαα≠π2＋kπ，k∈Z.2．三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)－απ－απ＋απ2－απ2＋α正弦sinα－sinαsinα－sinαcosαcosα余弦cosαcosα－cosα－cosαsinα－sinα正切tanα－tanα－tanαtanα口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限概念方法微思考1．使用平方关系求三角函数值时，怎样确定三角函数值的符号？提示根据角所在象限确定三角函数值的符号．2．诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是何意义？提示所有诱导公式均可看作k·π2±α(k∈Z)和α的三角函数值之间的关系，口诀中的奇、偶指的是此处的k是奇数还是偶数．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)2(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(×)(2)若α∈R，则tanα＝sinαcosα恒成立．(×)(3)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．(×)(4)若sin(kπ－α)＝13(k∈Z)，则sinα＝13.(×)题组二教材改编2．[P18T3]若sinα＝55，π2απ，则tanα＝.答案－12解析∵π2απ，∴cosα＝－1－sin2α＝－255，∴tanα＝sinαcosα＝－12.3．[P22T1]已知tanα＝2，则sinα＋cosαsinα－cosα的值为．答案3解析原式＝tanα＋1tanα－1＝2＋12－1＝3.4．[P22T4]化简cosα－π2sin5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为．答案－sin2α解析原式＝sinαcosα·(－sinα)·cosα＝－sin2α.题组三易错自纠5．已知sinθ＋cosθ＝43，θ∈0，π4，则sinθ－cosθ的值为．答案－23解析∵sinθ＋cosθ＝43，∴sinθcosθ＝718.又∵(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝29，θ∈0，π4，3∴sinθ－cosθ＝－23.6．已知α为锐角，cos32π＋α＝45，则cos(π＋α)＝.答案－35解析∵cos32π＋α＝sinα＝45，且α为锐角，∴cosα＝35，∴cos(π＋α)＝－cosα＝－35.7．已知cosα＝15，－π2α0，则cosπ2＋αtanα＋πcos－αtanα的值为．答案612解析∵－π2α0，∴sinα＝－1－152＝－256，∴tanα＝－26.则cosπ2＋αtanα＋πcos－αtanα＝－sinαtanα·cosα·tanα＝－1tanα＝126＝612.题型一同角三角函数基本关系式的应用1．已知α是第四象限角，sinα＝－1213，则tanα＝.答案－125解析因为α是第四象限角，sinα＝－1213，所以cosα＝1－sin2α＝513，故tanα＝sinαcosα＝－125.42．若tanα＝34，则cos2α＋2sin2α＝.答案6425解析tanα＝34，则cos2α＋2sin2α＝cos2α＋2sin2αcos2α＋sin2α＝1＋4tanα1＋tan2α＝6425.3．若角α的终边落在第三象限，则cosα1－sin2α＋2sinα1－cos2α的值为．答案－3解析由角α的终边落在第三象限，得sinα0，cosα0，故原式＝cosα|cosα|＋2sinα|sinα|＝cosα－cosα＋2sinα－sinα＝－1－2＝－3.4．已知sinα－cosα＝2，α∈(0，π)，则tanα＝.答案－1解析由sinα－cosα＝2，sin2α＋cos2α＝1，消去sinα，得2cos2α＋22cosα＋1＝0，即(2cosα＋1)2＝0，∴cosα＝－22.又α∈(0，π)，∴α＝3π4，∴tanα＝tan3π4＝－1.思维升华(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用sinαcosα＝tanα可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.题型二诱导公式的应用例1(1)已知A＝sinkπ＋αsinα＋coskπ＋αcosα(k∈Z)，则A的值构成的集合是．答案{2，－2}解析当k为偶数时，A＝sinαsinα＋cosαcosα＝2；5当k为奇数时，A＝－sinαsinα－cosαcosα＝－2.∴A的值构成的集合是{2，－2}．(2)化简：tanπ＋αcos2π＋αsinα－3π2cos－α－3πsin－3π－α＝.答案－1解析原式＝tanαcosαsin－2π＋α＋π2cos3π＋α[－sin3π＋α]＝tanαcosαsinπ2＋α－cosαsinα＝tanαcosαcosα－cosαsinα＝－tanαcosαsinα＝－sinαcosα·cosαsinα＝－1.思维升华(1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．(2)含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算．如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα.