（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第六章 数列 微专题二 数列通项公式的常用求法教案（含解析

1微专题二数列通项公式的常用求法一、累加法、累乘法例1已知数列{an}满足an＋1＝an＋2·3n＋1，a1＝3，则数列{an}的通项公式为________．答案an＝3n＋n－1解析由an＋1＝an＋2·3n＋1，得a2＝a1＋2×31＋1，a3＝a2＋2×32＋1，a4＝a3＋2×33＋1，…，an＝an－1＋2×3n－1＋1，累加可得an＝a1＋2×(31＋32＋…＋3n－1)＋(n－1)，又a1＝3，∴an＝2·3－3n1－3＋n＋2＝3n＋n－1(n＝1时也成立)．例2设数列{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a2n＋1－na2n＋an＋1an＝0(n＝1,2,3，…)，则它的通项公式是an＝________.答案1n解析原递推式可化为：[(n＋1)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0，∵an＋1＋an0，∴an＋1an＝nn＋1，则a2a1＝12，a3a2＝23，a4a3＝34，…，anan－1＝n－1n，累乘可得ana1＝1n，又a1＝1，∴an＝1n(n＝1时也成立)．跟踪训练1(1)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋1nn＋1，则数列{an}的通项公式为an＝_______.答案4－1n解析原递推式可化为an＋1＝an＋1n－1n＋1，2则a2＝a1＋11－12，a3＝a2＋12－13，a4＝a3＋13－14，…，an＝an－1＋1n－1－1n，累加得an＝a1＋1－1n.故an＝4－1n(n＝1时也成立)．(2)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2n·an，则an＝______.答案(1)22nn解析a1＝1，a2＝2a1，a3＝22a2，…，an＝2n－1an－1，累乘得an＝2·22·23·…·2n－1＝(1)22nn，当n＝1时也成立，故an＝(1)22nn.二、换元法例3已知数列{an}，其中a1＝43，a2＝139，且当n≥3时，an－an－1＝13(an－1－an－2)，求通项公式an.解设bn－1＝an－an－1，原递推式可化为bn－1＝13bn－2，{bn}是一个等比数列，b1＝a2－a1＝139－43＝19，公比为13.∴bn＝b1·13n－1＝13n＋1，故an－an－1＝13n，an－1－an－2＝13n－1，…，a3－a2＝133，a2－a1＝132，3用累加法得an＝32－1213n，当n＝1时也成立．跟踪训练2已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，当n≥3时，an－2an－1＋an－2＝1，求通项公式an.解当n≥3时，(an－an－1)－(an－1－an－2)＝1，令bn－1＝an－an－1，∴bn－1－bn－2＝1，∴{bn}是等差数列，其中b1＝a2－a1＝1，公差为1，∴bn＝n，∴b1＋b2＋…＋bn－1＝a2－a1＋a3－a2＋…＋an－an－1＝an－1，∴an－1＝12n(n－1)，∴an＝n2－n＋22(n＝1时也成立)．三、构造等差数列求通项例4已知数列{an}满足an＋1＝3an＋2·3n＋1，a1＝3，求数列{an}的通项公式．解an＋1＝3an＋2·3n＋1，两边同除以3n＋1，得an＋13n＋1＝an3n＋2，∴an3n是以a13＝1为首项，以2为公差的等差数列，∴an3n＝1＋(n－1)×2＝2n－1，∴an＝(2n－1)·3n.例5若数列{an}中，a1＝2且an＝3＋a2n－1(n≥2)，求它的通项公式an.解将an＝3＋a2n－1两边平方整理，得a2n－a2n－1＝3.数列{a2n}是以a21＝4为首项，3为公差的等差数列．故a2n＝a21＋(n－1)×3＝3n＋1.因为an0，所以an＝3n＋1.例6已知数列{an}中，a1＝1，且当n≥2时，an＝an－12an－1＋1，求通项公式an.解将an＝an－12an－1＋1两边取倒数，得1an－1an－1＝2，4这说明1an是一个等差数列，首项是1a1＝1，公差为2，所以1an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，即an＝12n－1.跟踪训练3(1)已知数列{an}满足an＋1＝3an＋3n，且a1＝1.①证明：数列an3n是等差数列；②求数列{an}的通项公式．①证明由an＋1＝3an＋3n，两边同时除以3n＋1，得an＋13n＋1＝an3n＋13，即an＋13n＋1－an3n＝13.由等差数列的定义知，数列an3n是以a13＝13为首项，13为公差的等差数列．②解由(1)知an3n＝13＋(n－1)×13＝n3，故an＝n·3n－1，n∈N*.(2)已知数列{an}中，a1＝1，an－1－an＝anan－1(n≥2，n∈N*)，则a10＝________.答案110解析易知an≠0，∵数列{an}满足an－1－an＝anan－1(n≥2，n∈N*)，∴1an－1an－1＝1(n≥2，n∈N*)，故数列1an是等差数列，且公差为1，首项为1，∴1a10＝1＋9＝10，∴a10＝110.四、构造等比数列求通项例7已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式．