（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第七章 不等式、推理与证明、数学归纳法 7.7 数学归纳法

1§7.7数学归纳法考情考向分析高考要求理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的命题，以附加题形式在高考中出现，难度为中高档．1．由一系列有限的特殊现象得出一般性的结论的推理方法，通常叫做归纳法．2．用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤如下：(1)归纳奠基：证明取第一个自然数n0时命题成立；(2)归纳递推：假设n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时，命题成立；(3)由(1)(2)得出结论．概念方法微思考1．用数学归纳法证明命题时，n取第1个值n0，是否n0就是1?提示n0是对命题成立的第1个正整数，不一定是1.如证明n边形的内角和时，n≥3.2．用数学归纳法证明命题时，归纳假设不用可以吗？提示不可以，用数学归纳法证明命题，必须用到归纳假设．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．(×)(2)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．(×)(3)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.(√)(4)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n0＝3.(√)2题组二教材改编2．[P94习题T7]用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n－1n(n∈N*，n1)时，第一步应验证_____．答案1＋12＋132解析∵n∈N*，n1，∴n取的第一个数为2，左端分母最大的项为122－1＝13.3．[P103T13]在数列{an}中，a1＝13，且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为________．答案an＝12n－12n＋1解析当n＝2时，13＋a2＝2×3×a2，∴a2＝13×5；当n＝3时，13＋115＋a3＝3×5×a3，∴a3＝15×7；当n＝4时，13＋115＋135＋a4＝4×7×a4，∴a4＝17×9；故猜想an＝12n－12n＋1.4．[P105T13]已知a1＝12，an＋1＝3anan＋3，则a2，a3，a4，a5的值分别为________．由此猜想an＝________.答案37，38，13，3103n＋5解析a2＝3a1a1＋3＝3×1212＋3＝37＝32＋5，同理a3＝3a2a2＋3＝38＝33＋5，a4＝39＝34＋5，a5＝310＝35＋5，又a1＝31＋5＝12，符合以上规律．故猜想an＝3n＋5.3题组三易错自纠5．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－an＋21－a(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1时，等式左边的项是________．答案1＋a＋a2解析当n＝1时，n＋1＝2，∴左边＝1＋a1＋a2＝1＋a＋a2.6．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n＝2n－1＋22n－1(n∈N*)时，假设当n＝k时命题成立，则当n＝k＋1时，左端增加的项数是__________．答案2k解析运用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n＝2n－1＋22n－1(n∈N*)．当n＝k时，则有1＋2＋3＋…＋2k＝2k－1＋22k－1(k∈N*)，左边表示的为2k项的和．当n＝k＋1时，左边＝1＋2＋3＋…＋2k＋(2k＋1)＋…＋2k＋1，表示的为2k＋1项的和，增加了2k＋1－2k＝2k项．题型一用数学归纳法证明等式1．用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n2n＋2＝n4n＋1(n∈N*)．证明①当n＝1时，左边＝12×1×2×1＋2＝18，右边＝14×1＋1＝18，左边＝右边，所以等式成立．②假设n＝k(k∈N*，k≥1)时等式成立，即有12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k2k＋2＝k4k＋1，则当n＝k＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k2k＋2＋12k＋1[2k＋1＋2]＝k4k＋1＋14k＋1k＋2＝kk＋2＋14k＋1k＋2＝k＋124k＋1k＋2＝k＋14k＋2＝k＋14k＋1＋1.所以当n＝k＋1时，等式也成立．4由①②可知，对于一切n∈N*等式都成立．2．用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n(n∈N*)．证明①当n＝1时，等式左边＝1－12＝12＝右边，等式成立．②假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k，那么，当n＝k＋1时，有1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＋12k＋1－12k＋2＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k＋12k＋1－12k＋2＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋1＋12k＋2，所以当n＝k＋1时，等式也成立．由①②知，等式对任何n∈N*均成立．思维升华用数学归纳法证明等式时应注意：(1)明确初始值n0的取值；(2)由n＝k证明n＝k＋1时，弄清左边增加的项，明确变形目标；(3)变形时常用的几种方法：①因式分解；②添拆项；③配方法．