（鲁京津琼专用）2020版高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 微专题二 导数中的函数构造问题教

1微专题二导数中的函数构造问题[解题技法]函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现．一、利用f(x)进行抽象函数构造(一)利用f(x)与x构造1．常用构造形式有xf(x)，fxx，这类形式是对u·v，uv型函数导数计算的推广及应用．我们对u·v，uv的导函数观察可得知，u·v型导函数中体现的是“＋”法，uv型导函数中体现的是“－”法，由此，我们可以猜测，当导函数形式出现的是“＋”法形式时，优先考虑构造u·v型，当导函数形式出现的是“－”法形式时，优先考虑构造uv.例1设f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)＋xf′(x)0，且f(－4)＝0，则不等式xf(x)0的解集为________．思路点拨出现“＋”形式，优先构造F(x)＝xf(x)，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可．答案(－∞，－4)∪(0,4)解析构造F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝f(x)＋xf′(x)，当x0时，f(x)＋xf′(x)0，可以推出当x0时，F′(x)0，∴F(x)在(－∞，0)上单调递减．∵f(x)为偶函数，x为奇函数，所以F(x)为奇函数，∴F(x)在(0，＋∞)上也单调递减．根据f(－4)＝0可得F(－4)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象，根据图象可知xf(x)0的解集为(－∞，－4)∪(0,4)．例2设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1)＝0，当x0时，有xf′(x)－f(x)0恒成立，则不等式f(x)0的解集为________．思路点拨出现“－”形式，优先构造F(x)＝fxx，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可．答案(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析构造F(x)＝fxx，则F′(x)＝f′x·x－fxx2，当x0时，xf′(x)－f(x)0，可以推出当x0时，F′(x)0，F(x)在(－∞，0)上单调递增．∵f(x)为偶函数，x为奇函数，所以F(x)为奇函数，∴F(x)在(0，＋∞)上也单调递增．根据f(1)＝0可得F(1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象，根据图象可知f(x)0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋2∞)．2．xf(x)，fxx是比较简单常见的f(x)与x之间的函数关系式，如果碰见复杂的，不易想的我们该如何处理，由此我们可以思考形如此类函数的一般形式．F(x)＝xnf(x)，F′(x)＝nxn－1f(x)＋xnf′(x)＝xn－1[nf(x)＋xf′(x)]；F(x)＝fxxn，F′(x)＝f′x·xn－nxn－1fxx2n＝xf′x－nfxxn＋1；结论：(1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)；(2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝fxxn.我们根据得出的结论去解决例3.例3已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x)，且满足f(－1)＝0，当x0时，2f(x)xf′(x)，则使得f(x)0成立的x的取值范围是________．思路点拨满足“xf′(x)－nf(x)”形式，优先构造F(x)＝fxxn，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可．答案(－1,0)∪(0,1)解析构造F(x)＝fxx2，则F′(x)＝f′x·x－2fxx3，当x0时，xf′(x)－2f(x)0，可以推出当x0时，F′(x)0，F(x)在(0，＋∞)上单调递减．∵f(x)为偶函数，x2为偶函数，所以F(x)为偶函数，∴F(x)在(－∞，0)上单调递增．根据f(－1)＝0可得F(－1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象，根据图象可知f(x)0的解集为(－1,0)∪(0,1)．(二)利用f(x)与ex构造1．f(x)与ex构造，一方面是对u·v，uv函数形式的考察，另外一方面是对(ex)′＝ex的考察．所以对于f(x)±f′(x)类型，我们可以等同xf(x)，fxx的类型处理，“＋”法优先考虑构造F(x)＝f(x)·ex，“－”法优先考虑构造F(x)＝fxex.例4已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的函数，导函数f′(x)满足f′(x)f(x)对于x∈R恒成立，则()A．f(2)e2f(0)，f(2019)e2019f(0)B．f(2)e2f(0)，f(2019)e2019f(0)C．f(2)e2f(0)，f(2019)e2019f(0)3D．