（鲁京津琼专用）2020版高考数学大一轮复习 第十一章 统计与统计案例 11.3 变量间的相关关系、

1§11.3变量间的相关关系、统计案例最新考纲1.通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系.2.经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程．知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.3.通过对典型案例的探究，了解独立性检验的基本思想、方法及其初步应用.4.通过对典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及简单应用．1．两个变量的线性相关(1)正相关在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关．(2)负相关在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关．(3)线性相关关系、回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．2．回归方程(1)最小二乘法求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．(2)回归方程方程y^＝b^x＋a^是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其中a^，b^是待定参数．b^＝∑ni＝1xi－xyi－y∑ni＝1xi－x2＝∑ni＝1xiyi－nxy∑ni＝1x2i－nx2，a^＝y－b^x.3．回归分析(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．2(2)样本点的中心对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中(x，y)称为样本点的中心．(3)相关系数当r0时，表明两个变量正相关；当r0时，表明两个变量负相关．r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．4．独立性检验(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．(2)列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为2×2列联表y1y2总计x1aba＋bx2cdc＋d总计a＋cb＋da＋b＋c＋d构造一个随机变量K2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．(3)独立性检验利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．概念方法微思考1．变量的相关关系与变量的函数关系有什么区别？提示相同点：两者均是指两个变量的关系．不同点：①函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系．②函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．2．如何判断两个变量间的线性相关关系？提示散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，或者通过计算相关系数作出判断．3．独立性检验的基本步骤是什么？提示列出2×2列联表，计算k值，根据临界值表得出结论．4．线性回归方程是否都有实际意义？根据回归方程进行预报是否一定准确？提示(1)不一定都有实际意义．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方3法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．(2)根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系．(×)(2)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系．(√)(3)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值．(√)(4)某同学研究卖出的热饮杯数y与气温x(℃)之间的关系，得线性回归方程y^＝－2.352x＋147.767，则气温为2℃时，一定可卖出143杯热饮．(×)(5)事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的K2的观测值越大．(√)题组二教材改编2．为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，在140名女生中有70名近视．在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，用下列哪种方法最有说服力()A．回归分析B．均值与方差C．独立性检验D．概率答案C解析“近视”与“性别”是两类变量，其是否有关，应用独立性检验判断．3．下面是2×2列联表：y1y2总计x1a2173x2222547总计b46120则表中a，b的值分别为()A．94,72B．52,50C．52,74D．74,52答案C解析∵a＋21＝73，∴a＝52.又a＋22＝b，∴b＝74.4．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据4收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程y^＝0.67x＋54.9.零件数x(个)1020304050加工时间y(min)62758189现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为________．答案68解析由x＝30，得y＝0.67×30＋54.9＝75.设表中的“模糊数字”为a，则62＋a＋75＋81＋89＝75×5，∴a＝68.题组三易错自纠5．某医疗机构通过抽样调查(样本容量n＝1000)，利用2×2列联表和K2统计量研究患肺病是否与吸烟有关．计算得K2＝4.453，经查阅临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05，现给出四个结论，其中正确的是()A．在100个吸烟的人中约有95个人患肺病B．若某人吸烟，那么他有95%的可能性患肺病C．有95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”D．只有5%的把握认为“患肺病与吸烟有关”答案C解析由已知数据可得，有1－0.05＝95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”．6．在一次考试中，5名学生的数学和物理成绩如下表：(已知学生的数学和物理成绩具有线性相关关系)学生的编号i12345数学成绩x8075706560物理成绩y7066686462现已知其线性回归方程为y^＝0.36x＋a^，则根据此线性回归方程估计数学得90分的同学的物理成绩为______．(四舍五入到整数)答案73解析x＝60＋65＋70＋75＋805＝70，y＝62＋64＋66＋68＋705＝66，所以66＝0.36×70＋a^，a^＝40.8，5即线性回归方程为y^＝0.36x＋40.8.当x＝90时，y^＝0.36×90＋40.8＝73.2≈73.题型一相关关系的判断例1(1)观察下列各图形，其中两个变量x，y具有相关关系的图是()A．①②B．①④C．③④D．②③答案C解析由散点图知③中的点都分布在一条直线附近．④中的点都分布在一条曲线附近，所以③④中的两个变量具有相关关系．(2)(2018·广州质检)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)的柱形图．以下结论不正确的是()A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关答案D解析从2006年，将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较，得到2008年二氧化硫排放量与2007年排放量的差最大，A选项正确；2007年二氧化硫排放量较2006年降低了很多，B选项正确；虽然2011年二氧化硫排放量较2010年多一些，但自2006年以来，整体呈递减趋势，C选项正确；自2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，D选项错误，故选D.思维升华判定两个变量正，负相关性的方法6(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．(2)相关系数：当r0时，正相关；当r0时，负相关．(3)线性回归方程中：当b^0时，正相关；当b^0时，负相关．跟踪训练1(1)在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝－12x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为()A．－1B．0C．－12D．1答案A解析完全的线性关系，且为负相关，故其相关系数为－1，故选A.(2)x和y的散点图如图所示，则下列说法中所有正确命题的序号为________．①x，y是负相关关系；②在该相关关系中，若用y＝21ecxc拟合时的相关指数为R21，用y^＝b^x＋a^拟合时的相关指数为R22，则R21R22；③x，y之间不能建立线性回归方程．答案①②解析在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，因此x，y是负相关关系，故①正确；由散点图知用y＝21ecxc拟合比用y^＝b^x＋a^拟合效果要好，则R21R22，故②正确；x，y之间可以建立线性回归方程，但拟合效果不好，故③错误．题型二回归分析命题点1线性回归分析例2下图是我国2011年至2017年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．7注：年份代码1～7分别对应年份2011～2017.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2019年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：i＝17yi＝9.32，i＝17tiyi＝40.17，i＝17yi－y2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r＝i＝1nti－tyi－yi＝1nti－t2i＝1nyi－y2，回归方程y^＝a^＋b^t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b^＝i＝1nti－tyi－yi＝1nti－t2，a^＝y－b^t.解(1)由折线图中数据和附注中参考数据得t＝4，i＝17(ti－t)2＝28,i＝17yi－y2＝0.55.i＝17(ti－t)(yi－y)＝i＝17tiyi－ti＝17yi＝40.17－4×9.32＝2.89，所以r≈2.890.55×2×2.646≈0.99.因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．(2)由y＝9.327≈1.331及(1)得b^＝i＝17ti－tyi－yi＝17ti－t2＝2.8928≈0.10，8a^＝y－b^t≈1.331－0.10×4≈0.93.所以y关于t的回归方程为y^＝0.93＋0.10t.将2019年对应的t＝9代入回归方程得y^＝0.93＋0.10×9＝1.83.所以预测2019年我国生活垃圾无害化处理量约为1.83亿吨．命题点2非线性回归例3某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．xywi＝18(xi－x)2i＝18(wi－w)2i＝18(xi－x)·(yi－y)i＝18(wi－w)·(yi－y)46.65636.8289.81.61469108.8表中wi＝xi，w＝18i＝18wi.(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v^＝α^＋β^u的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝i＝1nui－uvi－vi＝1nui－u2，α^＝v－β^u.9解