（鲁京津琼专用）2020版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.6 正弦定理和余弦定理

1§4.6正弦定理和余弦定理最新考纲通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容(1)asinA＝bsinB＝csinC＝2R(2)a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC变形(3)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(4)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；(5)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(6)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA(7)cosA＝b2＋c2－a22bc；cosB＝c2＋a2－b22ac；cosC＝a2＋b2－c22ab2．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinAaba≥bab解的个数一解两解一解一解3.三角形常用面积公式(1)S＝12a·ha(ha表示边a上的高)；2(2)S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA；(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．概念方法微思考1．在△ABC中，∠A∠B是否可推出sinAsinB?提示在△ABC中，由∠A∠B可推出sinAsinB.2．如图，在△ABC中，有如下结论：bcosC＋ccosB＝a.试类比写出另外两个式子．提示acosB＋bcosA＝c；acosC＋ccosA＝b.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(×)(2)当b2＋c2－a20时，三角形ABC为锐角三角形．(×)(3)在△ABC中，asinA＝a＋b－csinA＋sinB－sinC.(√)(4)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．(√)题组二教材改编2．在△ABC中，acosA＝bcosB，则这个三角形的形状为．答案等腰三角形或直角三角形解析由正弦定理，得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．3．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝23，则△ABC的面积为．答案23解析∵23sin60°＝4sinB，∴sinB＝1，∴B＝90°，∴AB＝2，∴S△ABC＝12×2×23＝23.3题组三易错自纠4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cbcosA，则△ABC为()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形答案A解析由已知及正弦定理得sinCsinBcosA，∴sin(A＋B)sinBcosA，∴sinAcosB＋cosAsinBsinBcosA，又sinA0，∴cosB0，∴B为钝角，故△ABC为钝角三角形．5．(2018·桂林质检)在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是()A．有一解B．有两解C．无解D．有解但解的个数不确定答案C解析由正弦定理得bsinB＝csinC，∴sinB＝bsinCc＝40×3220＝31.∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．6．(2018·包头模拟)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则C＝.答案2π3解析由3sinA＝5sinB及正弦定理，得3a＝5b.又因为b＋c＝2a，所以a＝53b，c＝73b，所以cosC＝a2＋b2－c22ab＝53b2＋b2－73b22×53b×b＝－12.因为C∈(0，π)，所以C＝2π3.4题型一利用正弦、余弦定理解三角形例1(2018·天津)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA＝acosB－π6.(1)求角B的大小；(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．解(1)在△ABC中，由正弦定理asinA＝bsinB，可得bsinA＝asinB.又由bsinA＝acosB－π6，得asinB＝acosB－π6，即sinB＝cosB－π6，所以tanB＝3.又因为B∈(0，π)，所以B＝π3.(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝π3，得b2＝a2＋c2－2accosB＝7，故b＝7.由bsinA＝acosB－π6，可得sinA＝217.因为ac，所以cosA＝277.因此sin2A＝2sinAcosA＝437，cos2A＝2cos2A－1＝17.所以sin(2A－B)＝sin2AcosB－cos2AsinB＝437×12－17×32＝3314.思维升华(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素.(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系．跟踪训练1(1)(2018·天津河西区模拟)在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，5b，c，若sin2B－sin2C－sin2A＝3sinAsinC，则B的大小为()A．30°B．60°C．120°D．150°答案D解析因为sin2B－sin2C－sin2A＝3sinAsinC，所以b2－c2－a2＝3ac，即a2＋c2－b2＝－3ac，则cosB＝a2＋c2－b22ac＝－32，又0°B180°，则B＝150°.(2)如图所示，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝3BD，BC＝2BD，则sinC的值为．