（鲁京津琼专用）2020版高考数学大一轮复习 第十章 计数原理 10.3 二项式定理教案（含解析）

1§10.3二项式定理最新考纲能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．1．二项式定理二项式定理(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b1＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*)二项展开式的通项公式Tk＋1＝Cknan－kbk，它表示第k＋1项二项式系数二项展开式中各项的系数Ckn(k∈{0,1,2，…，n})2.二项式系数的性质(1)C0n＝1，Cnn＝1.Cmn＋1＝Cm－1n＋Cmn.(2)Cmn＝Cn－mn.(3)当n是偶数时，12nT项的二项式系数最大；当n是奇数时，12nT与112nT项的二项式系数相等且最大．(4)(a＋b)n展开式的二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n.概念方法微思考1．(a＋b)n与(b＋a)n的展开式有何区别与联系？提示(a＋b)n的展开式与(b＋a)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同．2．二项展开式形式上有什么特点？提示二项展开式形式上的特点(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C0n，C1n，一直到Cn－1n，Cnn.23．二项展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗？提示不一定最大，当二项式中a，b的系数为1时，此时二项式系数等于项的系数，否则不一定．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)Cknan－kbk是二项展开式的第k项．(×)(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(×)(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(√)(4)(a－b)n的展开式第k＋1项的系数为Cknan－kbk.(×)(5)(x－1)n的展开式二项式系数和为－2n.(×)题组二教材改编2．(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于()A．80B．40C．20D．10答案B解析Tk＋1＝Ck5(2x)k＝Ck52kxk，当k＝2时，x2的系数为C25·22＝40.3．若x＋1xn展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为()A．10B．20C．30D．120答案B解析二项式系数之和2n＝64，所以n＝6，Tk＋1＝Ck6·x6－k·1xk＝Ck6x6－2k，当6－2k＝0，即当k＝3时为常数项，T4＝C36＝20.4．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为()A．9B．8C．7D．6答案B解析令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加得a0＋a2＋a4＝8.题组三易错自纠5．(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是()A．CmnB．Cm＋1nC．Cm－1nD．(－1)m－1Cm－1n答案D解析(x－y)n二项展开式第m项的通项公式为Tm＝Cm－1n(－y)m－1xn－m＋1，3所以系数为Cm－1n(－1)m－1.6．已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10.若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈N*)是一个单调递增数列，则k的最大值是()A．5B．6C．7D．8答案B解析由二项式定理知，an＝Cn－110(n＝1,2,3，…，11)．又(x＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项，所以a6＝C510，则k的最大值为6.7．(2018·海淀模拟)在x＋2x5的二项展开式中，x3的系数为________．答案10解析因为其通项为Tk＋1＝Ck5x5－k·2xk＝2k·Ck5·x5－2k，令5－2k＝3，得k＝1，所以x3的系数为21×C15＝10.题型一二项展开式命题点1求指定项(或系数)例1(1)(2017·全国Ⅰ)1＋1x2(1＋x)6的展开式中x2的系数为()A．15B．20C．30D．35答案C解析因为(1＋x)6的通项为Ck6xk，所以1＋1x2(1＋x)6的展开式中含x2的项为1·C26x2和1x2·C46x4.因为C26＋C46＝2C26＝2×6×52×1＝30，所以1＋1x2(1＋x)6的展开式中x2的系数为30.故选C.(2)在(x2－4)5的展开式中，含x6的项为________．答案160x6解析因为(x2－4)5的展开式的第k＋1项为Tk＋1＝Ck5(x2)5－k(－4)k＝(－4)kCk5x10－2k，4令10－2k＝6，得k＝2，所以含x6的项为T3＝(－4)2·C25x6＝160x6.命题点2求参数例2(1)(2018·海口调研)若(x2－a)x＋1x10的展开式中x6的系数为30，则a等于()A.13B.12C．1D．2答案D解析由题意得x＋1x10的展开式的通项公式是Tk＋1＝Ck10·x10－k·1xk＝Ck10x10－2k，x＋1x10的展开式中含x4(当k＝3时)，x6(当k＝2时)项的系数分别为C310，C210，因此由题意得C310－aC210＝120－45a＝30，由此解得a＝2，故选D.(2)若x2＋1ax6的展开式中常数项为1516，则实数a的值为()A．±2B.12C．－2D．±12答案A解析x2＋1ax6的展开式的通项为Tk＋1＝Ck6(x2)6－k·1axk＝Ck61akx12－3k，令12－3k＝0，得k＝4.