（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.9 曲线与方程教案（含解析）

1§9.9曲线与方程考情考向分析以考查曲线的轨迹、轨迹方程为主．题型主要以解答题的形式出现，题目为中档题，有时也会在填空题中出现．1．曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．2．求动点的轨迹方程的基本步骤3．几种常见的求轨迹方程的方法(1)直接法由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这个等式，化简得曲线的方程，这种方法叫做直接法．(2)定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或2差为定值的条件，或能利用平面几何知识分析得出这些条件．(3)相关点法若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0，y0)的变动而变动，且x0，y0可用x，y表示，则将点Q的坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程，这种方法称为相关点法(或代换法)．概念方法微思考1．f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件吗？提示是．如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，则曲线C上的点的坐标满足f(x，y)＝0，以f(x，y)＝0的解为坐标的点也都在曲线C上，故f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．2．曲线的交点与方程组的关系是怎样的？提示曲线的交点与方程组的关系(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．(×)(2)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.(×)(3)y＝kx与x＝1ky表示同一直线．(×)(4)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．(×)题组二教材改编2．[P64T10]已知点F14，0，直线l：x＝－14，点B是l上的动点，若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹方程是________．答案y2＝x解析由已知MF＝MB，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线．3．[P64T9]设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心的轨迹方程为________．答案x2＝8y－84．[P64T8]设P为曲线x24－y2＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是________．3答案x2－4y2＝1解析设P(x0，y0)，M(x，y)，则x0＝2x，y0＝2y，代入x204－y20＝1，得x2－4y2＝1.题组三易错自纠5．方程(2x＋3y－1)(x－3－1)＝0表示的曲线是________．答案一条直线和一条射线解析原方程可化为2x＋3y－1＝0，x－3≥0或x－3－1＝0，即2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4，故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线．6．到定点(0,7)和到定直线y＝－7的距离相等的点的轨迹方程是________．答案x2＝28y7．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是__________．答案x2＋y2＝4(x≠±2)解析连结OP，则OP＝2，∴P点的轨迹是去掉M，N两点的圆，∴方程为x2＋y2＝4(x≠±2)．题型一定义法求轨迹方程例1已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，求C的方程．解由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以PM＋PN＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝42＝MN.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x24＋y23＝1(x≠－2)．思维升华定义法求轨迹方程(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程．4(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是不是完整的曲线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制．跟踪训练1在△ABC中，BC＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，且BD－CD＝22，则顶点A的轨迹方程为______________．答案x22－y22＝1(x2)解析以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系，E，F分别为两个切点．则BE＝BD，CD＝CF，AE＝AF.所以AB－AC＝224，所以点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支(y≠0)，且a＝2，c＝2，所以b＝2，所以轨迹方程为x22－y22＝1(x2)．题型二直接法求轨迹方程例2已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ；(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．