跟踪训练1(1)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线3x－y＝0上，则sin3π2＋θ＋2cosπ－θsinπ2－θ－sinπ－θ＝.答案32解析由已知得tanθ＝3，∴sin3π2＋θ＋2cosπ－θsinπ2－θ－sinπ－θ＝－cosθ－2cosθcosθ－sinθ＝－31－tanθ＝32.(2)已知f(α)＝2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α1＋sin2α＋cos3π2＋α－sin2π2＋α(sinα≠0,1＋2sinα≠0)，则6f－23π6＝.答案3解析∵f(α)＝－2sinα－cosα＋cosα1＋sin2α＋sinα－cos2α＝2sinαcosα＋cosα2sin2α＋sinα＝cosα1＋2sinαsinα1＋2sinα＝1tanα，∴f－23π6＝1tan－23π6＝1tan－4π＋π6＝1tanπ6＝3.题型三同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用例2(1)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cosπ2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sinα的值是．答案31010解析由已知可得－2tanα＋3sinβ＋5＝0，tanα－6sinβ－1＝0，解得tanα＝3，又α为锐角，sin2α＋cos2α＝1，故sinα＝31010.(2)已知－πx0，sin(π＋x)－cosx＝－15.①求sinx－cosx的值；②求sin2x＋2sin2x1－tanx的值．解①由已知，得sinx＋cosx＝15，两边平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝125，整理得2sinxcosx＝－2425.∵(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝4925，由－πx0知，sinx0，又sinxcosx＝－12250，∴cosx0，∴sinx－cosx0，故sinx－cosx＝－75.7②sin2x＋2sin2x1－tanx＝2sinxcosx＋sinx1－sinxcosx＝2sinxcosxcosx＋sinxcosx－sinx＝－2425×1575＝－24175.引申探究本例(2)中若将条件“－πx0”改为“0xπ”，求sinx－cosx的值．解若0xπ，又2sinxcosx＝－2425，∴sinx0，cosx0，∴sinx－cosx0，故sinx－cosx＝75.思维升华(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．跟踪训练2(1)(2018·南京模拟)已知角θ的终边在第三象限，tan2θ＝－22，则sin2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－2cos2θ＝.答案23解析由tan2θ＝－22可得tan2θ＝2tanθ1－tan2θ＝－22，即2tan2θ－tanθ－2＝0，解得tanθ＝2或tanθ＝－22.又角θ的终边在第三象限，故tanθ＝2，故sin2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－2cos2θ＝sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θsin2θ＋cos2θ＝tan2θ＋tanθ－2tan2θ＋1＝22＋2－222＋1＝23.(2)已知sinα＝255，则tan(π＋α)＋sin5π2＋αcos5π2－α＝.8答案52或－52解析∵sinα0，∴α为第一或第二象限角，tan(α＋π)＋sin5π2＋αcos5π2－α＝tanα＋cosαsinα＝sinαcosα＋cosαsinα＝1sinαcosα.①当α是第一象限角时，cosα＝1－sin2α＝55，原式＝1sinαcosα＝52；②当α是第二象限角时，cosα＝－1－sin2α＝－55，原式＝1sinαcosα＝－52.综合①②知，原式＝52或－52.1．已知α是第四象限角，tanα＝－512，则sinα＝.答案－513解析因为tanα＝－512，所以sinαcosα＝－512，所以cosα＝－125sinα，代入sin2α＋cos2α＝1，解得sinα＝±513，又α是第四象限角，所以sinα＝－513.2．已知tan(α－π)＝34，且α∈π2，3π2，则sinα＋π2＝.9答案－45解析tan(α－π)＝tanα＝34，由sinαcosα＝34，sin2α＋cos2α＝1，解得cosα＝±45.又因为α∈π2，3π2，所以cosα＝－45，所以sinα＋π2＝cosα＝－45.3．满足等式cos2x－1＝3cosx(x∈[0，π])的x的值为．答案2π3解析由题意可得，2cos2x－3cosx－2＝0，解得cosx＝－12或cosx＝2(舍去)．又x∈[0，π]，故x＝2π3.4．sin43π·cos56π·tan－43π的值是．答案－334解析原式＝sinπ＋π3·cosπ－π6·tan－π－π3＝－sinπ3·－cosπ6·－tanπ3＝－32×－32×(－3)＝－334.5．(2019·江苏省扬州中学月考)设函数f(x)满足f(x＋π)＝f(x)＋sinx，当0≤x≤π时，f(x)＝0，则f23π6＝.答案12解析∵函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sinx，当0≤x≤π时，f(x)＝0