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1§4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式最新考纲1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,sinxcosx=tanx.2.借助单位圆中的三角函数线推导出π2±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系:sin2α+cos2α=1.(2)商数关系:sinαcosα=tanαα≠π2+kπ,k∈Z.2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ+α(k∈Z)π+α-απ-απ2-απ2+α正弦sinα-sinα-sinαsinαcosαcosα余弦cosα-cosαcosα-cosαsinα-sinα正切tanαtanα-tanα-tanα口诀函数名不变,符号看象限函数名改变,符号看象限概念方法微思考1.使用平方关系求三角函数值时,怎样确定三角函数值的符号?提示根据角所在象限确定三角函数值的符号.2.诱导公式记忆口诀:“奇变偶不变,符号看象限”中的奇、偶是何意义?提示所有诱导公式均可看作k·π2±α(k∈Z)和α的三角函数值之间的关系,口诀中的奇、偶指的是此处的k是奇数还是偶数.2题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若α,β为锐角,则sin2α+cos2β=1.(×)(2)若α∈R,则tanα=sinαcosα恒成立.(×)(3)sin(π+α)=-sinα成立的条件是α为锐角.(×)(4)若sin(kπ-α)=13(k∈Z),则sinα=13.(×)题组二教材改编2.若sinα=55,π2απ,则tanα=.答案-12解析∵π2απ,∴cosα=-1-sin2α=-255,∴tanα=sinαcosα=-12.3.已知tanα=2,则sinα+cosαsinα-cosα的值为.答案3解析原式=tanα+1tanα-1=2+12-1=3.4.化简cosα-π2sin5π2+α·sin(α-π)·cos(2π-α)的结果为.答案-sin2α解析原式=sinαcosα·(-sinα)·cosα=-sin2α.题组三易错自纠5.已知sinθ+cosθ=43,θ∈0,π4,则sinθ-cosθ的值为.答案-233解析∵sinθ+cosθ=43,∴sinθcosθ=718.又∵(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ=29,θ∈0,π4,∴sinθ-cosθ=-23.6.(2018·成都诊断)已知α为锐角,cos32π+α=45,则cos(π+α)=.答案-35解析∵cos32π+α=sinα=45,且α为锐角,∴cosα=35,∴cos(π+α)=-cosα=-35.7.已知cosα=15,-π2α0,则cosπ2+αtanα+πcos-αtanα的值为.答案612解析∵-π2α0,∴sinα=-1-152=-256,∴tanα=-26.则cosπ2+αtanα+πcos-αtanα=-sinαtanα·cosα·tanα=-1tanα=126=612.题型一同角三角函数基本关系式的应用1.已知α是第四象限角,sinα=-1213,则tanα等于()A.-513B.513C.-125D.125答案C解析因为α是第四象限角,sinα=-1213,4所以cosα=1-sin2α=513,故tanα=sinαcosα=-125.2.若tanα=34,则cos2α+2sin2α等于()A.6425B.4825C.1D.1625答案A解析tanα=34,则cos2α+2sin2α=cos2α+2sin2αcos2α+sin2α=1+4tanα1+tan2α=6425.3.若角α的终边落在第三象限,则cosα1-sin2α+2sinα1-cos2α的值为()A.3B.-3C.1D.-1答案B解析由角α的终边落在第三象限,得sinα0,cosα0,故原式=cosα|cosα|+2sinα|sinα|=cosα-cosα+2sinα-sinα=-1-2=-3.4.已知sinα-cosα=2,α∈(0,π),则tanα等于()A.-1B.-22C.22D.1答案A解析由sinα-cosα=2,sin2α+cos2α=1,消去sinα,得2cos2α+22cosα+1=0,即(2cosα+1)2=0,∴cosα=-22.又α∈(0,π),∴α=3π4,∴tanα=tan3π4=-1.思维升华(1)利用sin2α+cos2α=1可实现正弦、余弦的互化,开方时要根据角α所在象限确定符号;利用sinαcosα=tanα可以实现角α的弦切互化.(2)应用公式时注意方程思想的应用:对于sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα这三个式子,利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα,可以知一求二.5(3)注意公式逆用及变形应用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.题型二诱导公式的应用例1(1)已知A=sinkπ+αsinα+coskπ+αcosα(k∈Z),则A的值构成的集合是()A.{1,-1,2,-2}B.{-1,1}C.{2,-2}D.{1,-1,0,2,-2}答案C解析当k为偶数时,A=sinαsinα+cosαcosα=2;当k为奇数时,A=-sinαsinα-cosαcosα=-2.(2)(2018·太原质检)化简:tanπ+αcos2π+αsinα-3π2cos-α-3πsin-3π-α=.答案-1解析原式=tanαcosαsin-2π+α+π2cos3π+α[-sin3π+α]=tanαcosαsinπ2+α-cosαsinα=tanαcosαcosα-cosαsinα=-tanαcosαsinα=-sinαcosα·cosαsinα=-1.