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当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > (江苏专用)2020版高考数学大一轮复习 第二章 函数 微专题一 分段函数探究教案(含解析)
1微专题一分段函数探究一、分段函数的性质例1函数f(x)=x2-4a+1x-8a+4,x1,logax,x≥1是(-∞,+∞)上的减函数,求a的取值范围.解因为函数f(x)=x2-4a+1x-8a+4,x1,logax,x≥1是(-∞,+∞)上的减函数,所以①当x1时,f(x)=x2-(4a+1)x-8a+4,x1是减函数,即4a+12≥1;②当x≥1时,f(x)=logax是减函数,即0a1;③12-(4a+1)×1-8a+4≥loga1.由①②③得4a+12≥1,0a1,12-4a+1×1-8a+4≥loga1,所以14≤a≤13.即a的取值范围是14,13.例2已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(-∞,0)时,f(x)=-xlg(2-x),求函数f(x)的解析式.解因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0.当x0时,-x0,由已知得f(-x)=xlg(2+x),所以-f(x)=xlg(2+x),即f(x)=-xlg(2+x)(x0).所以f(x)=-xlg2-x,x0,-xlg2+x,x≥0.即f(x)=-xlg(2+|x|)(x∈R).跟踪训练1(1)函数y=-(x-3)|x|的单调增区间是________.答案0,32解析y=-(x-3)|x|=-x2+3x,x0,x2-3x,x≤0.作出该函数的图象如图所示,2观察图象知函数的单调增区间为0,32.(2)已知函数f(x)=ex-k,x≤0,1-kx+k,x0是R上的增函数,则实数k的取值范围是________.答案12,1解析由题意得e0-k≤k,1-k0,解得12≤k1.(3)判断g(x)=x,x0,0,x=0,-x,x0的奇偶性.解当x0时,-x0,g(-x)=--x=x=g(x),当x0时,-x0,g(-x)=-x=g(x),又g(-0)=g(0),所以g(x)=x,x0,0,x=0,-x,x0为偶函数.(4)已知函数f(x)=x2+4x,x≥0,-x2+4x,x0,若f(2-a2)f(a),求实数a的取值范围.解当x≥0时,函数f(x)=x2+4x在[0,+∞)上是增函数,当x0时,函数f(x)=-x2+4x在(-∞,0)上是增函数,易知连续函数y=f(x)是定义在R上的增函数,因为f(2-a2)f(a),所以2-a2a,所以-2a1,所以实数a的取值范围是(-2,1).二、分段函数的值域(最值)例3已知函数f(x)=3x+12,x∈[-1,t],-2x-12,x∈1,a].若存在实数t使f(x)的值域是[-1,1],求实数a的取值范围.3解由已知得t≤1,函数f(x)=3x+12在[-1,t]上为增函数,故其值域为-1,3t+12;函数f(x)=-2(x-1)2在(1,a]上为减函数,故其值域为[-2(a-1)2,0),所以函数f(x)=3x+12,x∈[-1,t],-2x-12,x∈1,a]的值域为[-2(a-1)2,0)∪-1,3t+12,若存在实数t使f(x)的值域是[-1,1],则3t+12=1,即t=13,且-2(a-1)2≥-1,即1-22≤a≤1+22,又a1,所以1a≤1+22,故实数a的取值范围是1,1+22.例4若函数f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为3,则实数a的值为________.答案-4或8解析当a≤2时,f(x)=3x+1+a,x≥-a2,-x+1-a,-1x-a2,-3x-1-a,x≤-1.当x=-a2时,f(x)取得最小值3,此时-3a2+1+a=3,解得a=-4.当a2时,f(x)=3x+1+a,x≥-1,x-1+a,-a2x-1,-3x-1-a,x≤-a24当x=-a2时,f(x)取得最小值3,此时3a2-1-a=3,解得a=8,故a=-4或8.跟踪训练2(1)已知函数f(x)=x2-2,x-1,2x-1,x≥-1,则函数f(x)的值域为________.答案(-1,+∞)解析根据分段函数f(x)=x2-2,x-1,2x-1,x≥-1的图象(图略)可知,该函数的值域为(-1,+∞).(2)函数f(x)=1x,x≥1,-x2+2,x1的最大值为________.答案2解析当x≥1时,函数f(x)=1x为减函数,所以f(x)在x=1处取得最大值,为f(1)=1;当x1时,易知函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值,为f(0)=2.故函数f(x)的最大值为2.(3)已知a∈R,函数f(x)=x+4x-a+a在区间[1,4]上的最大值是5,则a的取值范围是________.答案-∞,92解析方法一当x∈[1,4]时,x+4x∈[4,5].①当a≥5时,f(x)=a-x-4x+a=2a-x-4x,函数的最大值为2a-4=5,解得a=92(舍去);②当a≤4时,f(x)=x+4x-a+a=x+4x≤5,此时符合题意;③当4<a<5时,f(x)max=max{|4-a|+a,|5-a|+a},则|4-a|+a≥|5-a|+a,|4-a|+a=5或|4-a|+a<|5-a|+a,|5-a|+a=5,解得a=92或a<92.5综上,a的取值范围是-∞,92.方法二当x∈[1,4]时,令t=x+4x∈[4,5].