（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第七章 不等式、推理与证明、数学归纳法 7.4 基本不等式

1§7.4基本不等式及其应用考情考向分析主要考查利用基本不等式求最值．常与函数、解析几何、不等式相结合考查，作为求最值的方法，常在函数、解析几何、不等式的解答题中考查，难度为中档．1．基本不等式：ab≤a＋b2(a≥0，b≥0)(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)ba＋ab≥2(a，b同号)．(3)ab≤a＋b22(a，b∈R)．(4)a2＋b22≥a＋b22(a，b∈R)．以上不等式等号成立的条件均为a＝b.3．算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为a＋b2，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2p.(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值p24.(简记：和定积最大)概念方法微思考1．若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？提示不一定．若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值．22．函数y＝x＋1x的最小值是2吗？提示不是．因为函数y＝x＋1x的定义域是{x|x≠0}，当x0时，y0，所以函数y＝x＋1x无最小值．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数f(x)＝cosx＋4cosx，x∈0，π2的最小值等于4.(×)(2)“x0且y0”是“xy＋yx≥2”的充要条件．(×)(3)若a0，则a3＋1a2的最小值为2a.(×)(4)不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab有相同的成立条件．(×)(5)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．(√)题组二教材改编2．[P88T4]设x0，y0，且x＋y＝18，则xy的最大值为________．答案81解析∵x0，y0，∴x＋y2≥xy，即xy≤x＋y22＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.3．[P89例1]若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_______m2.答案25解析设矩形的一边为xm，则另一边为12×(20－2x)＝(10－x)m，∴y＝x(10－x)≤x＋10－x22＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.题组三易错自纠4．“x0”是“x＋1x≥2成立”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)3答案充要解析当x0时，x＋1x≥2x·1x＝2(当且仅当x＝1时等号成立)．因为x，1x同号，所以若x＋1x≥2，则x0，1x0，所以“x0”是“x＋1x≥2成立”的充要条件．5．若函数f(x)＝x＋1x－2(x2)在x＝a处取最小值，则a＝________.答案3解析当x2时，x－20，f(x)＝(x－2)＋1x－2＋2≥2x－2×1x－2＋2＝4，当且仅当x－2＝1x－2(x2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3.6．若正数x，y满足3x＋y＝5xy，则4x＋3y的最小值是________．答案5解析由3x＋y＝5xy，得3x＋yxy＝3y＋1x＝5，所以4x＋3y＝(4x＋3y)·153y＋1x＝154＋9＋3yx＋12xy≥15(4＋9＋236)＝5，当且仅当3yx＝12xy，即y＝2x＝1时，“＝”成立，故4x＋3y的最小值为5.题型一利用基本不等式求最值命题点1配凑法例1(1)已知0x1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________．答案23解析x(4－3x)＝13·(3x)(4－3x)4≤13·3x＋4－3x22＝43，当且仅当3x＝4－3x，即x＝23时，取等号．(2)函数y＝x2＋2x－1(x1)的最小值为________．答案23＋2解析∵x1，∴x－10，∴y＝x2＋2x－1＝x2－2x＋1＋2x－2＋3x－1＝x－12＋2x－1＋3x－1＝(x－1)＋3x－1＋2≥23＋2.当且仅当x－1＝3x－1，即x＝3＋1时，等号成立．(3)函数y＝x－1x＋3＋x－1的最大值为________．答案15解析y＝x－1x－1＋4＋x－1，当x－1＝0时，y＝0，当x－10时，y＝1x－1＋4x－1＋1≤14＋1＝15，∴当且仅当x－1＝4x－1等号成立，即x＝5时，ymax＝15.命题点2常数代换法例2(1)(2018·江苏省盐城市东台中学质检)已知x0，y0，且1x＋2y＝1，则x＋y的最小值为________．答案3＋22解析由x0，y0，得(x＋y)1x＋2y＝3＋yx＋2xy≥3＋22，当且仅当y＝2x时等号成立，5又1x＋2y＝1，则x＋y≥3＋22，所以x＋y的最小值为3＋22.(2)已知正数x，y满足x＋y＝1，则4x＋2＋1y＋1的最小值为________．答案94解析正数x，y满足(x＋2)＋(y＋1)＝4，∴4x＋2＋1y＋1＝14[(x＋2)＋(y＋1)]4x＋2＋1y＋1＝145＋x＋2y＋1＋4y＋1x＋2≥145＋2x＋2y＋1·4y＋1x＋2＝94，当且仅当x＝2y＝23时，4x＋2＋1y＋1min＝94.