解由an＋1＝3an＋2，可得an＋1＋1＝3(an＋1)，又a1＋1＝2，∴{an＋1}是以2为首项，以3为公比的等比数列，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1.例8在数列{an}中，a1＝－1，an＋1＝2an＋4·3n－1，求通项公式an.解原递推式可化为an＋1＋λ·3n＝2(an＋λ·3n－1)，①比较系数得λ＝－4，①式为：an＋1－4·3n＝2(an－4·3n－1)．则数列{an－4·3n－1}是一个等比数列，其首项为a1－4·31－1＝－5，公比是2.∴an－4·3n－1＝－5·2n－1，5即an＝4·3n－1－5·2n－1.例9数列{an}满足a1＝2，an＋1＝a2n(an0，n∈N*)，则an＝________.答案122n－解析因为数列{an}满足a1＝2，an＋1＝a2n(an0，n∈N*)，所以log2an＋1＝2log2an，即log2an＋1log2an＝2.又a1＝2，所以log2a1＝log22＝1.故数列{log2an}是首项为1，公比为2的等比数列．所以log2an＝2n－1，即an＝122n－.跟踪训练4(1)若数列{an}中，a1＝3且an＋1＝a2n(n是正整数)，则它的通项公式是an＝________.答案123n解析由题意知an0，将an＋1＝a2n两边取对数，得lgan＋1＝2lgan，即lgan＋1lgan＝2，又lga1＝lg3，所以数列{lgan}是以lg3为首项，公比为2的等比数列，lgan＝lga1·2n－1＝12lg3n，故an＝123n.(2)数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an3＋4an，则an＝________.答案13n－2解析由已知可得1an＋1＝3＋4anan＝3an＋4，∴1an＋1＋2＝3an＋6＝31an＋2，又1a1＋2＝3，∴1an＋2是以3为首项，以3为公比的等比数列，∴1an＋2＝3n，∴an＝13n－2.(3)数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝－2an＋3n，则an＝________.答案15·3n＋25·(－2)n－1解析由已知可设an＋1＋λ·3n＋1＝－2(an＋λ·3n)，6比较系数可得λ＝－15，即an＋1－15·3n＋1＝－2an－15·3n，又a1－35＝25，∴an－15·3n是以25为首项，－2为公比的等比数列，∴an－15·3n＝25·(－2)n－1，∴an＝15·3n＋25·(－2)n－1.五、归纳推理法例10(1)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝Sn＋1Sn，则Sn＝________.答案－1n解析由a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1可得a2＝S1S2＝a1(a1＋a2)，故a2＝12＝11×2，同理可得a3＝16＝12×3，a4＝112＝13×4，…，由此猜想当n≥2时，有an＝1n－1n＝1n－1－1n，所以当n≥2时，Sn＝a1＋a2＋…＋an＝－1＋1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n－1－1n＝－1n.又因为S1＝－1也适合上式，所以Sn＝－1n.(2)已知数列{an}满足an＋1＝2an，0≤an12，2an－1，12≤an1.若a1＝35，则a2018＝________.答案15解析因为a1＝35，根据题意得a2＝15，a3＝25，a4＝45，a5＝35，7所以数列{an}是以4为周期的数列，又2018＝504×4＋2，所以a2018＝a2＝15.跟踪训练5(1)在数列{an}中，an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则数列{an}的前12项和等于________．答案78解析由题意，当n为奇数时，an＋1－an＝2n－1，an＋2＋an＋1＝2n＋1，两式相减得an＋2＋an＝2；当n为偶数时，an＋1＋an＝2n－1，an＋2－an＋1＝2n＋1，两式相加得an＋2＋an＝4n.所以S12＝(a1＋a3＋…＋a11)＋(a2＋a4＋…＋a12)＝2×3＋4(2＋6＋10)＝78.(2)已知数列{an}满足an＋2＝an＋1－an，且a1＝2，a2＝3，Sn为数列{an}的前n项和，则S2018的值为________．答案5解析依题意得，a1＝2，a2＝3，a3＝a2－a1＝3－2＝1，a4＝a3－a2＝1－3＝－2，a5＝a4－a3＝－2－1＝－3，a6＝a5－a4＝－3－(－2)＝－1，a7＝a6－a5＝－1－(－3)＝2，a8＝a7－a6＝2－(－1)＝3，…，所以数列{an}是周期为6的周期数列．又因为2018＝6×336＋2，所以S2018＝(2＋3＋1－2－3－1)×336＋2＋3＝5.(3)用{x}表示不小于x的最小整数，例如{2}＝2，{1.2}＝2，{－1.1}＝－1.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝a2n＋an，则1a1＋1＋1a2＋1＋…＋1a2018＋1＝________.答案1解析∵a1＝1，an＋1＝a2n＋an，∴an1，1an＋1＝1a2n＋an＝1anan＋1＝1an－1an＋1，∴1an＋1＝1an－1an＋1，8∴1a1＋1＋1a2＋1＋…＋1a2018＋1＝1a1－1a2＋1a2－1a3＋…＋1a2018－1a2019＝1a1－1a2019＝1－1a2019.∵01－1a20191，∴1－1a2019＝1.