（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第十二章 系列4选讲 12.1 矩阵与变换教案（含解析）

1第十二章系列4选讲考试内容等级要求矩阵的概念A二阶矩阵与平面向量B常见的平面变换A变换的复合与矩阵的乘法B二阶逆矩阵B二阶矩阵的特征值与特征向量B二阶矩阵的简单应用B坐标系的有关概念A简单图形的极坐标方程B极坐标方程与直角坐标方程的互化B参数方程B直线、圆及椭圆的参数方程B参数方程与普通方程的互化B参数方程的简单应用B不等式的基本性质B含有绝对值的不等式的求解B不等式的证明(比较法、综合法、分析法)B算术—几何平均不等式与柯西不等式A利用不等式求最大(小)值B运用数学归纳法证明不等式B§12.1矩阵与变换考情考向分析矩阵命题出自三个方向：一是变换的复合与矩阵的乘法，通过研究曲线上任意一点的变换可以得出曲线的变换．二是逆变换与逆矩阵，主要由点或曲线的变换用待定系数法求矩阵或逆矩阵．三是特征值与特征向量．属于低档题．21．乘法规则(1)行矩阵[a11a12]与列矩阵b11b21的乘法规则：[a11a12]b11b21＝[a11×b11＋a12×b21]．(2)二阶矩阵a11a12a21a22与列向量x0y0的乘法规则：a11a12a21a22x0y0＝a11×x0＋a12×y0a21×x0＋a22×y0.(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：a11a12a21a22b11b12b21b22＝a11×b11＋a12×b21a11×b12＋a12×b22a21×b11＋a22×b21a21×b12＋a22×b22.(4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律．即(AB)C＝A(BC)，AB≠BA，由AB＝AC不一定能推出B＝C.一般地，两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算．2．常见的平面变换(1)恒等变换：如1001；(2)伸压变换：如10012；(3)反射变换：如100－1；(4)旋转变换：如cosθ－sinθsinθcosθ，其中θ为旋转角度；(5)投影变换：如1000，1010；3(6)切变变换：如1k01(k∈R，且k≠0)．3．逆变换与逆矩阵(1)对于二阶矩阵A，B，若有AB＝BA＝E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵；(2)若二阶矩阵A，B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)－1＝B－1A－1.4．特征值与特征向量设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A的一个特征值，而α称为A的属于特征值λ的一个特征向量．5．特征多项式设A＝abcd是一个二阶矩阵，λ∈R，我们把行列式f(λ)＝λ－a－b－cλ－d＝λ2－(a＋d)λ＋ad－bc，称为A的特征多项式．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)已知A，B，C为二阶矩阵，且AB＝AC，若矩阵A存在逆矩阵，则B＝C.(√)(2)1－12110211021＝－3－161.(√)(3)若二阶矩阵A，B均存在逆矩阵，则(AB)－1＝B－1A－1.(×)(4)矩阵A＝3652的特征值为8和－3.(√)题组二教材改编2．[P52例3]已知矩阵A＝2345，则A的逆矩阵A－1＝________.答案－52322－1解析因为det(A)＝2×5－3×4＝－2，4所以A－1＝－523242－22＝－52322－1.3．[P11习题T7]已知矩阵M＝2a21，其中a∈R.若点P(1，－2)在矩阵M的变换下得到点P′(－4,0)，实数a的值为________．答案3解析由2a211－2＝－40，得2－2a＝－4，解得a＝3.4．[P39例1(1)]已知A＝12121212，B＝12－12－1212，求AB.解AB＝1212121212－12－1212＝12×12＋12×－1212×－12＋12×1212×12＋12×－1212×－12＋12×12＝0000.题组三易错自纠5．A＝－1001，B＝0－110，则AB的逆矩阵为________．答案0110解析∵A－1＝－1001，B－1＝01－10，∴(AB)－1＝B－1A－1＝01－10－1001＝0110.56．设椭圆的方程为x2＋y2a＝1，若它在矩阵M＝10012对应的伸压变换下变为一个圆，则实数a＝________.答案4解析设P(x，y)为椭圆上任意一点，变换后为P′(x′，y′)，则x′y′＝10012xy＝x12y，所以x＝x′，y＝2y′，代入椭圆的方程，得x′2＋4y′2a＝1.因为它表示圆，所以a＝4.7．已知矩阵A＝－1002，B＝1206，求矩阵A－1B.