则f(x)=|t-a|+a,结合数轴易知,t=92为[4,5]的对称轴,当a≤92时,a靠近左端点4,此时|t-a|≤|5-a|=5-a,即f(x)max=5-a+a=5,符合题意.当a>92时,a靠近右端点5,此时|t-a|≤|4-a|=a-4,即f(x)max=a-4+a=2a-4>5,不符合题意.综上可得,a的取值范围是-∞,92.方法三当x∈[1,4]时,x+4x∈[4,5].结合数轴可知,f(x)max=max{|5-a|,|4-a|}+a=5,a≤92,2a-4,a>92,令f(x)max=5,得a∈-∞,92.(4)函数f(x)=1-2ax+3a,x1,lnx,x≥1的值域为R,求实数a的取值范围.解因为当x≥1时,lnx≥0,又因为函数f(x)=1-2ax+3a,x1,lnx,x≥1的值域为R,所以当x1时,f(x)=(1-2a)x+3a必须取到所有的负数,所以1-2a0,1-2a+3a≥0,解得-1≤a12,所以实数a的取值范围是-1,12.三、分段函数的零点例5(1)已知f(x)=2-x,x≤1,log81x,x1,则g(x)=f(x)-12的零点个数为________.答案26解析令g(x)=0,得f(x)=12.当x≤1时,2-x=12,即x=1;当x1时,log81x=12,即x=81=9.故所求零点为1和9,g(x)的零点个数为2.(2)函数f(x)=x2-x,x0,12-12+x,x≤0.若关于x的方程f(x)=kx-k至少有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是________.答案-13,1∪(1,+∞)解析如图,作出函数图象,y=kx-k过定点(1,0),临界点-12,12和(1,0)连线的斜率为-13,又f′(1)=1,由图象知实数k的取值范围是-13,1∪(1,+∞).跟踪训练3已知函数f(x)=x,x≥a,x3-3x,xa.若函数g(x)=2f(x)-ax恰有2个不同零点,求实数a的取值范围.解函数g(x)=2f(x)-ax恰有2个不同的零点,即方程2f(x)-ax=0恰有2个不相等的根,亦即方程组①x≥a,2x-ax=0或②xa,2x3-6x-ax=0共有2个不相等的根.首先①中2x-ax=0,即(2-a)x=0,若a=2,则x≥2都是方程2x-ax=0的根,不符合题意,所以a≠2,因此由2x-ax=0,解得x=0,下面分情况讨论.(1)若x=0是方程①的根,则必须满足0≥a,即a≤0,7此时方程②必须再有另一个根,即xa≤0,2x3-6x-ax=0有一根,因为x≠0,由2x3-6x-ax=0,得2x2=6+a必须有满足xa≤0的一根,首先6+a0,其次解得负根需满足-6+a2a≤0,从而解得-32a≤0.(2)若x=0不是方程①的根,即方程①无根,则必须满足0a,即a0,此时方程②必须有两个不相等的根,即a0,xa,2x3-6x-ax=0有两个不相等的根,由2x3-6x-ax=0,得x=0a适合,另外2x2=6+a必须还有一个满足xa,a0的非零实根,首先6+a0,由于解得的负根-6+a2a,a0总成立,故要求解得的正根需满足6+a2≥a,从而解得0a≤2,但前面已经指出a≠2,故0a2.综合(1)(2),得实数a的取值范围为-32,2.四、分段函数的综合问题例6已知函数f(x)=x2+(x-1)|x-a|.(1)若a=-1,解方程f(x)=1;(2)若函数f(x)在R上单调递增,求实数a的取值范围;(3)若a1,且不等式f(x)≥2x-3对一切实数x∈R恒成立,求实数a的取值范围.解(1)当a=-1时,f(x)=2x2-1,x≥-1,1,x-1.当x≥-1时,令2x2-1=1,解得x=1或x=-1;当x-1时,f(x)=1恒成立.∴方程的解集为{x|x≤-1或x=1}.(2)f(x)=2x2-a+1x+a,x≥a,a+1x-a,xa.若f(x)在R上单调递增,8则有a+14≤a,a+10,a+1a-a≤2a2-aa+1+a,解得a≥13.(3)设g(x)=f(x)-(2x-3),则g(x)=2x2-a+3x+a+3,x≥a,a-1x-a+3,xa,即不等式g(x)≥0对一切实数x∈R恒成立.∵a1,∴当xa时,g(x)单调递减,其值域为(a2-2a+3,+∞).∵a2-2a+3=(a-1)2+2≥2,∴g(x)≥0恒成立.当x≥a时,∵a1,∴aa+34,∴g(x)min=ga+34=a+3-a+328≥0,得-3≤a≤5.∵a1,∴-3≤a1.综上所述,-3≤a1.跟踪训练4已知函数f(x)=x2+2x|x-a|,其中a∈R.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若不等式4≤f(x)≤16在x∈[1,2]上恒成立,求实数a的取值范围.解(1)由f(x)=-x-a2+a2,x≤a,3x-a32-a23,xa,故当a≥0时,f(x)在(-∞,a)和(a,+∞)上递增,又∵f(a)=a2,∴f(x)在R上递增,当a0时,f(x)在(-∞,a)和a3,+∞上递增,在a,a3上递减.(2)由题意只需f(x)min≥4,f(x)max≤16,首先,由(1)可知,f(x)在x∈[1,2]上递增,则f(x)min=f(1)=1+2|1-a|≥4,解得a≤-12或a≥52,其次,当a≥52时,f(x)在R上递增,9故f(x)max=f(2)=4a-4≤16,解得52≤a≤5,当a≤-12时,f(x)在x∈[1,2]上递增,故f(x)max=f(2)=12-4a≤16,解得-1≤a≤-12,综上实数a的取值范围为-1≤a≤-12或52≤a≤5.
本文标题:(江苏专用)2020版高考数学大一轮复习 第二章 函数 微专题一 分段函数探究教案(含解析)
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