(1)证明由题意知，F12，0，设l1：y＝a，l2：y＝b，则ab≠0，且Aa22，a，Bb22，b，P－12，a，Q－12，b，R－12，a＋b2.记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则k1＝a－b1＋a2＝a－ba2－ab＝1a＝－aba＝－b＝b－0－12－12＝k2.所以AR∥FQ.(2)解设过AB的直线为l，设l与x轴的交点为D(x1，0)，5则S△ABF＝12|b－a|·FD＝12|b－a|x1－12，S△PQF＝|a－b|2.由题意可得|b－a|x1－12＝|a－b|2，所以x1＝1或x1＝0(舍去)．设满足条件的AB的中点为E(x，y)．当AB与x轴不垂直时，由kAB＝kDE可得2a＋b＝yx－1(x≠1)．而a＋b2＝y，所以y2＝x－1(x≠1)．当AB与x轴垂直时，E与D重合，此时E点坐标为(1,0)，满足方程y2＝x－1.所以所求轨迹方程为y2＝x－1.思维升华直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．跟踪训练2在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)为动点，F1，F2分别为椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，已知△F1PF2为等腰三角形．(1)求椭圆的离心率e；(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足AM→·BM→＝－2，求点M的轨迹方程．解(1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c0)．由题意，可得PF2＝F1F2，即a－c2＋b2＝2c，整理得2ca2＋ca－1＝0，得ca＝－1(舍去)或ca＝12，所以e＝12.(2)由(1)知a＝2c，b＝3c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2的方程为y＝3(x－c)．6A，B两点的坐标满足方程组3x2＋4y2＝12c2，y＝3x－c，消去y并整理，得5x2－8cx＝0.解得x1＝0，x2＝85c，代入直线方程得x1＝0，y1＝－3c，x2＝85c，y2＝335c.不妨设A85c，335c，B(0，－3c)．设点M的坐标为(x，y)，则AM→＝x－85c，y－335c，BM→＝(x，y＋3c)．由y＝3(x－c)，得c＝x－33y.于是AM→＝8315y－35x，85y－335x，BM→＝(x，3x)，由AM→·BM→＝－2，即8315y－35x·x＋85y－335x·3x＝－2.化简得18x2－163xy－15＝0.将y＝18x2－15163x代入c＝x－33y，得c＝10x2＋516x0.所以x0.因此，点M的轨迹方程是18x2－163xy－15＝0(x0)．题型三相关点法求轨迹方程例3如图所示，抛物线E：y2＝2px(p0)与圆O：x2＋y2＝8相交于A，B两点，且点A的横坐标为2.过劣弧AB上动点P(x0，y0)作圆O的切线交抛物线E于C，D两点，分别以C，D为切点作抛物线E的切线l1，l2，l1与l2相交于点M.7(1)求p的值；(2)求动点M的轨迹方程．解(1)由点A的横坐标为2，可得点A的坐标为(2,2)，代入y2＝2px，解得p＝1.(2)由(1)知抛物线E：y2＝2x.设Cy212，y1，Dy222，y2，y1≠0，y2≠0，切线l1的斜率为k，则切线l1：y－y1＝kx－y212，代入y2＝2x，得ky2－2y＋2y1－ky21＝0，由Δ＝0，解得k＝1y1，∴l1的方程为y＝1y1x＋y12，同理l2的方程为y＝1y2x＋y22.联立y＝1y1x＋y12，y＝1y2x＋y22，解得x＝y1·y22，y＝y1＋y22.易知CD的方程为x0x＋y0y＝8，其中x0，y0满足x20＋y20＝8，x0∈[2,22]，由y2＝2x，x0x＋y0y＝8，得x0y2＋2y0y－16＝0，∴y1,2＝－2y0±4y20＋64x02x0，则y1＋y2＝－2y0x0，y1·y2＝－16x0，代入x＝y1·y22，y＝y1＋y22，可得M(x，y)满足x＝－8x0，y＝－y0x0，可得x0＝－8x，y0＝8yx，代入x20＋y20＝8，并化简，得x28－y2＝1，考虑到x0∈[2,22]，知x∈[－4，－22]，8∴动点M的轨迹方程为x28－y2＝1，x∈[－4，－22]．思维升华“相关点法”的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式x1＝fx，y，y1＝gx，y；(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．跟踪训练3如图，动圆C1：x2＋y2＝t2,1t3与椭圆C2：x29＋y2＝1相交于A，B，C，D四点．点A1，A2分别为C2的左、右顶点，求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程．解由椭圆C2：x29＋y2＝1，知A1(－3,0)，A2(3,0)．设点A的坐标为(x0，y0)，由曲线的对称性，得B(x0，－y0)，设点M的坐标为(x，y)，直线AA1的方程为y＝y0x0＋3(x＋3)．①直线A2B的方程为y＝－y0x0－3(x－3)．②由①②相乘得y2＝－y20x20－9(x2－9)．③又点A(x0，y0)在椭圆C2上，故y20＝1－x209.④将④代入③得x29－y2＝1(x－3，y0)．因此点M的轨迹方程为x29－y2＝1(x－3，y0)．题型四参数法求轨迹方程例4(2018·苏州调研)在平面直角坐标系xOy中，已知两点M(1，－3)，N(5,1)，若点C的坐标满足OC→＝tOM→＋(1－t)ON→(t∈R)，且点C的轨迹与抛物线y2＝4x相交于A，B两点．9(1)求证：OA⊥OB；(2)在x轴上是否存在一点P(m,0)(m≠0)，使得过点P任意作一条抛物线y2＝4x的弦，并以该弦为直径的圆都经过原点？若存在，求出m的值及圆心的轨迹方程；若