（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算教案（含解析

1第三章导数及其应用考试内容等级要求导数的概念A导数的几何意义B导数的运算B利用导数研究函数的单调性与极值B导数在实际问题中的应用B§3.1导数的概念及运算考情考向分析导数的概念和运算是高考的必考内容，一般渗透在导数的应用中考查；导数的几何意义常与解析几何中的直线交汇考查；题型为填空题或解答题的第(1)问，低档难度．1．导数的概念(1)函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为fx2－fx1x2－x1，若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为ΔyΔx.(2)设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当Δx无限趋近于0时，比值ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．22．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)．3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α为常数)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝ax(a0，a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝lnxf′(x)＝1xf(x)＝logax(a0，a≠1)f′(x)＝1xlna4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)fxgx′＝f′xgx－fxg′xg2x(g(x)≠0)．5．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．概念方法微思考1．根据f′(x)的几何意义思考一下，|f′(x)|增大，曲线f(x)的形状有何变化？提示|f′(x)|越大，曲线f(x)的形状越来越陡峭．2．直线与曲线相切，是不是直线与曲线只有一个公共点？提示不一定．3题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(×)(2)f′(x0)＝[f(x0)]′.(×)(3)(2x)′＝x·2x－1.(×)(4)若f(x)＝e2x，则f′(x)＝e2x.(×)题组二教材改编2．[P26T2]若f(x)＝x·ex，则f′(1)＝.答案2e解析∵f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e.3．[P26T3]曲线y＝1－2x＋2在点(－1，－1)处的切线方程为．答案2x－y＋1＝0解析∵y′＝2x＋22，∴y′|x＝－1＝2.∴所求切线方程为2x－y＋1＝0.题组三易错自纠4．设f(x)＝ln(3－2x)＋cos2x，则f′(0)＝.答案－23解析因为f′(x)＝－23－2x－2sin2x，所以f′(0)＝－23.5．设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝f′π2sinx＋cosx，则f′π4＝.答案－2解析因为f(x)＝f′π2sinx＋cosx，所以f′(x)＝f′π2cosx－sinx，所以f′π2＝f′π2cosπ2－sinπ2，4即f′π2＝－1，所以f(x)＝－sinx＋cosx，f′(x)＝－cosx－sinx.故f′π4＝－cosπ4－sinπ4＝－2.6．已知a∈R，设函数f(x)＝ax－lnx的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为．答案1解析∵f′(x)＝a－1x，∴f′(1)＝a－1.又∵f(1)＝a，∴切线l的斜率为a－1，且过点(1，a)，∴切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)，即y＝(a－1)x＋1.故l在y轴上的截距为1.题型一导数的计算1．已知f(x)＝sinx21－2cos2x4，则f′(x)＝.答案－12cosx解析因为y＝sinx2－cosx2＝－12sinx，所以y′＝－12sinx′＝－12(sinx)′＝－12cosx.2．已知f(x)＝ln2x－12x＋1，则f′(x)＝.答案44x2－1解析y′＝ln2x－12x＋1′＝12x－12x＋12x－12x＋1′＝2x＋12x－1·2x－1′2x＋1－2x－12x＋1′2x＋12＝44x2－1.3．f(x)＝x(2019＋lnx)，若f′(x0)＝2020，则x0＝.答案1解析f′(x)＝2019＋lnx＋x·1x＝2020＋lnx，5由f′(x0)＝2020，得2020＋lnx0＝2020，∴x0＝1.4．若f(x)＝x2＋2x·f′(1)，则f′(0)＝.答案－4解析∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2，∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝－4.思维升华(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的商的求导法则，这样可以减少运算量，提高运算速度减少差错．(2)①若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．②复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元．题型二导数的几何意义命题点1求切线方程例1(1)已知函数f(x＋1)＝2x＋1x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为．答案1解析由f(x＋1)＝2x＋1x＋1，知f(x)＝2x－1x＝2－1x.∴f′(x)＝1x2，∴f′(1)＝1.由导数的几何意义知，所求切线的斜率k＝1.(2)已知函数f(x)＝xlnx，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为．