答案66解析设AB＝a，∵AB＝AD,2AB＝3BD，BC＝2BD，∴AD＝a，BD＝2a3，BC＝4a3.在△ABD中，cos∠ADB＝a2＋4a23－a22a×2a3＝33，∴sin∠ADB＝63，∴sin∠BDC＝63.在△BDC中，BDsinC＝BCsin∠BDC，∴sinC＝BD·sin∠BDCBC＝66.题型二和三角形面积有关的问题例2(2018·济南模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosA－acosB＝2c.(1)证明：tanB＝－3tanA；(2)若b2＋c2＝a2＋3bc，且△ABC的面积为3，求a.(1)证明根据正弦定理，由已知得sinBcosA－cosBsinA＝2sinC＝2sin(A＋B)，展开得sinBcosA－cosBsinA＝2(sinBcosA＋cosBsinA)，整理得sinBcosA＝－3cosBsinA，所以tanB＝－3tanA.6(2)解由已知得b2＋c2－a2＝3bc，所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝3bc2bc＝32，由0Aπ，得A＝π6，tanA＝33，∴tanB＝－3，由0Bπ，得B＝2π3，所以C＝π6，a＝c，由S＝12acsin2π3＝12×32a2＝3，得a＝2.思维升华(1)对于面积公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．跟踪训练2(1)(2018·承德质检)若AB＝2，AC＝2BC，则S△ABC的最大值为()A．22B.32C.23D．32答案A解析设BC＝x，则AC＝2x.根据三角形的面积公式，得S△ABC＝12·AB·BCsinB＝x1－cos2B.①根据余弦定理，得cosB＝AB2＋BC2－AC22AB·BC＝4＋x2－2x24x＝4－x24x.②将②代入①，得S△ABC＝x1－4－x24x2＝128－x2－12216.由三角形的三边关系，得2x＋x2，x＋22x，解得22－2x22＋2，故当x＝23时，S△ABC取得最大值22，故选A.(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝π3，则△ABC的面积是________．答案332解析∵c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①7∵C＝π3，∴c2＝a2＋b2－2abcosπ3＝a2＋b2－ab.②由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.∴S△ABC＝12absinC＝12×6×32＝332.题型三正弦定理、余弦定理的应用命题点1判断三角形的形状例3(1)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2bcosC，则此三角形一定是()A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形答案C解析方法一由余弦定理可得a＝2b·a2＋b2－c22ab，因此a2＝a2＋b2－c2，得b2＝c2，于是b＝c，从而△ABC为等腰三角形．方法二由正弦定理可得sinA＝2sinBcosC，因此sin(B＋C)＝2sinBcosC，即sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，于是sin(B－C)＝0，因此B－C＝0，即B＝C，故△ABC为等腰三角形．(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定8答案B解析由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin(π－A)＝sin2A，sinA＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sinA0，∴sinA＝1，即A＝π2，∴△ABC为直角三角形．引申探究1．本例(2)中，若将条件变为2sinAcosB＝sinC，判断△ABC的形状．解∵2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)，∴2sinAcosB＝sinAcosB＋cosAsinB，∴sin(A－B)＝0.又A，B为△ABC的内角．∴A＝B，∴△ABC为等腰三角形．2．本例(2)中，若将条件变为a2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC，判断△ABC的形状．解∵a2＋b2－c2＝ab，∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝12，又0Cπ，∴C＝π3，又由2cosAsinB＝sinC得sin(B－A)＝0，∴A＝B，故△ABC为等边三角形．命题点2求解几何计算问题例4(2018·云南11校跨区调研)如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝π3，AD∶AB＝2∶3，BD＝7，AB⊥BC.(1)求sin∠ABD的值；(2)若∠BCD＝2π3，求CD的长．解(1)因为AD∶AB＝2∶3，所以可设AD＝2k，AB＝3k.又BD＝7，∠DAB＝π3，所以由余弦定理，得(7)2＝(3k)2＋(2k)2－2×3k×2kcosπ3，解得k＝1，所以AD＝2，AB＝93，sin∠ABD＝ADsin∠DABBD＝2×327＝217.(2)因为AB⊥BC，所以cos∠DBC＝sin∠ABD＝217，所以sin∠DBC＝277，所以BDsin∠BCD＝CDsin∠DBC，所以CD＝7×27732＝433.思维升华(1)判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系．②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．(2)求解几何计算问题要注意：①根据已知的边角画出图形并在图中标示；②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．跟踪训练3(1)(2018·安徽六校联考)在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为()A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形答案B解析∵cos2B2＝1＋cosB2，cos2B2＝a＋c2c，∴(1＋cosB)·c＝a＋c，