（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第二章 函数 2.6 指数函数教案（含解析）

1§2.6指数函数考情考向分析直接考查指数函数的图象与性质；以指数函数为载体，考查函数与方程、不等式等交汇问题以及实际应用问题，题型一般为填空题，中低档难度．1．指数函数的定义一般地，函数y＝ax(a0，a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是R.2．指数函数的图象与性质a10a1图象定义域R值域(0，＋∞)性质(1)图象过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1(2)当x0时，y1；x0时，0y1(2)当x0时，0y1；x0时，y1(3)在(－∞，＋∞)上是单调增函数(3)在(－∞，＋∞)上是单调减函数概念方法微思考1．如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则a，b，c，d与1之间的大小关系为________．2提示cd1ab02．结合指数函数y＝ax(a0，a≠1)的图象和性质说明ax1(a0，a≠1)的解集跟a的取值有关．提示当a1时，ax1的解集为{x|x0}；当0a1时，ax1的解集为{x|x0}．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(√)(2)若aman(a0，且a≠1)，则mn.(×)(3)函数y＝2－x在R上为单调减函数．(√)(4)函数y＝ax与y＝a－x(a0，a≠1)的图象关于y轴对称．(√)题组二教材改编2．[P71习题T11]若函数f(x)＝ax(a0，且a≠1)的图象经过点P2，12，则f(－1)＝________.答案2解析由题意知12＝a2，所以a＝22，所以f(x)＝22x，所以f(－1)＝22－1＝2.3．[P70习题T4]已知113344333,,,552abc---骣骣骣鼢?珑?=鼢?珑?鼢?珑?桫桫桫＝＝则a，b，c的大小关系是________．答案cba解析∵y＝35x是减函数，11034333,555--骣骣骣鼢?珑?\鼢?珑?鼢?珑?桫桫桫即ab1，又304331,22c-骣骣鼢珑==鼢珑鼢珑桫桫∴cba.34．[P70习题T8]设2323420.5xx－－，则实数x的取值范围是________．答案－13，1解析223234324320.522xxxx\Q－－－－，，∴3－2x4－3x2，∴3x2－2x－10，∴－13x1.题组三易错自纠5．若函数f(x)＝(a2－3)·ax为指数函数，则a＝______.答案2解析由指数函数的定义可得a2－3＝1，a0，a≠1，解得a＝2.6．若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________________．答案(－2，－1)∪(1，2)解析由题意知0a2－11，即1a22，得－2a－1或1a2.7．已知函数f(x)＝ax(a0，a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a的值为________．答案12或32解析当0a1时，a－a2＝a2，∴a＝12或a＝0(舍去)．当a1时，a2－a＝a2，∴a＝32或a＝0(舍去)．综上所述，a＝12或32.题型一指数型函数的图象例1(1)函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是________．4答案①解析f(x)＝1－e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，又e|x|≥1，∴f(x)≤0.符合条件的图象只有①.(2)若函数y＝|4x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为____________．答案(－∞，0]解析函数y＝|4x－1|的图象是由函数y＝4x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k的取值范围是(－∞，0]．思维升华(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．跟踪训练1方程2x＝2－x的解的个数是________．答案1解析方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数的图象(如图)．5由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解．题型二指数函数的性质命题点1比较指数式的大小例2(1)已知4213532,4,25,abc＝＝＝则a，b，c的大小关系是________．(用“”连接)答案bac解析由a15＝4153(2)＝220，b15＝4155(2)＝212，c15＝255220，可知b15a15c15，所以bac.(2)若－1a0，则3a，13a，a3的大小关系是__________．(用“”连接)答案3aa313a解析易知3a0，13a0，a30，又由－1a0，得0－a1，所以(－a)313()a-，即－a313a-，所以a313a，因此3aa313a.命题点2解简单的指数方程或不等式例3(1)已知实数a≠1，函数f(x)＝4x，x≥0，2a－x，x0，若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为______．答案12解析当a1时，41－a＝21，解得a＝12；当a1时，代入不成立．故a的值为12.(2)若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)0的解集为________________．答案{x|x4或x0}解析∵f(x)为偶函数，6当x0时，－x0，则f(x)＝f(－x)＝2－x－4，∴f(x)＝2x－4，x≥0，2－x－4，x0，当f(x－2)0时，有x－2≥0，2x－2－40或x－20，2－x＋2－40，解得x4或x0.