答案x－y－1＝0解析∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xlnx上，∴设切点为(x0，y0)．又∵f′(x)＝1＋lnx，∴直线l的方程为y＋1＝(1＋lnx0)x.∴由y0＝x0lnx0，y0＋1＝1＋lnx0x0，解得x0＝1，y0＝0.∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.6命题点2求参数的值例2(1)(2018·常州模拟)已知函数f(x)＝bx＋lnx，其中b∈R，若过原点且斜率为k的直线与曲线y＝f(x)相切，则k－b的值为．答案1e解析设切点坐标为(x0，bx0＋lnx0)，因为f′(x)＝b＋1x，所以k＝b＋1x0，则切线方程为y－(bx0＋lnx0)＝b＋1x0(x－x0)．因为切线过坐标原点，所以－(bx0＋lnx0)＝b＋1x0(0－x0)，即lnx0＝1，所以x0＝e，所以k－b＝1x0＝1e.(2)已知f(x)＝lnx，g(x)＝12x2＋mx＋72(m0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m＝.答案－2解析∵f′(x)＝1x，∴直线l的斜率k＝f′(1)＝1.又f(1)＝0，∴切线l的方程为y＝x－1.g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝12x20＋mx0＋72，m0，∴m＝－2.命题点3导数与函数图象例3(1)已知函数y＝f(x)及其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则曲线y＝f(x)在点P处的切线方程是．7答案x－y－2＝0解析由题图可知，f′(2)＝1，过P(2,0)，∴切线方程为y＝x－2，即x－y－2＝0.(2)已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝.答案0解析由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－13，∴f′(3)＝－13.∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由题图可知f(3)＝1，∴g′(3)＝1＋3×－13＝0.思维升华导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值k＝f′(x0)．(2)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由y1＝fx1，y0－y1＝f′x1x0－x1求解即可．(3)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况．跟踪训练(1)(2018·全国Ⅰ)已知f(x)＝x2，则曲线y＝f(x)过点P(－1,0)的切线方程是．答案y＝0或4x＋y＋4＝0解析设切点坐标为(x0，x20)，∵f′(x)＝2x，∴切线方程为y－0＝2x0(x＋1)，∴x20＝2x0(x0＋1)，解得x0＝0或x0＝－2，∴所求切线方程为y＝0或y＝－4(x＋1)，即y＝0或4x＋y＋4＝0.8(2)(2018·南通、泰州模拟)若曲线y＝xlnx在x＝1与x＝t处的切线互相垂直，则实数t的值为．答案e－2解析因为y＝f(x)＝xlnx，x0，所以f′(x)＝lnx＋1，则f′(1)＝1，f′(t)＝lnt＋1.因为两条切线互相垂直，所以(lnt＋1)·1＝－1，解得t＝e－2.(3)函数f(x)＝lnx＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是．答案(－∞，2)解析函数f(x)＝lnx＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，即f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解．所以f′(x)＝1x＋a＝2在(0，＋∞)上有解，则a＝2－1x.因为x0，所以2－1x2，所以a的取值范围是(－∞，2)．1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为．答案3(x2－a2)解析f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)·(2x－2a)＝(x－a)·(x－a＋2x＋4a)＝3(x2－a2)．2．已知曲线f(x)＝2x2＋1在点M(x0，f(x0))处的瞬时变化率为－8，则点M的坐标为．答案(－2,9)解析∵f(x)＝2x2＋1，∴f′(x)＝4x，令4x0＝－8，则x0＝－2，∴f(x0)＝9，∴点M的坐标是(－2,9)．3．已知函数f(x)＝1xcosx，则f(π)＋f′π2＝.答案－3π解析因为f′(x)＝－1x2cosx＋1x(－sinx)，所以f(π)＋f′π2＝－1π＋2π×(－1)＝－93π.4．设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0的值为．答案e解析由f(x)＝xlnx，得f′(x)＝lnx＋1.根据题意知，lnx0＋1＝2，所以lnx0＝1，即x0＝e.5．曲线y＝sinx＋ex在点(0,1)处的切线方程是．答案2x－y＋1＝0解析y′＝cosx＋ex，故切线斜率k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0.6．已知点P在曲线y＝4ex＋1上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是．答案3π4，π解析求导可得y′＝－4ex＋e－x＋2，∵ex＋e－x＋2≥2ex·e－x＋2＝4，当且仅当x＝0时，等号成立，∴y′∈[－1,0)，得tanα∈[－1,0)，又α∈[0，π)，∴3π4≤απ.7．已知曲线y＝lnx的切线过原点，则此切线的斜率为．答案1e解析y＝lnx的定义域为(0，＋∞)，且y′＝1x，设切点为(x0，lnx0)，则0|xxy¢＝＝1x0，切线方程为y－lnx0＝1x0(x－x0)，因为切线过点(0,0)，所以－lnx0＝－1，解得x0＝e，故此切线的斜率为1e.8．设曲线y＝eax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