命题点3消元法例3已知正实数a，b满足a2－b＋4≤0，则u＝2a＋3ba＋b的最小值为________．答案145解析∵a2－b＋4≤0，∴b≥a2＋4，∴a＋b≥a2＋a＋4.又∵a，b0，∴aa＋b≤aa2＋a＋4，∴－aa＋b≥－aa2＋a＋4，∴u＝2a＋3ba＋b＝3－aa＋b≥3－aa2＋a＋4＝3－1a＋4a＋1≥3－12a·4a＋1＝145，当且仅当a＝2，b＝8时，两等号同时成立，即取得最小值．思维升华(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法．6跟踪训练1(1)若a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝2，则4a＋1＋1b＋c的最小值是________．答案3解析∵a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝2，∴a＋b＋c＋1＝3，且a＋10，b＋c0.∴4a＋1＋1b＋c＝13·(a＋1＋b＋c)·4a＋1＋1b＋c＝135＋4b＋ca＋1＋a＋1b＋c≥13(5＋4)＝3.当且仅当a＋1＝2(b＋c)，即a＝1，b＋c＝1时，等号成立．(2)(2018·苏北四市考试)已知实数x，y满足x2＋y2＝3，|x|≠|y|，则12x＋y2＋4x－2y2的最小值是________．答案35解析由已知可得2x＋y2＋x－2y215＝1，∴12x＋y2＋4x－2y2＝2x＋y2＋x－2y215×12x＋y2＋4x－2y2＝1155＋x－2y22x＋y2＋42x＋y2x－2y2≥115(5＋4)＝35，当且仅当|x－2y|＝2|2x＋y|时取等号．(3)若实数x，y满足xy＋3x＝30x12，则3x＋1y－3的最小值为________．答案8解析由已知得，x＝3y＋3，又0x12，可得y3，∴3x＋1y－3＝y＋3＋1y－3＝y－3＋1y－3＋6≥2y－3·1y－3＋6＝8，当且仅当y＝4x＝37时，3x＋1y－3min＝8.7题型二基本不等式的实际应用例4某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝13x2＋10x(万元)．当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋10000x－1450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解(1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1000x万元，依题意得当0x80时，L(x)＝1000x×0.05－13x2＋10x－250＝－13x2＋40x－250；当x≥80时，L(x)＝1000x×0.05－51x＋10000x－1450－250＝1200－x＋10000x.∴L(x)＝－13x2＋40x－250，0x80，1200－x＋10000x，x≥80.(2)当0x80时，L(x)＝－13(x－60)2＋950.对称轴为x＝60，即当x＝60时，L(x)max＝950万元；当x≥80时，L(x)＝1200－x＋10000x≤1200－210000＝1000(万元)，当且仅当x＝100时，L(x)max＝1000万元，综上所述，当年产量为100千件时，年获利润最大．思维升华(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．跟踪训练2(2017·江苏)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是_______．答案308解析一年的总运费为6×600x＝3600x(万元)．一年的总存储费用为4x万元．总运费与总存储费用的和为3600x＋4x万元．因为3600x＋4x≥23600x·4x＝240，当且仅当3600x＝4x，即x＝30时取得等号，所以当x＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．题型三基本不等式的综合应用命题点1基本不等式与其他知识交汇的最值问题例5在△ABC中，点P满足BP→＝2PC→，过点P的直线与AB，AC所在直线分别交于点M，N，若AM→＝mAB→，AN→＝nAC→(m0，n0)，则m＋2n的最小值为________．答案3解析∵AP→＝AB→＋BP→＝AB→＋23()AC→－AB→＝13AB→＋23AC→＝13mAM→＋23nAN→，∵M，P，N三点共线，∴13m＋23n＝1，∴m＋2n＝(m＋2n)13m＋23n＝13＋43＋2n3m＋2m3n≥53＋22n3m×2m3n＝53＋43＝3，当且仅当m＝n＝1时等号成立．命题点2求参数值或取值范围9例6已知不等式(x＋y)1x＋ay≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为________．答案4解析已知不等式(x＋y)1x＋ay≥9对任意正实数x，y恒成立，只要求(x＋y)1x＋ay的最小值大于或等于9，∵1＋a＋yx＋axy≥a＋2a＋1，当且仅当y＝ax时，等号成立，∴a＋2a＋1≥9，∴a≥2或a≤－4(舍去)，∴a≥4，即正实数a的最小值为4.思维升华求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．跟踪训练3(1)在△ABC中，A＝π6，△ABC的面积为2，则2sinCsinC＋2sinB＋sinBsinC的最小值为____．答案32解析由△ABC的面积为2，所以S＝12bcsinA＝12bcsinπ6＝2，得bc＝8，在△ABC中，由正弦定理得2sinCsinC＋2sinB＋sinBsinC＝2cc＋2b＋bc＝2cbbc＋2b＋b2bc＝168＋2b