故C46·1a4＝1516，即1a4＝116，解得a＝±2，故选A.思维升华求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可．跟踪训练1(1)(2017·全国Ⅲ)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为()A．－80B．－40C．40D．80答案C解析因为x3y3＝x·(x2y3)，其系数为－C35·22＝－40，x3y3＝y·(x3y2)，其系数为C25·23＝80.所以x3y3的系数为80－40＝40.故选C.(2)(x＋a)10的展开式中，x7项的系数为15，则a＝______.(用数字填写答案)答案12解析通项为Tk＋1＝Ck10x10－kak，令10－k＝7，∴k＝3，∴x7项的系数为C310a3＝15，∴a3＝18，∴a＝12.5题型二二项式系数的和与各项的系数和问题例3(1)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝____________.答案3解析设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，①令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，即展开式中x的奇数次幂项的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3.(2)(2018·汕头质检)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________．答案1或－3解析令x＝0，则(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，令x＝－2，则m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝39，∴(2＋m)9·m9＝39，∴m(2＋m)＝3，∴m＝－3或m＝1.(3)若x2－1xn的展开式中含x的项为第6项，设(1－3x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a1＋a2＋…＋an的值为________．答案255解析x2－1xn展开式的第k＋1项为Tk＋1＝Ckn(x2)n－k·－1xk＝Ckn(－1)kx2n－3k，当k＝5时，2n－3k＝1，∴n＝8.对(1－3x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，令x＝1，得a0＋a1＋…＋a8＝28＝256.又当x＝0时，a0＝1，∴a1＋a2＋…＋a8＝255.思维升华(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法．(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之6和为a0＋a2＋a4＋…＝f1＋f－12，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝f1－f－12.跟踪训练2已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.解令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②(1)∵a0＝C07＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝－1－372＝－1094.(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝－1＋372＝1093.(4)方法一∵(1－2x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1093－(－1094)＝2187.方法二|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|即为(1＋2x)7展开式中各项的系数和，令x＝1，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37＝2187.题型三二项式定理的应用例4(1)设a∈Z且0≤a13，若512012＋a能被13整除，则a等于()A．0B．1C．11D．12答案D解析512012＋a＝(52－1)2012＋a＝C02012·522012－C12012·522011＋…＋C20112012·52·(－1)2011＋C20122012·(－1)2012＋a，∵C02012·522012－C12012·522011＋…＋C20112012·52·(－1)2011能被13整除且512012＋a能被13整除，∴C20122012·(－1)2012＋a＝1＋a也能被13整除，因此a的值为12.(2)设复数x＝2i1－i(i是虚数单位)，则C12017x＋C22017x2＋C32017x3＋…＋C20172017x2017等于()A．iB．－IC．－1＋iD．－1－i答案C解析x＝2i1－i＝2i1＋i1－i1＋i＝－1＋i，7C12017x＋C22017x2＋C32017x3＋…＋C20172017x2017＝(1＋x)2017－1＝i2017－1＝i－1.思维升华(1)逆用二项式定理的关键根据所给式子的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解．(2)利用二项式定理解决整除问题的思路①观察除式与被除式间的关系；②将被除式拆成二项式；③结合二项式定理得出结论．跟踪训练3(1)(2018·泉州模拟)1－90C110＋902C210－903C310＋…＋(－1)k90kCk10＋…＋9010C1010除以88的余数是()A．－1B．1C．－87D．87答案B解析1－90C110＋902C210－903C310＋…＋(－1)k90kCk10＋…＋9010C1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C110889＋…＋C91088＋1