∴不等式的解集为{x|x4或x0}．思维升华指数函数的单调性和底数大小有关，应用函数的单调性最重要的是“同底”原则．跟踪训练2(1)已知f(x)＝2x－2－x，114579,,97ab-骣骣鼢珑==鼢珑鼢珑桫桫则f(a)，f(b)的大小关系是__________．答案f(b)f(a)解析易知f(x)＝2x－2－x在R上为增函数，又111445799,977ab-骣骣骣鼢?珑?===鼢?珑?鼢?珑?桫桫桫∴f(a)f(b)．(2)函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是________．答案f(bx)≤f(cx)解析∵f(x＋1)＝f(1－x)，∴f(x)关于x＝1对称，易知b＝2，c＝3，当x＝0时，b0＝c0＝1，∴f(bx)＝f(cx)，当x0时，3x2x1，又f(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴f(bx)f(cx)，当x0时，3x2x1，又f(x)在(－∞，1)上单调递减，∴f(bx)f(cx)，综上，f(bx)≤f(cx)．7题型三指数函数图象性质的综合应用例4(1)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值范围是________．答案(－∞，4]解析令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间m2，＋∞上单调递增，在区间－∞，m2上单调递减．而y＝2t在R上单调递增，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．(2)函数f(x)＝4x－2x＋1的单调增区间是________．答案[0，＋∞)解析设t＝2x(t0)，则y＝t2－2t的单调增区间为[1，＋∞)，令2x≥1，得x≥0，又y＝2x在R上单调递增，所以函数f(x)＝4x－2x＋1的单调增区间是[0，＋∞)．(3)若函数2431()3axxfx-+骣÷ç=÷ç÷ç桫有最大值3，则a＝________.答案1解析令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝13h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，因此必有a0，12a－164a＝－1，解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1.思维升华求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．跟踪训练3(1)已知max{a，b}表示a，b两数中的最大值．若f(x)＝max{e|x|，e|x－2|}，则f(x)的最小值为________．答案e解析f(x)＝max{e|x|，e|x－2|}＝ex，x≥1，e|x－2|，x1，当x≥1时，f(x)≥e，且当x＝1时，取得最小值e；当x1时，f(x)e.8故f(x)的最小值为f(1)＝e.(2)若不等式1＋2x＋4x·a≥0在x∈(－∞，1]时恒成立，则实数a的取值范围是____________．答案－34，＋∞解析从已知不等式中分离出实数a，得a≥－14x＋12x.∵函数y＝14x＋12x在R上是减函数，∴当x∈(－∞，1]时，14x＋12x≥14＋12＝34，从而得－14x＋12x≤－34.故实数a的取值范围为－34，＋∞.1．若指数函数f(x)＝(a2－3)x满足f(2)f(3)，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析由题意知，指数函数f(x)为增函数，从而a2－31，即a24，得a－2或a2.2．已知函数f(x)＝5x，若f(a＋b)＝3，则f(a)·f(b)＝________.答案3解析∵f(x)＝5x，∴f(a＋b)＝5a＋b＝3，∴f(a)·f(b)＝5a×5b＝5a＋b＝3.3．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是________．(用“”连接)答案bac解析因为函数y＝0.6x在R上单调递减，所以b＝0.61.5a＝0.60.61.又c＝1.50.61，所以bac.4．不等式242122xxx+骣÷ç÷ç÷ç桫－＋的解集为________．答案(－1,4)9解析原不等式等价于22422xxx－＋－－，又函数y＝2x为增函数，∴－x2＋2x－x－4，即x2－3x－40，∴－1x4.5．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为________．答案[1,9]解析由f(x)过定点(2,1)可知b＝2，因为f(x)＝3x－2在[2,4]上是增函数，f(x)min＝f(2)＝1，f(x)max＝f(4)＝9.6．若函数f(x)＝a|2x－4|(a0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是________．答案[2，＋∞)解析由f(1)＝19，得a2＝19，所以a＝13或a＝－13(舍去)，即f(x)＝13|2x－4|.由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．7．已知函数f(x)＝－12x，a≤x0，－x2＋2x，0≤x≤4的值域是[－8,1]，则实数a的取值范围是________．答案[－3,0)解析当0≤x≤4时，f(x)∈[－8,1]，当a≤x0时，f(x)∈－12a，－1，所以－12a，－1[－8,1]，即－8≤－12a－1，即－3≤a0.所以实数a的取值范围是[－3，0)．8．若“ma”是“函数f(x)＝13x＋m－13的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a能取的最大整数为________．答