题型二证明不等式例1若函数f(x)＝x2－2x－3，定义数列{xn}如下：x1＝2，xn＋1是过点P(4,5)，Qn(xn，f(xn))(n∈N*)的直线PQn与x轴的交点的横坐标，试运用数学归纳法证明：2≤xnxn＋13.证明①当n＝1时，x1＝2，f(x1)＝－3，Q1(2，－3)．所以直线PQ1的方程为y＝4x－11，令y＝0，得x2＝114，因此2≤x1x23，即n＝1时结论成立．②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，结论成立，即2≤xkxk＋13.当n＝k＋1时，直线PQk＋1的方程为y－5＝fxk＋1－5xk＋1－4·(x－4)．又f(xk＋1)＝x2k＋1－2xk＋1－3，代入上式，令y＝0，得xk＋2＝3＋4xk＋12＋xk＋1＝4－52＋xk＋1，5由归纳假设，2xk＋13，xk＋2＝4－52＋xk＋14－52＋3＝3；xk＋2－xk＋1＝3－xk＋11＋xk＋12＋xk＋10，即xk＋1xk＋2，所以2≤xk＋1xk＋23，即当n＝k＋1时，结论成立．由①②知对任意的正整数n,2≤xnxn＋13.思维升华数学归纳法证明不等式的适用范围及关键(1)适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则应考虑用数学归纳法．(2)关键：由n＝k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化．跟踪训练1用数学归纳法证明不等式：1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋1n21(n∈N*且n1)．证明①当n＝2时，12＋13＋14＝13121成立．②设n＝k(k∈N*，k1)时，1k＋1k＋1＋1k＋2＋…＋1k21成立．由于当k1时，k2－k－10，即k(2k＋1)k2＋2k＋1，则当n＝k＋1时，1k＋1＋1k＋2＋1k＋3＋…＋1k＋12＝1k＋1k＋1＋1k＋2＋…＋1k2＋1k2＋1＋1k2＋2＋…＋1k2＋2k＋1－1k1＋1k2＋1＋1k2＋2＋…＋1k2＋2k＋1－1k1＋1k2k＋1＋1k2k＋1＋…＋1k2k＋1－1k＝1＋2k＋1k2k＋1－1k＝1.综合①②可知，原不等式对n∈N*且n1恒成立．题型三数学归纳法的综合应用命题点1整除问题例2(2018·苏北四市期中)设n∈N*，f(n)＝3n＋7n－2.6(1)求f(1)，f(2)，f(3)的值；(2)求证：对任意的正整数n，f(n)是8的倍数．(1)解∵n∈N*，f(n)＝3n＋7n－2，∴f(1)＝3＋7－2＝8，f(2)＝32＋72－2＝56，f(3)＝33＋73－2＝368.(2)证明用数学归纳法证明如下：①当n＝1时，f(1)＝3＋7－2＝8，成立；②假设当n＝k(k∈N*)时成立，即f(k)＝3k＋7k－2能被8整除，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝3k＋1＋7k＋1－2＝3×3k＋7×7k－2＝3(3k＋7k－2)＋4×7k＋4＝3(3k＋7k－2)＋4(7k＋1)，∵3k＋7k－2能被8整除，7k＋1是偶数，∴3(3k＋7k－2)＋4(7k＋1)一定能被8整除，即n＝k＋1时也成立．由①②得对任意正整数n，f(n)是8的倍数．命题点2和二项式系数有关的问题例3(2018·江苏扬州中学期中)已知Fn(x)＝k＝0n[(－1)k·Cknfk(x)](n∈N*)．(1)若fk(x)＝xk，求F2015(2)的值；(2)若fk(x)＝xx＋k(x∉{0，－1，…，－n})，求证：Fn(x)＝n！x＋1x＋2…x＋n.(1)解Fn(x)＝k＝0n[(－1)kCknfk(x)]＝k＝0n[(－x)kCkn]＝k＝0n[Ckn(－x)k·1n－k]＝(1－x)n，∴F2015(2)＝－1.(2)证明①当n＝1时，左边＝1－xx＋1＝1x＋1＝右边．7②设n＝m(m∈N*)时，对一切实数x(x≠0，－1，…，－m)，有k＝0m－1kCkmxx＋k＝m！x＋1x＋2…x＋m，那么，当n＝m＋1时，对一切实数x(x≠0，－1，…，－(m＋1))，有k＝0m＋1－1kCkm＋1xx＋k＝1＋k＝1m－1kCkm＋Ck－1mxx＋k＋(－1)m＋1xx＋m＋1＝k＝0m－1kCkmxx＋k＋k＝1m＋1－1kCk－1mxx＋k＝k＝0m－1kCkmxx＋k－k＝0m－1kCkmx＋1x＋1＋k·xx＋1＝m！x＋1x＋2…x＋m－m！x＋2x＋3…x＋1＋m·xx＋1＝m！[x＋m＋1－x]x＋1x＋2…x＋mx＋m＋1＝m＋1！x＋1x＋2…x＋m＋1，即n＝m＋1时，等式成立．故对一切正整数n及一切实数x(x≠0，－1，…，－n)，有k＝0n－1kCknxx＋k＝n！x＋1x＋2…x＋n.命题点3和数列集合等有关的交汇问题例4设集合M＝{1,2,3，…，n}(n∈N*，n≥3)，记M的含有三个元素的子集个数为Sn，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为Tn.(1)分别求T3S3，T4S4，T5S5，T6S6的值；(2)猜想TnSn关于n的表达式，并加以证明．解(1)当n＝3时，M＝{1,2,3}，S3＝1，T3＝2，T3S3＝2；当n＝4时，M＝{1,2,3,4}，S4＝4，T4＝2＋2＋3＋3＝10，T4S4＝52，T5S5＝3，T6S6＝72.(2)猜想TnSn＝n＋12.8下面用数学归纳法证明：①当n＝3时，由(1)知猜想成立．②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时，猜想成立，即TkSk＝k＋12，而Sk＝C3k，所以Tk＝k＋12C3k.则当n＝k＋1时，易知Sk＋1＝C3k＋1，而当集合M从{1,2,3，…，k}变为{1,2,3，…，k，k＋1}时，Tk＋1在Tk的基础上增加了1个2,2个3,3个4，…，(k－1)个k，所以Tk＋1＝Tk＋2×1＋3×2＋4×3＋…＋k(k－1)＝k＋12C3k＋2(C22＋C23＋C24＋…＋C2k)＝k＋12C3k＋2(C33＋C23＋C24＋…＋C2k)＝k－22C3k＋1＋2C3k＋1＝k＋22C3k＋1＝k＋1＋12Sk＋1，即Tk＋1Sk＋1＝k＋1＋12.所以当n＝k＋1时，猜想也成立．综上所述，猜想成立．思维升华利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论