（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.6 椭圆（第1课时）教案（含解析

1§9.6椭圆考情考向分析椭圆的定义、标准方程、几何性质通常以填空题形式考查，直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中．1．椭圆的概念平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M|MF1＋MF2＝2a}，F1F2＝2c，其中a0，c0，且a，c为常数：(1)若ac，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若ac，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)y2a2＋x2b2＝1(ab0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距F1F2＝2c离心率e＝ca∈(0,1)a，b，c的关系a2＝b2＋c223.椭圆的第二定义平面内动点P到定点F的距离和它到定直线l(点F不在直线l上)的距离的比是常数e(0e1)的点的轨迹是椭圆．定点F是焦点，定直线l是准线，常数e是离心率．概念方法微思考1．在椭圆的定义中，若2a＝F1F2或2aF1F2，动点P的轨迹如何？提示当2a＝F1F2时动点P的轨迹是线段F1F2；当2aF1F2时动点P的轨迹是不存在的．2．椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？提示由e＝ca＝1－ba2知，当a不变时，e越大，b越小，椭圆越扁；e越小，b越大，椭圆越圆．3．点和椭圆的位置关系有几种？如何判断．提示点P(x0，y0)和椭圆的位置关系有3种(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔x20a2＋y20b21.(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1.(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔x20a2＋y20b21.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．(√)(2)方程mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)表示的曲线是椭圆．(√)(3)y2a2＋x2b2＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．(×)(4)x2a2＋y2b2＝1(ab0)与y2a2＋x2b2＝1(ab0)的焦距相等．(√)题组二教材改编2．[P37T4]椭圆x210－m＋y2m－2＝1的焦距为4，则m＝________.答案4或8解析当焦点在x轴上时，10－mm－20，10－m－(m－2)＝4，∴m＝4.3当焦点在y轴上时，m－210－m0，m－2－(10－m)＝4，∴m＝8.∴m＝4或8.3．[P37T5]过点A(3，－2)且与椭圆x29＋y24＝1有相同焦点的椭圆的方程为________________．答案x215＋y210＝1解析由题意知c2＝5，可设椭圆方程为x2λ＋5＋y2λ＝1(λ0)，则9λ＋5＋4λ＝1，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)，∴所求椭圆的方程为x215＋y210＝1.4．[P57T6]设椭圆x2m2＋y2m2－1＝1(m1)上一点P到其左焦点的距离为3，到其右焦点的距离为1，则点P到其右准线的距离为________．答案2解析∵m2m2－1，∴m2＝a2，m2－1＝b2，∴c2＝1.又3＋1＝2a，∴a＝2，∴e＝12，∴点P到其右准线的距离d＝1e＝2.题组三易错自纠5．若方程x25－m＋y2m＋3＝1表示椭圆，则m的取值范围是________．答案(－3,1)∪(1,5)解析由方程表示椭圆知5－m0，m＋30，5－m≠m＋3，解得－3m5且m≠1.6．若椭圆x29＋y24＋k＝1的离心率为45，则k的值为________．答案－1925或21解析若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝5－k，由ca＝45，即5－k3＝45，得k＝－1925；若a2＝4＋k，b2＝9，则c＝k－5，由ca＝45，即k－54＋k＝45，解得k＝21.47．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为33，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为43，则椭圆C的方程为________．答案x23＋y22＝1解析∵△AF1B的周长为43，∴4a＝43，∴a＝3，∵离心率为33，∴c＝1，∴b＝a2－c2＝2，∴椭圆C的方程为x23＋y22＝1.8．(2019·江苏南京外国语学校月考)已知点A(1,2)在椭圆x225＋y29＝1内，F是右焦点，P是椭圆上动点，则PA＋54PF的最小值是________．答案214解析根据椭圆的第二定义得到PFd＝ca＝45，其中d表示P点到右准线的距离记为PD，故PA＋54PF＝PA＋d，当且仅当P，A和D三点共线时，值最小，右准线方程为x＝254，代入得到PA＋54PF的最小值是214.第1课时椭圆及其性质题型一椭圆的定义及应用1.如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是________．5答案椭圆解析由条件知PM＝PF，∴PO＋PF＝PO＋PM＝OM＝ROF.∴P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆．2．已知△ABC的顶点B，C在椭圆x23＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是________．答案43解析由椭圆的方程得a＝3.设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得BA＋BF＝CA＋CF＝2a，所以△ABC的周长为BA＋BC＋CA＝BA＋BF＋CF＋CA＝(BA＋BF)＋(CF＋CA)＝2a＋2a＝4a＝43.3．椭圆x24＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则PF2＝________.