（鲁京津琼专用）2020版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量与复数 5.1 平面向量的概念及线性运

1§5.1平面向量的概念及线性运算最新考纲1.通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.通过实例，掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.3.通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义．1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ0时，λa与a的方向相同；当λ0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb23.向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.概念方法微思考1．若b与a共线，则存在实数λ使得b＝λa，对吗？提示不对，因为当a＝0，b≠0时，不存在λ满足b＝λa.2．如何理解数乘向量？提示λa的大小为|λa|＝|λ||a|，方向要分类讨论：当λ0时，λa与a同方向；当λ0时，λa与a反方向；当λ＝0或a为零向量时，λa为零向量，方向不确定．3．如何理解共线向量定理？提示如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使得a＝λb.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．(√)(2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．(√)(3)若a∥b，b∥c，则a∥c.(×)(4)若向量AB→与向量CD→是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(×)(5)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(√)(6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．(×)题组二教材改编2．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且OA→＝a，OB→＝b，则DC→＝________，BC→＝________.(用a，b表示)答案b－a－a－b解析如图，DC→＝AB→＝OB→－OA→＝b－a，BC→＝OC→－OB→＝－OA→－OB→＝－a－b.3．在平行四边形ABCD中，若|AB→＋AD→|＝|AB→－AD→|，则四边形ABCD的形状为________．答案矩形解析如图，因为AB→＋AD→＝AC→，3AB→－AD→＝DB→，所以|AC→|＝|DB→|.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形．题组三易错自纠4．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b.若a∥b，则a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．5．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________.答案12解析∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12.6．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE→＝λ1AB→＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案12解析DE→＝DB→＋BE→＝12AB→＋23BC→＝12AB→＋23(BA→＋AC→)＝－16AB→＋23AC→，∴λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.题型一平面向量的概念1．给出下列命题：4①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；③若A，B，C，D是不共线的四点，且AB→＝DC→，则ABCD为平行四边形；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；⑤已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中真命题的序号是________．答案③解析①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；②错误，若b＝0，则a与c不一定共线；③正确，因为AB→＝DC→，所以|AB→|＝|DC→|且AB→∥DC→；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；④错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件；⑤错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．故填③.2．判断下列四个命题：①若a∥b，则a＝b；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若|a|＝|b|，则a∥b；④若a＝b，则|a|＝|b|.其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4答案A解析只有④正确．思维升华向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线．题型二平面向量的线性运算5命题点1向量加、减法的几何意义例1(2017·全国Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则()A．a⊥bB．|a|＝|b|C．a∥bD．|a||b|答案A解析方法一∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2.∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.∴a·b＝0.∴a⊥b.故选A.方法二利用向量加法的平行四边形法则．在▱ABCD中，设AB→＝a，AD→＝b，由|a＋b|＝|a－b|知，|AC→|＝|DB→|，从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.故选A.命题点2向量的线性运算例2(1)在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设AB→＝a，AD→＝b，则向量BF→等于()A.13a＋23bB．－13a－23bC．－13a＋23bD.13a－23b答案C解析BF→＝23BE→＝23(BC→＋CE→)＝23b－12a＝－13a＋23b，故选C.(2)(2018·全国Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB→等于()A.34AB→－14AC→B.14AB→－34AC→6C.34AB→＋14AC→D.14AB→＋34AC→答案A解析作出示意图如图所示．EB→＝ED→＋DB→＝12AD→＋12CB→＝12×12(AB→＋AC→)＋12(AB→－AC→)＝34AB→－14AC→.故选A.命题点3根据向量线性运算求参数例3在锐角△ABC中，CM→＝3MB→，AM→＝xAB→＋yAC→，则xy＝________.答案3解析由题意得CA→＋AM→＝3(AB→－AM→)，即4AM→＝3AB→＋AC→，亦即AM→＝34AB→＋14AC→，则x＝34，y＝14.故xy＝3.思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．跟踪训练1(1)在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且BD→＝2DC→，CE→＝3EA→，若AB→＝a，AC→＝b，则DE→等于()7A.13a＋512bB.13a－1312bC．－13a－512bD．－13a＋1312b答案C解析DE→＝DC→＋CE→＝13BC→＋34CA→＝13(AC→－AB→)－34AC→＝－13AB→－512AC→＝－13a－512b，故选C.(2)(2018·威海模拟)在平行四边形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，若AB→＝xAE→＋yAF→(x，y∈R)，则x－y＝________.答案2解析由题意得AE→＝AB→＋BE→＝AB→＋12AD→，AF→＝AD→＋DF→＝AD→＋12AB→，因为AB→＝xAE→＋yAF→，所以AB→＝x＋y2AB→＋x2＋yAD→，所以x＋y2＝1，x2＋y＝0，解得x＝43，y＝－23，所以x－y＝2.题型三共线定理的应用例4设两个非零向量a与b不共线．(1)若AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．(1)证明∵AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)，∴BD→＝BC→＋CD→＝2a＋8b＋3(a－b)8＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB→，∴AB→，BD→共线．又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．(2)解假设ka＋b与a＋kb共线，则存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.又a，b是两个不共线的非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0.消去λ，得k2－1＝0，∴k＝±1.引申探究1．若将本例(1)中“BC→＝2a＋8b”改为“BC→＝a＋mb”，则m为何值时，A，B，D三点共线？解BC→＋CD→＝(a＋mb)＋3(a－b)＝4a＋(m－3)b，即BD→＝4a＋(m－3)b.若A，B，D三点共线，则存在实数λ，使BD→＝λAB→.即4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)．所以4＝λ，m－3＝λ，解得m＝7.故当m＝7时，A，B，D三点共线．2．若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k为何值？解因为ka＋b与a＋kb反向共线，所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)(λ0)．所以k＝λ，kλ＝1，所以k＝±1.又λ0，k＝λ，所以k＝－1.故当k＝－1时两向量反向共线．思维升华(1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立；若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a，b不共线．跟踪训练2已知O，A，B是不共线的三点，且OP→＝mOA→＋nOB→(m，n∈R)．(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.9证明(1)若m＋n＝1，则OP→＝mOA→＋(1－m)OB→＝OB→＋m(OA→－OB→)，∴OP→－OB→＝m(OA→－OB→)，即BP→＝mBA→，∴BP→与BA→共线．又∵BP→与BA→有公共点B，则A，P，B三点共线．(2)若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使BP→＝λBA→，∴OP→－OB→＝λ(OA→－OB→)．又OP→＝mOA→＋nOB→.故有mOA→＋(n－1)OB→＝λOA→－λOB→，即(m－λ)OA→＋(n＋λ－1)OB→＝0.∵O，A，B不共线，∴OA→，OB→不共线，∴m－λ＝0，n＋λ－1＝0，∴m＋n＝1.101．对于非零向量a，b，“a＋2b＝0”是“a∥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若a＋2b＝0，则a＝－2b，所以a∥b.若a∥b，则a＋2b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．2．已知向量AB→＝a＋3b，BC→＝5a＋3b，CD→＝－3a＋3b，则()A．A，B，C三点共线B．A，