f(2)e2f(0)，f(2019)e2019f(0)思路点拨满足“f′(x)－f(x)0”形式，优先构造F(x)＝fxex，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．注意选项的转化．答案D解析构造F(x)＝fxex形式，则F′(x)＝exf′x－exfxe2x＝f′x－fxex，导函数f′(x)满足f′(x)f(x)，则F′(x)0，F(x)在R上单调递减，根据单调性可知选D.2．同样exf(x)，fxex是比较简单常见的f(x)与ex之间的函数关系式，如果碰见复杂的，我们是否也能找出此类函数的一般形式呢？F(x)＝enxf(x)，F′(x)＝n·enxf(x)＋enxf′(x)＝enx[f′(x)＋nf(x)]；F(x)＝fxenx，F′(x)＝f′xenx－nenxfxe2nx＝f′x－nfxenx；结论：(1)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x)；(2)出现f′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝fxenx.我们根据得出的结论去解决例5，例6.例5若定义在R上的函数f(x)满足f′(x)－2f(x)0，f(0)＝1，则不等式f(x)e2x的解集为________．思路点拨满足“f′(x)－2f(x)0”形式，优先构造F(x)＝fxe2x，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．注意选项的转化．答案{x|x0}解析构造F(x)＝fxe2x形式，则F′(x)＝e2xf′x－2e2xfxe4x＝f′x－2fxe2x，函数f(x)满足f′(x)－2f(x)0，则F′(x)0，F(x)在R上单调递增．又∵f(0)＝1，则F(0)＝1，f(x)e2x⇔fxe2x1⇔F(x)F(0)，根据单调性得x0.例6已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，若f(x)满足：(x－1)[f′(x)－f(x)]0，f(2－x)＝f(x)·e2－2x，则下列判断一定正确的是()A．f(1)f(0)B．f(2)e2f(0)C．f(3)e3f(0)D．f(4)e4f(0)4思路点拨满足“f′(x)－f(x)”形式，优先构造F(x)＝fxex，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．注意选项的转化．答案C解析构造F(x)＝fxex形式，则F′(x)＝exf′x－exfxe2x＝f′x－fxex，导函数f′(x)满足(x－1)[f′(x)－f(x)]0，则x≥1时F′(x)≥0，F(x)在[1，＋∞)上单调递增．当x1时F′(x)0，F(x)在(－∞，1]上单调递减．又由f(2－x)＝f(x)e2－2x⇔F(2－x)＝F(x)⇒F(x)关于x＝1对称，根据单调性和图象，可知选C.(三)利用f(x)与sinx，cosx构造sinx，cosx因为导函数存在一定的特殊性，所以也是重点考察的范畴，我们一起看看常考的几种形式．F(x)＝f(x)sinx，F′(x)＝f′(x)sinx＋f(x)cosx；F(x)＝fxsinx，F′(x)＝f′xsinx－fxcosxsin2x；F(x)＝f(x)cosx，F′(x)＝f′(x)cosx－f(x)sinx；F(x)＝fxcosx，F′(x)＝f′xcosx＋fxsinxcos2x.根据得出的关系式，我们来看一下例7.例7已知函数y＝f(x)对于任意的x∈－π2，π2满足f′(x)cosx＋f(x)sinx0(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式不成立的是()A.2fπ3fπ4B.2f－π3f－π4C．f(0)2fπ4D．f(0)2fπ3思路点拨满足“f′(x)cosx＋f(x)sinx0”形式，优先构造F(x)＝fxcosx，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．注意选项的转化．答案A解析构造F(x)＝fxcosx形式，则F′(x)＝f′xcosx＋fxsinxcos2x，导函数f′(x)满足5f′(x)cosx＋f(x)sinx0，则F′(x)0，F(x)在－π2，π2上单调递增．把选项转化后可知选A.二、具体函数关系式构造这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系式去解决不等式及求值问题．例8已知α，β∈－π2，π2，且αsinα－βsinβ0，则下列结论正确的是()A．αβB．α2β2C．αβD．α＋β0思路点拨构造函数f(x)＝xsinx，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．答案B解析构造f(x)＝xsinx形式，则f′(x)＝sinx＋xcosx，x∈0，π2时导函数f′(x)≥0，f(x)单调递增；x∈－π2，0时导函数f′(x)0，f(x)单调递减．又∵f(x)为偶函数，根据单调性和图象可知选B.例9已知实数a，b，c满足a－2eab＝1－cd－1＝1，其中e是自然对数的底数，那么(a－c)2＋(b－d)2的最小值为()A．8B．10C．12D．18思路点拨把(a－c)2＋(b－d)2看成两点距离的平方，然后利用数形结合以及点到直线的距离即可．答案A解析由a－2eab＝1⇒b＝a－2ea进而⇒f(x)＝x－2ex；又由1－cd－1＝1⇒d＝2－c⇒g(x)＝2－x；由f′(x)＝1－2ex＝－1，得x＝0，所以切点坐标为(0，－2)，所以(a－c)2＋(b－d)2的最小值为|0－2－2|1＋12＝8.6