答案72解析F1(－3，0)，∵PF1⊥x轴，∴P－3，±12，∴PF1＝12，∴PF2＝4－12＝72.4．已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则PA＋PF的最大值为________，最小值为________．答案6＋26－2解析椭圆方程化为x29＋y25＝1，设F1是椭圆的右焦点，则F1(2,0)，∴AF1＝2，∴PA＋PF＝PA－PF1＋6，又－AF1≤PA－PF1≤AF1(当P，A，F1共线时等号成立)，∴PA＋PF≤6＋2，PA＋PF≥6－2.6思维升华椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．题型二椭圆的标准方程命题点1定义法例1(1)已知A(－1,0)，B是圆F：x2－2x＋y2－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程为________________．答案x23＋y22＝1解析由题意得PA＝PB，∴PA＋PF＝PB＋PF＝r＝23AF＝2，∴点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，且a＝3，c＝1，∴b＝2，∴动点P的轨迹方程为x23＋y22＝1.(2)在△ABC中，A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长是18，则顶点C的轨迹方程是________________．答案x225＋y29＝1(y≠0)解析由AC＋BC＝18－8＝108知，顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(A，B，C不共线)．设其方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，则a＝5，c＝4，从而b＝3.由A，B，C三点不共线知y≠0.故顶点C的轨迹方程是x225＋y29＝1(y≠0)．命题点2待定系数法例2如图，设F1，F2分别是椭圆E：x2＋y2b2＝1(0b1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若AF1＝3BF1，AF2⊥x轴，求椭圆E的方程．7解因为AF2⊥x轴，所以AF2＝b2a＝b2，设点A(c，b2)，又AF1＝3BF1，所以点B的坐标为－53c，－13b2，将其代入椭圆方程，联立方程组－53c2＋－b232b2＝1，b2＝1－c2，解得c2＝13，b2＝23，所以椭圆E的方程为x2＋32y2＝1.思维升华(1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法．(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)的形式．跟踪训练1(1)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且椭圆G上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________．答案x236＋y29＝1解析依题意设椭圆G的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为12，∴2a＝12，∴a＝6，∵椭圆的离心率为32，∴e＝ca＝1－b2a2＝32，即1－b236＝32，解得b2＝9，∴椭圆G的方程为x236＋y29＝1.(2)过点(3，－5)，且与椭圆y225＋x29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________．答案y220＋x24＝1解析∵所求椭圆与椭圆y225＋x29＝1的焦点相同，8∴其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.设它的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)．∵c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①又点(3，－5)在所求椭圆上，∴－52a2＋32b2＝1，即5a2＋3b2＝1.②由①②得b2＝4，a2＝20，∴所求椭圆的标准方程为y220＋x24＝1.题型三椭圆的几何性质命题点1求离心率的值(或范围)例3(1)设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________．答案33解析方法一如图，在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，F1F2＝2c，∴PF1＝2ccos30°＝43c3，PF2＝2c·tan30°＝23c3.∵PF1＋PF2＝2a，9即43c3＋23c3＝2a，可得3c＝a.∴e＝ca＝33.方法二(特殊值法)：在Rt△PF2F1中，令PF2＝1，∵∠PF1F2＝30°，∴PF1＝2，F1F2＝3.∴e＝2c2a＝F1F2PF1＋PF2＝33.(2)椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)，F1，F2为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，点P为椭圆上一点，OP＝24a，且PF1，F1F2，PF2成等比数列，则椭圆的离心率为________．答案64解析设P(x，y)，则OP2＝x2＋y2＝a28，由椭圆定义得，PF1＋PF2＝2a，∴PF21＋2PF1·PF2＋PF22＝4a2，又∵PF1，F1F2，PF2成等比数列，∴PF1·PF2＝F1F22＝4c2，则PF21＋PF22＋8c2＝4a2，∴(x＋c)2＋y2＋(x－c)2＋y2＋8c2＝4a2，整理得x2＋y2＋5c2＝2a2，即a28＋5c2＝2a2，整理得c2a2＝38，∴椭圆的离心率e＝ca＝64.(3)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(abc0，a2＝b2＋c2)的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b－c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且PT的最小值不小于32(a－c)，则椭圆的离心率e的取值范围是__________．答案35，22解析因为PT＝PF22－b－c2(bc)，10而PF2的最小值为a－c，所以PT的最小值为a－c2－b－c2.依题意，有a－c2－b－c2≥32(a－c