解设矩阵A的逆矩阵为abcd，则－1002abcd＝1001，即－a－b2c2d＝1001，故a＝－1，b＝0，c＝0，d＝12，从而A的逆矩阵A－1＝－10012，所以A－1B＝－100121206＝－1－203.题型一矩阵与变换1．已知a，b是实数，如果矩阵M＝2ab1所对应的变换将直线x－y＝1变换成x＋2y＝1，求a，b的值．6解设点(x，y)是直线x－y＝1上任意一点，在矩阵M的作用下变成点(x′，y′)，则2ab1xy＝x′y′，所以x′＝2x＋ay，y′＝bx＋y.因为点(x′，y′)在直线x＋2y＝1上，所以(2＋2b)x＋(a＋2)y＝1，即2＋2b＝1，a＋2＝－1，所以a＝－3，b＝－12.2．二阶矩阵M对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．(1)求矩阵M；(2)设直线l在矩阵M变换作用下得到了直线m：x－y＝4，求直线l的方程．解(1)设M＝abcd，则有abcd1－1＝－1－1，abcd－21＝0－2，所以a－b＝－1，c－d＝－1，且－2a＋b＝0，－2c＋d＝－2，解得a＝1，b＝2，c＝3，d＝4，所以M＝1234.(2)设直线l上任意一点P(x，y)，在矩阵M的变换作用下得到点P′(x′，y′)．因为x′y′＝1234xy＝x＋2y3x＋4y，且m：x′－y′＝4，所以(x＋2y)－(3x＋4y)＝4，整理得x＋y＋2＝0，所以直线l的方程为x＋y＋2＝0.7思维升华已知变换前后的坐标，求变换对应的矩阵时，通常用待定系数法求解．题型二求逆矩阵例1已知矩阵det(A)＝2143，B＝110－1.(1)求A的逆矩阵A－1；(2)求矩阵C，使得AC＝B.解(1)因为|A|＝2×3－1×4＝2，所以A－1＝32－12－4222＝32－12－21.(2)由AC＝B得(A－1A)C＝A－1B，故C＝A－1B＝32－12－21110－1＝322－2－3.思维升华求逆矩阵的方法(1)待定系数法设A是一个二阶可逆矩阵abcd，AB＝BA＝E；(2)公式法|A|＝abcd＝ad－bc≠0，有A－1＝d|A|－b|A|－c|A|a|A|.跟踪训练1已知矩阵A＝102－2，矩阵B的逆矩阵B－1＝1－1202，求矩阵AB.解B＝(B－1)－1＝221220212＝114012.8∴AB＝120－2114012＝1540－1.题型三特征值与特征向量例2已知矩阵A的逆矩阵A－1＝2112.(1)求矩阵A；(2)求矩阵A－1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．解(1)因为矩阵A是矩阵A－1的逆矩阵，且|A－1|＝2×2－1×1＝3≠0，所以A＝132－1－12＝23－13－1323.(2)矩阵A－1的特征多项式为f(λ)＝λ－2－1－1λ－2＝λ2－4λ＋3＝(λ－1)(λ－3)，令f(λ)＝0，得矩阵A－1的特征值为λ1＝1或λ2＝3，所以ξ1＝1－1是矩阵A－1的属于特征值λ1＝1的一个特征向量，ξ2＝11是矩阵A－1的属于特征值λ2＝3的一个特征向量．思维升华已知A＝abcd，求特征值和特征向量的步骤(1)令f(λ)＝λ－a－b－cλ－d＝(λ－a)(λ－d)－bc＝0，求出特征值λ；(2)列方程组λ－ax－by＝0，－cx＋λ－dy＝0；(3)赋值法求特征向量，一般取x＝1或者y＝1，写出相应特征的向量．跟踪训练2(2018·无锡期末)已知变换T将平面内的点1，12，(0,1)分别变换成点94，－2，－32，4.设变换T对应的矩阵为M.(1)求矩阵M；(2)求矩阵M的特征值．9解(1)设M＝abcd，则abcd112＝94－2，abcd01＝－324，得a＝3，b＝－32，c＝－4，d＝4，∴M＝3－32－44.(2)设矩阵M的特征多项式为f(λ)，∴f(λ)＝λ－3324λ－4＝(λ－3)(λ－4)－6＝λ2－7λ＋6.令f(λ)＝0，则λ1＝1，λ2＝6.1．已知A＝1562，求A的特征值．解A的特征多项式f(λ)＝λ－1－5－6λ－2＝(λ－1)(λ－2)－30＝λ2－3λ－28＝(λ－7)(λ＋4)，∴A的特征值为λ1＝7，λ2＝－4.故A的特征值为7和－4.2．(2018·南通、泰州模拟)设矩阵A满足：A1206＝－1－203，求矩阵A的逆矩阵A－1.解方法一设矩阵A＝abcd，则abcd1206＝－1－203，所以a＝－1,2a＋6b＝－2，c＝0,2c＋6d＝3.10解得b＝0，d＝12，所以A＝－10012.根据逆矩阵公式得A－1＝－1002.方法二在A1206＝－1－203两边同时左乘逆矩阵A－1，得1206＝A－1－1－203.设A－1＝abcd，则1206＝abcd－1－203，所以－a＝1，－2a＋3b＝2，－c＝0，－2c＋3d＝6.解得a＝－1，b＝0，c＝0，d＝2，从而A－1＝－1002.3．(2019·徐州模拟)已知矩阵A＝2101，向量b＝102.求向量a，使得A2a＝b.解A2＝21012101＝4301，设a＝xy，由A2a＝b，得4301xy＝102，即4x＋3y