思维升华(1)诱导公式的两个应用①求值:负化正,大化小,化到锐角为终了.②化简:统一角,统一名,同角名少为终了.(2)含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知,在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.如cos(5π-α)=cos(π-α)=-cosα.跟踪训练1(1)已知角α终边上一点P(-4,3),则cosπ2+α·sin-π-αcos11π2-α·sin9π2+α的值为________.答案-34解析原式=-sinαsinα-sinαcosα=tanα,6根据三角函数的定义得tanα=-34.(2)已知f(α)=2sinπ+αcosπ-α-cosπ+α1+sin2α+cos3π2+α-sin2π2+α(sinα≠0,1+2sinα≠0),则f-23π6=.答案3解析∵f(α)=-2sinα-cosα+cosα1+sin2α+sinα-cos2α=2sinαcosα+cosα2sin2α+sinα=cosα1+2sinαsinα1+2sinα=1tanα,∴f-23π6=1tan-23π6=1tan-4π+π6=1tanπ6=3.题型三同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用例2(1)(2018·广州模拟)已知cos5π12+α=13,且-πα-π2,则cosπ12-α等于()A.223B.13C.-13D.-223答案D解析因为5π12+α+π12-α=π2,所以cosπ12-α=sinπ2-π12-α=sin5π12+α.因为-πα-π2,所以-7π12α+5π12-π12.又cos5π12+α=130,所以-π2α+5π12-π12,所以sin5π12+α=-1-cos25π12+α=-1-132=-223.(2)已知-πx0,sin(π+x)-cosx=-15.①求sinx-cosx的值;②求sin2x+2sin2x1-tanx的值.7解①由已知,得sinx+cosx=15,两边平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x=125,整理得2sinxcosx=-2425.∵(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=4925,由-πx0知,sinx0,又sinxcosx=-12250,∴cosx0,∴sinx-cosx0,故sinx-cosx=-75.②sin2x+2sin2x1-tanx=2sinxcosx+sinx1-sinxcosx=2sinxcosxcosx+sinxcosx-sinx=-2425×1575=-24175.引申探究本例(2)中若将条件“-πx0”改为“0xπ”,求sinx-cosx的值.解若0xπ,又2sinxcosx=-2425,∴sinx0,cosx0,∴sinx-cosx0,故sinx-cosx=75.思维升华(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形.(2)注意角的范围对三角函数符号的影响.跟踪训练2(1)(2018·唐山模拟)已知角θ的终边在第三象限,tan2θ=-22,则sin2θ+sin(3π-θ)cos(2π+θ)-2cos2θ等于()A.-26B.26C.-23D.23答案D8解析由tan2θ=-22可得tan2θ=2tanθ1-tan2θ=-22,即2tan2θ-tanθ-2=0,解得tanθ=2或tanθ=-22.又角θ的终边在第三象限,故tanθ=2,故sin2θ+sin(3π-θ)cos(2π+θ)-2cos2θ=sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=sin2θ+sinθcosθ-2cos2θsin2θ+cos2θ=tan2θ+tanθ-2tan2θ+1=22+2-222+1=23.(2)已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),且f(4)=3,则f(2019)的值为()A.-1B.1C.3D.-3答案D解析∵f(4)=asin(4π+α)+bcos(4π+β)=asinα+bcosβ=3,∴f(2019)=asin(2019π+α)+bcos(2019π+β)=asin(π+α)+bcos(π+β)=-(asinα+bcosβ)=-3.1.已知α是第四象限角,tanα=-512,则sinα等于()A.15B.-15C.513D.-513答案D解析因为tanα=-512,所以sinαcosα=-512,所以cosα=-125sinα,代入sin2α+cos2α=1,解得sinα=±513,9又α是第四象限角,所以sinα=-513.2.已知α为锐角,且sinα=45,则cos(π+α)等于()A.-35B.35C.-45D.45答案A解析∵α为锐角,∴cosα=1-sin2α=35,∴cos(π+α)=-cosα=-35.3.(2018·大同质检)已知sin(π+θ)=-3cos(2π-θ),|θ|π2,则θ等于()A.-π6B.-π3C.π6D.π3答案D解析∵sin(π+θ)=-3cos(2π-θ),∴-sinθ=-3cosθ,∴tanθ=3.又∵|θ|π2,∴θ=π3.4.(2018·佛山质检)已知α∈π2,π,且cosα=-513,则tanα+π2cosα+π等于()A.1213B.-1213C.1312D.-1312答案C解析∵α∈π2,π,且cosα=-513,∴sinα=1-cos2α=1213,则tanα+π2cosα+π=-cosαsinα-cosα=
本文标题:(鲁京津琼专用)2020版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.2 同角三角函数基本关
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